CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2010 8.

Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2010 8."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2010 8. PŘEDNÁŠKA Modelování

2 březen 2009 POKRAČOVÁNÍ ….modelování …. ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 březen 2010 Aplikační možnosti Aplikační možnosti simulačních modelů odpovídají vývoji v oblasti logistických systémů samotných. Do návrhu simulačních modelů se promítají zejména následující nové vlastnosti logis- tických systémů. Modelování a simulace

4 březen 2009 Logistické řetězce se vyvinuly v mnohem větší sítě nezávislých subjektů, které mají různé priority, motivy spolupráce a často protikladné zájmy. Velmi důležitou se stává koordinace mezi těmito organizacemi. Simulace musí postihovat outsourcing, stra- tegické aliance, konkurenci v rámci podniků i distribučních řetězců, logistické systémy za- bezpečované "třetími stranami“ apod. Modelování a simulace

5 březen 2009 Paradigma logistických systémů se posou- vá od nabídky k poptávce, na strukturu a ří- zení logistických systémů mají rozhodující vliv požadavky zákazníků. To znamená potřebu vývoje nových konceptů logistického řízení. Simulace je schopna porovnat tahové a tla- kové strategie, dodavatelský a odběratelský přístup k distribučním řetězců, výrobu na sklad a na zakázku, vyhodnotit efektivní odezvy na požadavky zákazníků. Modelování a simulace

6 březen 2009 Prudce vzrůstá rozsah a složitost logistic- kých systémů, což vede k nutnosti jejich de- centralizovaného řízení. Simulační modely musí být schopny postihovat takovéto glo- bální distribuční řetězce. Modelování a simulace

7 březen 2009 V důsledku krátkých dodacích lhůt a životních cyklů výrobků se zrychluje dynamika distri- bučních řetězců. V mnoha případech jsou vztahy mezi partnery v rámci logistických systémů vytvářeny "ad hoc" a často se mění. Modelování a simulace

8 březen 2009 Je potřebné simulovat systémy s dynamic- kou alokací zdrojů, online rozvrhováním a robustním plánováním. Používá se koncept virtuálního podniku, mo- delují se procesy související s e-businessem, testuje se vliv různých synergických efektů. Modelování a simulace

9 březen 2009 Holistický přístup k simulaci Označuje přístup, který chápe sledovaný systém jako celek. V oblasti simulace to zna- mená schopnost využití informace potřebné k tvorbě simulačního modelu ve fázi návrhu systému i v dalších fázích života systému při jeho testování a provozu. Díky integraci s ji- nými podnikovými systémy je možné částeč- ně automatizovat tvorbu simulačních modelů. Modelování a simulace

10 březen 2009 Systémové modelování Metodologie systémového modelování se za- bývá obecnými problémy spojenými s modelo- váním reálných systémů pomocí abstraktních systémů představovaných abstraktními mode- ly. V průběhu modelování jsou konkretizovány obecné pojmy a procesy použitého systémo- vého modelování. Modelování a simulace

11 březen 2009 Modelování umožňuje studovat vztahy podob- nosti mezi systémy, jakékoliv stavy v systé- mech, problematiku zjednodušování reálných objektů (aby byly modelovatelné), problema- tiku reálných měření veličin systému, problé- my formulací hypotéz o dalším vývoji, atd. Modelování a simulace

12 březen 2010 Modelování a simulace problémová situace realita implementace systémového řešení problému nová formulace problému relevantní systémové modely formulace problému SYSTÉMOVÉ MODELOVÁNÍ relevantní systémové modely koncepční systémové modely formulace problému

13 březen 2009 OPTIMALIZAČNÍ MODELOVÁNÍ Postupů vedoucích k nalezení optimálního řešení daného problému je celá řada. Patří mezi ně i matematické modelování, které umí najít rozhodnutí splňující předem definované (zadané) podmínky (kritéria). Modelování a simulace

