DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0807 Název projektu: EU peníze středním školám Gymnázium a Střední odborná škola, Podbořany, příspěvková organizace Šablona:III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada: Kuželosečky v gymnaziálním učivu Ověření ve výuce Třída: septima a oktáva Datum: 15. 5. 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marie Honzlová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

TÉMA: Kružnice – definice, analytické vyjádření PŘEDMĚT: matematika KLÍČOVÁ SLOVA: kružnice, středová rovnice kružnice, obecná rovnice kružnice JMÉNO AUTORA: Mgr. Marie Honzlová

Metodický pokyn: Úkolem materiálu je výklad – vyjádření kružnice pomocí rovnice. Řešené příklady vyžadují vysvětlení učitele – doprovodné slovo. Úlohy jsou určeny k procvičení.

DEFINICE KRUŽNICE ∀𝑿∈𝝆: 𝑿𝑺 =𝒓 Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu roviny (střed kružnice S) danou vzdálenost (poloměr kružnice r). ∀𝑿∈𝝆: 𝑿𝑺 =𝒓

Středová rovnice kružnice S 𝑚,𝑛 ; X 𝑥,𝑦 𝑋𝑆 =𝑟 𝑥−𝑚 2 + 𝑦−𝑛 2 =𝑟 (x – m)2 + (y - n)2 = r2

Obecná rovnice kružnice (x – m)2 + (y – n)2 = r2 x2 + y2 - 2mx - 2ny + m2 + n2 – r2 = 0 x2 + y2 + ax + by + c = 0

Příklad č. 1 Napište rovnici kružnice se středem S −1, 3 o poloměru 2 . Řešení: 𝒙+𝟏 𝟐 + 𝒚−𝟑 𝟐 =𝟐

Příklad č. 2 Zjistěte, zda bod A −1,0 leží na kružnici z příkladu 1.

Řešení: Pokud by bod ležel na kružnici, musely by jeho souřadnice vyhovovat rovnici této kružnice. Souřadnice bodu A dosadíme do levé strany rovnice: −1+1 2 + 0 −3 2 = 9 Souřadnice bodu nevyhovují rovnici kružnice, tj. bod A na kružnici neleží. Je bod A uvnitř nebo vně kružnice?

Příklad č. 3 Určete chybějící souřadnici bodu B, aby ležel na kružnici z příkladu 1. xB = -1 b) yB = 0

Řešení: Po dosazení do rovnice kružnice a úpravě: 𝑦−3 = 2 , tj. y = 3 ± 2 , tj. na kružnici existují dva body, které mají x-ovou souřadnici -1. b) Po dosazení do rovnice kružnice a úpravě: 𝑥+1 2 =−7, tj. tato rovnice nemá v R řešení, tj. na kružnici neexistuje žádný bod, jehož y-ová souřadnice je 0.

Příklad č. 4 Zjistěte, zda rovnice 𝑥 2 + 𝑦 2 −4𝑥+6𝑦+12=0 je rovnicí kružnice.

Řešení: Rovnici upravíme doplněním na čtverec: 𝑥−2 2 + 𝑦+3 2 =1 Daná rovnice je rovnicí kružnice se středem S 2,−3 a její poloměr je 1.

Úlohy na procvičení: Napište rovnici kružnice se středem S 3 , −2 o poloměru 2 . Zjistěte, zda body A 1, 3 , B −2, −1 a C 2, 1 leží na kružnici, která je vyjádřena rovnicí 𝑥+2 2 + 𝑦−3 2 =16.

Zjistěte, zda následující rovnice jsou rovnicemi kružnice Zjistěte, zda následující rovnice jsou rovnicemi kružnice. Pokud ano, určete její střed a poloměr. a) 𝑥 2 + 𝑦 2 +2𝑥+3=0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 −3=0 c) 2𝑥 2 +2 𝑦 2 −8𝑦 −15=0 d) 2𝑥 2 +3 𝑦 2 − 6𝑦 −3=0

Řešení úloh k: 𝑥− 3 2 + 𝑦+2 2 =2 𝑆𝐴 =3, tj. A leží uvnitř kružnice, 𝑆𝐵 =4, tj. B je bodem kružnice, 𝑆𝐶 =2 5 , tj. C leží vně kružnice. a) Nejedná se o kružnici. b) S 0, 3 , 𝑟=2 3 c) S 0, 2 , 𝑟= 1 2 46 d) Nejedná se o kružnici.

ZDROJE: ŠEDIVÝ, J. Matematika pro III. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1986. s. 207–210. KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia, Analytická geometrie. 2. vyd. Praha: Prometheus,1995. ISBN 8071961639. s. 138–145.