ŠKOLA: Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám. Míru 6, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1020 NÁZEV PROJEKTU: Peníze do škol ČÍSLO ŠABLONY: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AUTOR: Mgr. Vítězslav Kurz TEMATICKÁ OBLAST: Vzdálenost bodů POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu: 02 KÓD DUMu: VY_32_INOVACE_2_2_02_KUR DATUM TVORBY: 23.6. 2013 ANOTACE (ROČNÍK): Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.

Doporučené vzorce V rovině: Jsou-li dány body 𝐴= 𝑎 1 ; 𝑎 2 , 𝐵= 𝑏 1 ; 𝑏 2 ,pak velikost úsečky AB je dána vzorcem: 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 V prostoru: Jsou-li dány body 𝐴= 𝑎 1 ; 𝑎 2 ; 𝑎 3 , 𝐵= 𝑏 1 ; 𝑏 2 ; 𝑏 3 ,pak velikost úsečky AB je dána vzorcem: 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 + ( 𝑏 3 − 𝑎 3 ) 2

Vzdálenost bodů v rovině a v prostoru Př.1: Vypočítejte velikost úsečky AB, je-li dáno: a) 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 , b) C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 Př.2: Vypočítejte, který z bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 má největší vzdálenost od bodu 𝑀= 1;−2 Př.3: Na ose x určete bod X tak, aby jeho vzdálenost od bodu 𝑀= −2;8 byla 10. Př.4: Zjistěte, jestli je trojúhelník ABC pravoúhlý je-li: 𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 Př.5: Na ose y najděte bod X tak, aby vzdálenost od bodu 𝐴= 0;−5;8 byla dvakrát větší než od bodu 𝐵= 3;−3;0

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 =

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = 3 2 + 4 2 =

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = 3 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = 3 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = 3 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 𝐶𝐷 = ( 𝑑 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑑 2 − 𝑐 2 ) 2 + ( 𝑑 3 − 𝑐 3 ) 2

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = 3 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 𝐶𝐷 = ( 𝑑 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑑 2 − 𝑐 2 ) 2 + ( 𝑑 3 − 𝑐 3 ) 2 = = (1−3) 2 + (−2−(−4)) 2 + (−1−0) 2 =

Příklad 1: a) Nejprve určíme vzdálenost bodů 𝐴= −2;3 ,𝐵= 1;7 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (7−3) 2 = = 3 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5 b) Nyní určíme vzdálenost bodů C= 3;−4;0 ,𝐷= 1;−2;−1 𝐶𝐷 = ( 𝑑 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑑 2 − 𝑐 2 ) 2 + ( 𝑑 3 − 𝑐 3 ) 2 = = (1−3) 2 + (−2−(−4)) 2 + (−1−0) 2 = = (−2) 2 + 2 2 + (−1) 2 = 4+4+1 = 9 =3

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 .

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 =

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 =

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 =

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 =

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = 9+16 = 25 =5

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = 9+16 = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 =

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = 9+16 = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 = (1−(−1)) 2 + (−2−3) 2 =

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = 9+16 = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 = (1−(−1)) 2 + (−2−3) 2 = = 4+25 = 29

Příklad 2: Budeme postupně počítat vzdálenosti bodů 𝐴= 0;3 ,𝐵= −2;2 ,𝐶= −1;3 od bodu 𝑀= 1;−2 . 𝐴𝑀 = (𝑚 1 − 𝑎 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑎 2 ) 2 = (1−0) 2 + (−2−3) 2 = = 1+25 = 26 𝐵𝑀 = (𝑚 1 − 𝑏 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑏 2 ) 2 = (1−(−2)) 2 + (−2−2) 2 = = 9+16 = 25 =5 𝐶𝑀 = (𝑚 1 − 𝑐 1 ) 2 + (𝑚 2 − 𝑐 2 ) 2 = (1−(−1)) 2 + (−2−3) 2 = = 4+25 = 29 Vidíme, že nejvíce vzdálen od bodu M je bod C.

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 .

