Parabola Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

Parabola jako kuželosečka Parabolu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny svírající s osou kuželové plochy úhel stejný, jako je úhel mezi osou a stěnou kužele (α = β). β α

Parabola jako množina bodů Parabolu lze definovat i jako množinu bodů v rovině: Parabola je množina všech bodů, které mají od dané přímky (řídící přímky – q) a daného bodu (ohniska – F) stejnou vzdálenost. Je-li F ohnisko a q řídící přímka, pak pro libovolný bod X na parabole platí |FX| = |qX|. q X3 X2 X1 F

Parabola s osou || s x o – osa paraboly q – řídící přímka F – ohnisko V – vrchol p = |Fq| – parametr paraboly (|FV| = |Vq| = p/2) p o V F

Parabola s osou || s y o – osa paraboly q – řídící přímka F – ohnisko V – vrchol p = |Fq| – parametr paraboly (|FV| = |Vq| = p/2) F p V q

Rovnice paraboly Pokud má vrchol paraboly V souřadnice [m;n], lze parabolu vyjádřit vrcholovou rovnicí paraboly (vpravo je zobrazena orientace paraboly vzhledem k souřadným osám): (y – n)2 = 2p(x – m) (y – n)2 = –2p(x – m) (x – m)2 = 2p(y – n) (x – m)2 = –2p(y – n) Roznásobením a převedením členů na jednu stranu vznikne obecná rovnice paraboly: Ax2 + Bx + Cy + D = 0, resp. Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Převod obecné rovnice na vrcholovou Při odvozování obecné rovnice postupujeme obdobně jako u ostatních kuželoseček. Příklad: Převeďte do vrcholového tvaru obecnou rovnici paraboly 2x2 – 4x +2y – 9 = 0. Členy s x převedeme na jednu stranu, členy s y na druhou: 2x2 – 4x = –2y + 9 Vytkneme koeficient A a kvadratický výraz doplníme na čtverec (nezapomeneme přidat doplněný člen i na druhou stranu rovnice): 2(x2 – 2x + 1) = –2y + 9 + 2·1 Vytkneme z pravé strany a rovnici vydělíme koeficientem A: 2(x – 1)2 = –2(y – 5,5) (x – 1)2 = –(y – 5,5) Parabola má tedy vrchol v bodě V[1;5,5] a je orientována směrem dolů.

Vzájemná poloha přímky a paraboly Přímka může ležet mimo parabolu (přímka p1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna. p3 Pokud přímka parabolu protíná ve dvou společných bodech (přímka p2) nazývá se sečna. Pokud je přímka rovnoběžná s osou paraboly, protíná ji v jednom bodě (přímka p3) a nazývá se sečna rovnoběžná s osou paraboly. Pokud se přímka paraboly dotýká (přímka p4), nazývá se tečna. Rovnice tečny, která se paraboly dotýká v bodě T[x0;y0], je: T[x0;y0] p4 p2

Parametrické vyjádření paraboly Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i parabola: x = t y = a·t2 + b·t + c resp. x = a·t2 + b·t + c y = t kde t je reálné číslo.