14 březen 2009 Je jednou za základních oblastí operačního výzkumu. K jeho pracovnímu postupu je po- třeba, aby problém byl popsán pomocí tzv. optimalizačního modelu. Modelování a simulace

15 březen 2009 Optimalizační model Optimalizační model má tři části – pomocí proměnných se za prvé vyhledají (vypíší) jed- notlivé prvky rozhodnutí – ve druhé jsou po- mocí soustavy omezujících podmínek popsá- ny možné hodnoty proměnných – ve třetí pak optimalizace pomocí formulovaného kritéria vhodné funkce. Postup řešení vychází z matematické analýzy a vyšetřování (nalezení) extrému funkce. Modelování a simulace

16 březen 2009 Kritérium je zobrazeno funkcí, jejíž extrém se hledá. Omezující podmínky jsou zapsány ve formě nerovnic nebo rovnic (čili matematickým aparátem – tím se matematické modely liší od jiných modelů a metod) a musí splňovat pod- mínky kladené na řešení. Jako všude, kde je využíváno matematiky, je i zde celá řada prakticky rovnocenných způ- sobů a metod. Modelování a simulace

17 březen 2009 V podstatě je trojí typ veličin, jejichž opti- mum hledáme - minimální vstup do systému při daném vý- stupu (minimalizace výrobních nákladů při tr- valém objemu produkce) - maximální výstup ze systému při daném vstupu (maximální produkce při daných suro- vinách) - maximální rozdíl mezi výstupem a vstupem (maximalizace zisku). Modelování a simulace

18 březen 2009 V podstatě je trojí typ veličin, jejichž opti- mum hledáme - minimální vstup do systému při daném vý- stupu (minimalizace výrobních nákladů při tr- valém objemu produkce) - maximální výstup ze systému při daném vstupu (maximální produkce při daných suro- vinách) - maximální rozdíl mezi výstupem a vstupem (maximalizace zisku). Modelování a simulace

19 březen 2009 Obecný optimalizační model Optimalizační úloha neboli model matematic- kého programování slouží k popisu klasických úloh hledání extrému. Výsledkem je řešení, které je omezeno řadou podmínek, kterým musí vyhovět, stejně tak jako musí vyhovět i uvažovaným (zadaným) kritériím. Modelování a simulace

20 březen 2009 Nutno poznamenat, že matematické optimum nemusí vždy být shodné s ekonomickým opti- mem, neboť vložení ekonomických podmínek a omezení může zkomplikovat model natolik, že je prakticky neřešitelný. Řešení je totožné s rozhodnutím, a jeho prvky je popsáno vektorem proměnných (jejichž slo- žek, které vyjadřují rozsah jednoho procesu, aktivity nebo prvku rozhodnutí). Modelování a simulace

21 březen 2009 Vektor proměnných má tvar: x = (x 1, x 2,..., x n ) T Є R n Možné řešení se svými variantami rozhodnutí, je ovlivněno omezujícími podmínkami. Jejich matematický tvar: q ( x ) ≤ 0 kde: q ( x ) je reálná funkce proměnných x 1, x 2,..., x n. Modelování a simulace

22 březen 2009 Optimální modely Optimální modely se dělí: podle počtu kritérií jednokriteriální optimalizační model vícekriteriální optimalizační model podle typu kriteria minimalizační model (hledá se minimum účelové funkce) maximalizační model (hledá se max. ú.f.) cílový model (kriteriem je rozhodnutí o do- sažení předem daného výsledku, cíle) Modelování a simulace

23 březen 2009 podle použitých funkcí lineární optimalizační modely (používají pouze lineární funkce a jsou obecně řešitelné simplexovým algoritmem) nelineární optimalizační modely (v jejich matematickém popisu je alespoň jedna nelineární funkce), které se dále dělí Modelování a simulace

