Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Autor: Jana Buršová

Příklad 1 Určete reálná čísla 𝑥, 𝑦 tak, aby platilo: a/ 2𝑥+𝑖𝑦=4−3𝑖 Řešení: Rovnají-li se dvě komplexní čísla, musí se rovnat jejich reálné a imaginární části. Tedy: 2𝑥=4→𝑥=2;y=−3 Příklad 1

Příklad 1 – k procvičení b/ 𝑥 1+𝑖 +𝑦 1−𝑖 =4+2𝑖 𝑥=3;𝑦=1

Příklad 2 Řešte rovnice s neznámou 𝑧∈𝐶: a/ 𝑧=3𝑖 𝑧−𝑖 −5𝑧 Řešení: 𝑥+𝑖𝑦=3𝑖 𝑥+𝑖𝑦−𝑖 −5 𝑥+𝑖𝑦 𝑥+𝑖𝑦=3𝑖𝑥−3𝑦+3−5𝑥−5𝑖𝑦 𝑥=−3𝑦+3−5𝑥 𝑎 𝑦=3𝑥−5𝑦 6𝑥+3𝑦=3;6𝑦=3𝑥→𝑥=2𝑦 12𝑦+3𝑦=3→𝑦= 1 5 , 𝑥= 2 5 ;𝑧= 2 5 + 𝑖 5 Příklad 2

Příklad 2 – k procvičení b/ 𝑧 1−𝑖 + 𝑧+2 𝑖 = 5 2𝑖−1 𝑧=−1−𝑖

Příklad 3 Řešte rovnice s neznámou 𝑧∈𝐶: a/ 2𝑧+3 𝑧 =5+𝑖 Řešení: 2𝑥+2𝑖𝑦+3𝑥−3𝑖𝑦=5+𝑖 𝑅Č:2𝑥+3𝑥=5, 5𝑥=5. 𝑥=1 𝐼Č:2𝑦−3𝑦=1, −𝑦=1, 𝑦=−1 𝑧=1−𝑖 Příklad 3

Příklad 3 b/ 𝑧 𝑧 −𝑧= 6−2𝑖 Řešení: 𝑥+𝑖𝑦 𝑥−𝑖𝑦 −𝑥−𝑖𝑦=6+2𝑖 𝑥+𝑖𝑦 𝑥−𝑖𝑦 −𝑥−𝑖𝑦=6+2𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥−𝑖𝑦=6+2𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥=6;−𝑦=2→𝑦=−2 𝑥 2 +4−𝑥=6; 𝑥 2 −𝑥−2=0; 𝑥 1,2 = 2,−1 (2−2𝑖;−1−2𝑖) Příklad 3

c/𝑧 𝑧 −4 −1=8𝑖 1−2𝑖;3−2𝑖 Příklad 3 – k procvičení

Příklad 4 a/ 𝑧+𝑖 =2𝑧+𝑖 Řešení 𝑥+𝑖(𝑦+1) =2𝑥+𝑖 2𝑦+1 𝑥 2 + (𝑦+1) 2 =2𝑥+𝑖 2𝑦+1 𝑥 2 + (𝑦+1) 2 =2x;0=2y+1;y= −1 2 𝑥 2 + 1 4 =4 𝑥 2 ;3 𝑥 2 = 1 4 ;𝑥=± 1 2 3 =± 3 6 Výsledek: z=± 3 6 − 𝑖 2 Příklad 4

Příklad 4 – k procvičení Řešte rovnice s neznámou 𝑧∈𝐶: b/ 𝑧 =1+2𝑖+𝑧 1,5−2𝑖 c/ 𝑧+1 −4𝑖=𝑧+3 (2−4𝑖) d/ 𝑧+2−𝑖 =5 𝑧+3𝑖 (1−3𝑖) Příklad 4 – k procvičení

Sestavte všechny kvadratické rovnice s komplexními koeficienty, jejichž kořeny jsou čísla: Řešení: V normovaném tvaru kvadratické rovnice 𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞=0 platí: 𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝, 𝑥 1 . 𝑥 2 =𝑞 Tedy: 3+𝑖+3−𝑖=6=−𝑝, 3+𝑖 3−𝑖 =10=𝑞 Hledané kvadratické rovnice jsou: 𝑘 𝑥 2 −6𝑥+10 =0,𝑘𝑑𝑒 𝑘∈𝑅 Příklad 5