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X:

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 =

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 = = (𝑥+2) 2 +64 = 𝑥 2 +4𝑥+4+64 = 𝑥 2 +4𝑥+68

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 = = (𝑥+2) 2 +64 = 𝑥 2 +4𝑥+4+64 = 𝑥 2 +4𝑥+68 Toto je vyjádření pro vzdálenost bodů MX. Po dosazení a lehké úpravě dostáváme následující kvadratickou rovnici:

Příklad 3: Všechny body ležící na ose x mají y-ovou souřadnici 0. Bod X musí mít tedy souřadnice 𝑋= 𝑥;0 . Víme dále, že bod X má od bodu 𝑀= −2;8 vzdálenost 10. Dosadíme tedy vše do rovnice pro vzdálenost bodu M a X: 𝑀𝑋 = (𝑥− 𝑚 1 ) 2 + (0− 𝑚 2 ) 2 = (𝑥−(−2)) 2 + (0−8) 2 = = (𝑥+2) 2 +64 = 𝑥 2 +4𝑥+4+64 = 𝑥 2 +4𝑥+68 Toto je vyjádření pro vzdálenost bodů MX. Po dosazení a lehké úpravě dostáváme následující kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥+68 =10 𝑥 2 +4𝑥+68=100 𝑥 2 +4𝑥−32=0

Příklad 3: Dořešíme nyní tuto kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥−32=0

Příklad 3: Dořešíme nyní tuto kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 Nyní si zopakujeme základní metody řešení kvadratických rovnic. Výpočtem diskriminantu Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli Metodou doplnění na čtverec Vyberte jednu z těchto metod kliknutím.

Příklad 3: Dořešíme nyní tuto kvadratickou rovnici: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 Nyní si zopakujeme základní metody řešení kvadratických rovnic. Výpočtem diskriminantu Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli Metodou doplnění na čtverec Vyberte jednu z těchto metod kliknutím.

Příklad 3: Pomocí diskriminantu: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 4 2 −4∙1∙ −32 =16+128=144

Příklad 3: Pomocí diskriminantu: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 4 2 −4∙1∙ −32 =16+128=144 𝑥 1,2 −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −4± 144 2 = −4±12 2

Příklad 3: Pomocí diskriminantu: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝑥 1 = −4+12 2 = 8 2 =4 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 4 2 −4∙1∙ −32 =16+128=144 𝑥 1,2 −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −4± 144 2 = −4±12 2 𝑥 1 = −4+12 2 = 8 2 =4 𝑥 2 = −4−12 2 = −16 2 =-8 Řešením jsou tedy body 𝑋= 4;0 ,𝑋´= −8;0

Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0

Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞 𝑥 1 + 𝑥 2 =−4 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−32

Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞 𝑥 1 + 𝑥 2 =−4 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−32 V tento okamžik se musí z výše uvedených dvou vztahů řešení „uhodnout“. Doporučuji si pomoci tvarem součinu, kde víme, že pokud řešení existuje, bude celočíselné (jelikož p,q jsou celá čísla) a možností, kdy součin dvou celých čísel dává -32 je méně než hledat součet -4.

Příklad 3: Pomocí vztahů mezi kořenovými činiteli: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞 𝑥 1 + 𝑥 2 =−4 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−32 V tento okamžik se musí z výše uvedených dvou vztahů řešení „uhodnout“. Doporučuji si pomoci tvarem součinu, kde víme, že pokud řešení existuje, bude celočíselné (jelikož p,q jsou celá čísla) a možností, kdy součin dvou celých čísel dává -32 je méně než hledat součet -4. Vyhovují čísla 𝑥 1 =4 𝑎 𝑥 2 =−8 Řešením jsou tedy body 𝑋= 4;0 ,𝑋´= −8;0

Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0

Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0 Převedeme čísla -4 a -32 na pravou stranu a poté obě strany rovnice Odmocníme.

Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0 (𝑥+2) 2 =36 𝑥+2 =6 Existují dvě řešení rovnice s absolutní hodnotou:

Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0 (𝑥+2) 2 =36 𝑥+2 =6 𝑥 1 =4, 𝑥 2 =−8

Příklad 3: Metoda doplnění na čtverec: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 (𝑥+2) 2 −4−32=0 (𝑥+2) 2 =36 𝑥+2 =6 𝑥 1 =4, 𝑥 2 =−8 Řešením jsou tedy body 𝑋= 4;0 ,𝑋´= −8;0

Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC: 𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4

Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC: 𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−1) 2 = = 4 2 + 0 2 =4

Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC: 𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−1) 2 = = 4 2 + 0 2 =4 𝐴𝐶 = ( 𝑐 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑐 2 − 𝑎 2 ) 2 = (−1−(−1)) 2 + (4−1) 2 = = 0 2 + 3 2 =3

Příklad 4: Nejprve vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC: 𝐴= −1;1 , 𝐵= 3;1 ,𝐶= −1;4 𝐴𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑎 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−1) 2 = = 4 2 + 0 2 =4 𝐴𝐶 = ( 𝑐 1 − 𝑎 1 ) 2 + ( 𝑐 2 − 𝑎 2 ) 2 = (−1−(−1)) 2 + (4−1) 2 = = 0 2 + 3 2 =3 𝐶𝐵 = ( 𝑏 1 − 𝑐 1 ) 2 + ( 𝑏 2 − 𝑐 2 ) 2 = (3−(−1)) 2 + (1−4) 2 = = 4 2 + 3 2 = 25 =5

Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta.

Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta. Uvědomíme si, že jediným adeptem na přeponu je nejdelší z těchto tří stran, Tedy strana délky 5. Dosadíme tedy do Pythagorovy věty:

Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta. Uvědomíme si, že jediným adeptem na přeponu je nejdelší z těchto tří stran, Tedy strana délky 5. Dosadíme tedy do Pythagorovy věty: 5 2 = 3 2 + 4 2 25=9+16 25=25

Příklad 4: Nyní stačí ověřit, zda trojúhelník s délkami stran 3,4,5 je pravoúhlý. K tomu využijeme Pythagorovu větu, jelikož víme, že platí ekvivalence: Trojúhelník je pravoúhlý Platí Pythagorova věta. Uvědomíme si, že jediným adeptem na přeponu je nejdelší z těchto tří stran, Tedy strana délky 5. Dosadíme tedy do Pythagorovy věty: 5 2 = 3 2 + 4 2 25=9+16 25=25 Závěr: Jelikož platí Pythagorova věta, trojúhelník ABC je pravoúhlý.

Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋

Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋 Podobně jako v předchozím případu si musíme uvědomit, že pokud bod X má ležet na ose y musí být jeho x-ová a z-ová souřadnice 0. Vyjádříme tedy nejdříve zvlášť levou a pravou stranu rovnice. 𝐴= 0;−5;8 , B= 3;−3;0 , X= 0;𝑦;0

Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋 Podobně jako v předchozím případu si musíme uvědomit, že pokud bod X má ležet na ose y musí být jeho x-ová a z-ová souřadnice 0. Vyjádříme tedy nejdříve zvlášť levou a pravou stranu rovnice. 𝐴= 0;−5;8 , B= 3;−3;0 , X= 0;𝑦;0 𝐴𝑋 = (0−0) 2 + (𝑦−(−5)) 2 + (0−8) 2 = 0+ (𝑦+5) 2 +64 = = 𝑦 2 +10𝑦+25+64 = 𝑦 2 +10𝑦+89

Příklad 5: Ze zadaní plyne, že 𝐴𝑋 =2∙ 𝐵𝑋 Podobně jako v předchozím případu si musíme uvědomit, že pokud bod X má ležet na ose y musí být jeho x-ová a z-ová souřadnice 0. Vyjádříme tedy nejdříve zvlášť levou a pravou stranu rovnice. 𝐴= 0;−5;8 , B= 3;−3;0 , X= 0;𝑦;0 𝐴𝑋 = (0−0) 2 + (𝑦−(−5)) 2 + (0−8) 2 = 0+ (𝑦+5) 2 +64 = = 𝑦 2 +10𝑦+25+64 = 𝑦 2 +10𝑦+89 𝐵𝑋 = (0−3) 2 + (𝑦−(−3)) 2 + (0−0) 2 = 9+ (𝑦+3) 2 +0 = = 𝑦 2 +6𝑦+9+9 = 𝑦 2 +6𝑦+18

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 Nyní umocníme obě strany rovnice.

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18)

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) Nyní roznásobíme závorku a všechny členy převedeme na jednu stranu.

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0 Kvadratickou rovnici dořešíme například výpočtem diskriminantu.

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0 Kvadratickou rovnici dořešíme například výpočtem diskriminantu. D=400 𝑦 1,2 = −14± 400 6 𝑦 1 =1, 𝑦 2 = −17 3

Příklad 5: Tedy platí: 𝑦 2 +10𝑦+89 =2∙ 𝑦 2 +6𝑦+18 𝑦 2 +10𝑦+89=4∙( 𝑦 2 +6𝑦+18) 3𝑦 2 +14𝑦−17=0 Kvadratickou rovnici dořešíme například výpočtem diskriminantu. D=400 𝑦 1,2 = −14± 400 6 𝑦 1 =1, 𝑦 2 = −17 3 Řešením jsou tedy body 𝑋= 0;1;0 ,𝑋´= 0; −17 3 ;0

Zdroj: Sbírka úloh pro gymnázia – Analytická geometrie, Prometheus