24 březen 2009 Nelineární optimalizační modely se dále dělí: konvexní modely s minimalizací účelové fun- kce obsahuje pouze konvexní funkce, případ- ně účelová funkce je konvexní funkcí a množi- na přípustných řešení je konvexní množinou – v případě maximalizačního modelu musí být účelová funkce konkávní Modelování a simulace

25 březen 2009 velmi známým je konvexní kvadratický mo- del, jehož množina přípustných řešení je defi- nována pomocí lineárních funkcí a kriterium je definováno kvadratickou funkcí nekonvexní modely – to jsou všechny os- tatní optimalizační modely, které jsou skupi- nou špatně řešitelských úloh. Modelování a simulace

26 březen 2009 Analytické metody řešení optimalizačního modelu úloha na vázaný extrém – to je klasická úloha nalezení extrému funkce na části jejího definičního oboru – nazývá se též úlohou na- lezení extrému podél funkce křivky úloha na volný extrém – je úlohou naleze- ní minimální hodnoty funkce na jejím celém definičním oboru Modelování a simulace

27 březen 2009 konvexní optimalizační model – je úlo- hou nalezení minima konvexní účelové fun- kce f (x) pro všechny vektory x z konvexní množiny M. Modelování a simulace

28 březen 2009 Gradientní metody Jsou to prostředky hledání řešení konvexního optimalizačního modelu. Zjednodušeným zá- kladem je postupné procházení (iteracemi vy- užívajícími vlastnosti gradientu růstu funkce) přípustných řešení a hledání toho nejlepšího z nich. Přitom lze uvažovat se všemi omezu- jícími podmínkami. Jistým praktickým problé- mem je správná volba iteračního kroku (jeho vhodné velikosti). Modelování a simulace

29 březen 2009 Penalizační metody Optimalizační model se převádí na hledání a nalézání extrémů posloupnosti určitých (vy- braných) funkcí definovaných na základě pů- vodní účelové funkce, omezujících podmí- nek a posledního existujícího řešení. Podmínka = penalizační funkce (ovlivňující původní funkci f ( x ) musí vést posloupnost řešení k výsledku musí mít svoji limitu stejně jako řešení x opt. Modelování a simulace

30 březen 2009 Heuristické metody Základem je vyšetřování velkého množství přípustných řešení a hledání optimální podoby řešení – obvykle není zvládnutelné prozkou- mat úplně všechna řešení, jedná se spíše o suboptimalitu (ve smyslu výlučnosti existence „neznámého“ lepšího, optimálnějšího řešení). Výchozím krokem je (obvykle náhodné) ge- nerování nového přípustného řešení. Modelování a simulace

31 březen 2009 Přípustné řešení z množiny řešení M nebo pří-mo z okolí perspektivního přípustného řešení x 0. Pak je pro každé nové přípustné řešení x k vypočtena účelová funkce f (x k ), a ta je porov-nána s již získanými výsledky. Následuje test optimality. Pokud má některé z nalezených ře-šení dostatečně „dobrou“ a blízkou hodnotu účelové funkce (již nelze vůbec nebo jen veli-ce málo (nepodstatně) zlepšit) je prohlášeno za optimální. Modelování a simulace

32 březen 2009 STOCHASTICKÉ MODELY V analytických řešeních a v rozhodovacích procesech se často používají tzv. Markovské řetězce, což jsou nejjednodušší stochastické modely. Jejich matematický aparát je jednodu- chý a předpoklady natolik obecné, že je mož- né jejich široké nasazení a aplikační využití. Modelování a simulace

33 březen 2009 Stochastické modely Stochastické modely jsou modely zobrazu- jící systémy, kde alespoň jedna ze vstupních informací je zadána jako náhodná veličina nebo stochastická (náhodná) funkce. Náhodná veličina je definována pravděpodob- nostním rozdělením a jeho charakteristikami. Stochastická funkce obsahuje jak vlastnosti nenáhodné funkce, tak i vlastnosti náhodné veličiny. Modelování a simulace