Sestavte všechny kvadratické rovnice s reálnými koeficienty, znáte-li jeden kořen hledané rovnice: Řešení: Imaginární kořeny kvadratické rovnice s reálnými koeficienty jsou čísla komplexně sdružená. Tedy: 𝑥 2 =−5𝑖 Užitím vztahů mezi kořeny a koeficienty dostaneme: 𝑝=0. 𝑞=25, 𝑘 𝑥 2 +25 =0 Příklad 6

Příklad 6 – k procvičení b/ 𝑥 1 =2(𝑐𝑜𝑠 11 6 𝜋+𝑖𝑠𝑖𝑛 11 6 𝜋) 𝑥 1 =2 3 2 −𝑖 1 2 = 3 −𝑖, 𝑥 2 = 3 +𝑖 𝑝=−2 3 , 𝑞=4 𝑘( 𝑥 2 −2 3 𝑥+4)=0 Příklad 6 – k procvičení

Vyšetřete, pro které hodnoty parametru 𝑡∈𝑅 mají dané kvadratické rovnice s neznámou v 𝐶 imaginární kořeny: 𝑥 2 +2𝑡𝑥−𝑡+2=0 Řešení: Kvadratická rovnice má imaginární kořeny, je-li její diskriminant 𝐷<0 𝐷=4 𝑡 2 −4𝑡 𝑡+2 =−8𝑡<0, 𝑡>0 Příklad 7

Rovnice 𝑥 2 +𝑖𝑥+𝑞=0 má jeden kořen 𝑥 1 =2−𝑖 Rovnice 𝑥 2 +𝑖𝑥+𝑞=0 má jeden kořen 𝑥 1 =2−𝑖. Určete druhý kořen a koeficient 𝑞. Řešení: Využijeme vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice: 2−𝑖+ 𝑥 2 =−𝑖; 2−𝑖 . 𝑥 2 =𝑞 𝑥 2 =−2, 𝑞=−4+4𝑖 Příklad 8

V rovnici 𝑥 2 +2 3−2𝑖 𝑥+𝑘=0 určete 𝑘 tak, aby rovnice měla dvojnásobný kořen. Řešení: Rovnice má dvojnásobný kořen, když její diskriminant 𝐷=0 𝐷=4 (3−2𝑖) 2 −4𝑘=0;36−48𝑖−16−4𝑘=0 4𝑘=20−48𝑖, 𝑘=5−12𝑖 Určete tento kořen: 𝑥 1,2 = −6+4𝑖 2 =−3+2𝑖 Příklad 9

Příklad 10 – binomické rovnice Řešte rovnice s neznámou 𝑥∈𝐶: a/ 𝑥 3 −27=0 Algebraické řešení: 𝑥−3 𝑥 2 +3𝑥+9 =0 𝑥 1 =3, 𝐷=−27, 𝑥 2,3 = −3±𝑖3 3 2 Příklad 10 – binomické rovnice

Příklad 10 - pokračování Goniometrické řešení: 𝑥 3 =27=𝑧, 𝑥= 3 𝑧 𝑧 =27, 𝑐𝑜𝑠𝜑=1, 𝑠𝑖𝑛𝜑=0, 𝜑=0+2𝑘𝜋 𝑥 1,2,3 =3 𝑐𝑜𝑠 2𝑘𝜋 3 +𝑖𝑠𝑖𝑛 2𝑘𝜋 3 𝑘=0: 𝑥 1 =3 𝑘=1: 𝑥 2 =3 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 3 +𝑖𝑠𝑖𝑛 2𝜋 3 =3 − 1 2 + 𝑖 3 2 𝑘=2: 𝑥 3 =3 𝑐𝑜𝑠 4𝜋 3 +𝑖𝑠𝑖𝑛 4𝜋 3 = 3 − 1 2 − 𝑖 3 2 Příklad 10 - pokračování

Seznam použitých zdrojů Použitá literatura PETÁKOVÁ, Jindra, RNDr. Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, 1. vyd. Prometheus,1998, ISBN 80-7196-099-3 Seznam použitých zdrojů