Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE INFLEXNÍ BODY. KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE Def.: Funkce  se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE INFLEXNÍ BODY. KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE Def.: Funkce  se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná."— Transkript prezentace:

1 KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE INFLEXNÍ BODY

2 KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE Def.: Funkce  se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla x 1, x 2, x 3  I, která splňují nerovnost x 1 < x 2 < x 3, platí, že bod [x 2, f(x 2 )] leží pod přímkou procházející body [x 1, f(x 1 )], [x 3, f(x 3 )] nebo na ní. Funkce  se nazývá konkávní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla x 1, x 2, x 3  I, která splňují nerovnost x 1 < x 2 < x 3, platí, že bod [x 2, f(x 2 )] leží nad přímkou procházející body [x 1, f(x 1 )], [x 3, f(x 3 )] nebo na ní.

3 Def.: Funkce  je ryze konvexní v bodě x 0, jestliže má v bodě x 0 vlastní derivaci  ´(x 0 ) a existuje-li takové číslo  >0, tak, že pro každé x  (x 0 -  ; x 0 )  (x 0 ; x 0 +  ) platí:  (x) >  ´(x 0 )(x – x 0 ) +  (x 0 ). Funkce  je ryze konkávní v bodě x 0, jestliže má v bodě x 0 vlastní derivaci  ´(x 0 ) a existuje-li takové číslo  >0, tak, že pro každé x  (x 0 -  ; x 0 )  (x 0 ; x 0 +  ) platí:  (x) <  ´(x 0 )(x – x 0 ) +  (x 0 ). Je-li funkce konvexní (konkávní) v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konvexní (konkávní) v int. I.

4 V: Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že  ´´(x) > 0, (  ´´(x) < 0), pak je funkce v intervalu I konvexní (konkávní). Př. Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce f: y = (x - 1) 3. Určíme první a druhou derivaci dané funkce: Určíme nulové body druhé derivace: Zřejmě pro x >1 je  ´´(x) > 0 a pro x < 1 je  ´´(x) < 0. To znamená, že funkce  je v int. (-  ; 1) konkávní a v int. (1;  ) konvexní.

5 INFLEXNÍ BOD FUNKCE Def.: Nechť funkce  má v bode x 0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce  z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ nebo z polohy „pod tečnou“ do polohy „nad tečnou“, nazýváme bod x 0 inflexní bod funkce . V: Je-li bod x 0 inflexním bodem funkce  a má-li funkce  v tomto bodě druhou derivaci, pak  ´´(x 0 ) = 0. V: Nechť funkce  má druhou derivaci v každém bodě nějakého  -okolí bodu x 0 a nechť tato druhá derivace  ´´(x) má v intervalech (x 0 -  ; x 0 ) a (x 0 ; x 0 +  ) různá znaménka, pak bod x 0 je inflexním bodem funkce .

6 Př. Určete inflexní body funkce: Určíme druhou derivaci dané funkce: Určíme nulové body druhé derivace a znaménka na vzniklých intervalech: Na intervalech (-  ; 0) a (0,5;  ) má 2.derivace kladné znaménko, tj. funkce je konvexní, na intervalu (0; 0,5) má 2.derivace záporné znaménko, tj. funkce je konkávní. Protože v obou bodech 2.derivace mění znaménko, jsou tyto inflexními body.


Stáhnout ppt "KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE INFLEXNÍ BODY. KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE Def.: Funkce  se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná."

Podobné prezentace


Reklamy Google