34 březen 2009 Součástí stochastického modelu může být funkce rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny, stochastická funkce nebo jiný popis stochastického prvku (tabulka funkčních hod- not, funkce popisující hodnoty subjektivních pravděpodobností atd.). Cíl = najít zákonitosti vývoje modelovaného procesu, aby bylo možné předvídat budoucí chování procesu a tím umožněno hodnocení. Modelování a simulace

35 březen 2009 Algoritmy řešení stochastických modelů jsou celkem náročné a tak se často používají jiné postupy – zejména ty, které jsou založeny na heuristických přístupech. Náhodné veličiny vstupních informací, které se vyskytují v mo- delu (byť to byla pouze jediná), znamenají, že všechny výsledné informace jsou také náhod- nými veličinami a je nutné uvádět je ve formě charakteristik náhodných veličin (tabulek, poměrů, rozptylů, výskytů, grafů apod.). Modelování a simulace

36 březen 2009 Stochastickým procesem nebo náhodnou funkcí se rozumí každá funkce X(t), která má za hodnotu náhodnou funkci při dané hodnotě argumentu : X ( t ) = X ( e, t ) … pro pravděpodob- nost P, že v jistém čase t nastane jev e P X ( t ) = e. Argument e je elementární jev (tak jsou často nazývány stavy stochas- tického procesu), prvek množiny elementárních jevů. Argument t většinou představuje čas. Modelování a simulace

37 březen 2009 Platí, že realizace stochastického procesu je nenáhodnou funkcí argumentu t v závis- losti X(t) = X(t,e t ) když pro každý okamžik t nabývá hodnoty e t. Jednu z klasifikací stochastických procesů závisejících na proměnných e a t ukazuje tabulka. Modelování a simulace

38 březen 2009 Modelování a simulace JEV … e diskr é tn í spojitý ČAS … t diskr é tn í diskr é tn í řetězec spojitý řetězec spojitý diskr é tn í proces spojitý proces

39 březen 2009 Markovské řetězce Popisují chování procesů, které jsou diskrétní v čase i jevech. Umožňují pomocí jištěných zákonitostí hodnotit chování procesů v budou- cnosti. Na Markovské řetězce lze pohlížet i jako na posloupnosti náhodných veličin { X n } s n znamenajícím časový krok. Jednotlivé stavy, které mohou v Markovském řetězci nastat se označují posloupností E 1, E 2, E 3, …, Modelování a simulace

40 březen 2009 Je zřejmé, že stav Markovského řetězce v kroku m, je závislý vždy jen na jeho stavu v kroku m-1. Modelování a simulace

41 březen 2009 Pro výpočet pravděpodobnosti přechodu p ij (n) homogenních řetězců ze stavu i do stavu j za n kroků platí Markovova rovnice: p ij (n) = ∑ p ik (m) * p ik (n-m), … sumace pro k a pro m = 1, 2, …, n-1 Obdobně to platí i pro nehomogenní Markov- ské řetězce. Modelování a simulace

42 březen 2009 Metoda Monte Carlo Je to celá třída algoritmů pro simulaci systé- mů. Jde o stochastické metody používající náhodná čísla. Typicky je využívána pro vý- počet integrálů, zejména vícerozměrných, kde běžné metody nejsou efektivní. Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá přesnost. Modelování a simulace

43 březen 2010 Metoda Monte Carlo je založena na prová- dění náhodných experimentů (proto je také pojmenována po městě Monte Carlo) s mo- delem systému a jejich vyhodnocení. Je třeba mít kvalitní generátory pseudoná- hodných čísel (netřeba skutečně náhodná čísla). Modelování a simulace

44 březen 2010 Výsledkem Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu. Na základě získané pravděpodobnosti a známých vztahů se spočítají potřebné výsledky. Modelování a simulace

45 březen 2010 …..… cw05 – 08 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace k „Modelování“ pokračují ……