Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik."— Transkript prezentace:

1 Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. a % z 100 m 2 (100 – a) % Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou Plocha se počítá pomocí určitého integrálu Princip výpočtů – neurčitý integrál

2 Nechť F (x) je funkce, pro kterou platí F / (x) = f ( x ). Pak F je primitivní funkce k funkci f. Nechť F je primitivní funkce k f, tj. F / (x) = f ( x ). Jestliže c je libovolná konstanta, pak (F + c) / (x) = f ( x ), tedy F + c je rovněž primitivní fukce k f. Stručněji píšeme Integrace některých funkcí. Příklad. |||| ||

3 Neurčitý integrál z funkce f lze počítat pouze na množině, kde je f definována!!!

4 Integrace per partes. Nechť f a g mají vlastní derivace v intervalu I. Pak f g' je integrovatelná v I právě tehdy, je-li f 'g integrovatelná v I, a platí Příklad.

5 Substituce. Nechť  z = f ( x ), x  A  D( f ) a f má derivaci v A  y = g ( z ), z  B  D( g ) a existuje primitivní funkce G ( z ) na B  f ( A )  B Pak

6 Příklad. Stručněji a jednodušeji

7 Příklady k procvičení. Vypočítejte, jestliže

8 Určitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. a % z 100 m 2 (100 – a) % Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou Plocha se počítá pomocí určitého integrálu Princip výpočtů – neurčitý integrál

9 Nechť k funkci f existuje na intervalu I = [a, b]  (- , +  ) primitivní funkce F, tj. F / (x) = f (x), x  I. Nechť existují a. Pak definujeme Newtonův (určitý) integrál Newtonův (určitý) integrál. Riemannův integrál. Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky) Délka hrany obdélníků na ose x: h Můžeme psát S H (h), S D (h). Definujeme: (Riemannův integrál k f na intervalu (a, b)

10  “plocha“ obdélníka: f (m) h, kde m je buď minimum, nebo maximum v úseku na ose x  určitý integrál z kladné funkce je kladný, ze záporné funkce je záporný.  pokud je (a, b) konečný, nezáleží na jeho typu. Je-li funkce f spojitá na intervalu [a, b], pak Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky)

11 Příklad. Příklad (úvodní). tj. zhruba 16.7% (ze 100m 2 ).

12 Integrace per partes pro určitý integrál. Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v intervalu (a, b). Nechť existuje. Pak Příklad. Určete velikost plochy pod křivkou f (x) = x sin(x) na intervalu (0,  ).

13 Substituce v určitém integrálu. Nechť funkce g má primitivní funkci na intervalu (a, b), nechť f je diferencovatelná funkce na intervalu (c, d), R( f )  (a, b). Pak Příklad. Určete obsah kruhu o poloměru r. Stačí vypočítat obsah horního půlkruhu a vypočtený obsah násobit 2. (Jinak by takto popsaný kruh měl obsah roven 0!!!!!!

14 Substituce x / r = y. Pak dx / r = d y. Když x = - r, pak y = - r / r = - 1. Když x = r, pak y = 1. = (*) Substituce y = sin z. Pak dy = cos z dz. Když y = -1, pak z = -  /2, když y = 1, pak z =  /2. Platí (ověřte!!) (*) = Substituce 2z =p, 2zdz = dp. Když z =  /2, pak p =  (protože poslední integrál je roven 0 – ověřte!!!!) Plocha horního půlkruhu je tedy rovna  r 2 / 2, tedy plocha kruhu je rovna  r 2.

15 Příklad. Určete plochu na intervalu (0, 1), která je pod křivkou f ( x ) = x (1 – x) a nad křivkou g ( x ) = x (1 - x). f ( x ) g ( x )

16 Příklad. Vpočítejte. Příklad. Vpočítejte. A (x – 3) + B (x + 1) = 1  A = -B = 0.25

17 = log (1/3) 0.25  Příklad. Vypočítejte obsah oblasti ohraničené křivkami y = x 2, y 2 = x, x  0. Společné body křivek: [x, y] = [0, 0] [x, y] = [1, 1] Plocha je rovna 2/3 - 1/3 = 1/3.

18 Objem rotačního tělesa. Objem tělesa vzniklého rotací funkce f, f  0 na (a, b), kolem osy x se spočítá jako Příklad. Vypočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2. Aby se integrály nevynulovaly, počítáme 2x rotaci půlkruhu. Objem koule tedy je 4  r 3 / 3.

19 Příklady k procvičení. Určete objem tělesa, které vznikne rotací plochy pod f ( x ) = x (1 – x) na intervalu (0, 1). Vypočtěte objem kužele, který vznikne rotací úsečky y = r x / v kolem osy x na intervalu (0, v ), v je výška kužele, r je poloměr podstavy.


Stáhnout ppt "Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik."

Podobné prezentace


Reklamy Google