Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Co je integrální počet? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Co je integrální počet? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu."— Transkript prezentace:

1 Co je integrální počet? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org). x2x2 Archimedes (287 – 212 přnl.) Domenico Fetti : Zamyšlený Archimedes Archimedův problém : jaká je velikost plochy ohraničené přímkami x = 1, y = 0 a para- bolou y = x 2 ?

2 Co je integrální počet? Rozdělme osu x mezi nulou a nějakým bo- dem b na ekvidistan- tní intervaly. Je-li in- tervalů n, šířka jedno- ho bude b/n. Aproximujme funkci schodovitým útvarem – plocha pod funkcí je pak nahrazena plo- chou sloupců. Zvolme dvě možnosti, jak sloupce utvořit: Dolní součet Horní součet Velikost hledané plo- chy je někde mezi hor- ním a dolním součtem.

3 Co je integrální počet? Dolní součet Počet intervalů : n Šířka intervalu : b/n Výška k-tého sloupce : Plocha k-tého sloupce : Celková plocha obrazce :

4 Co je integrální počet? Horní součet Počet intervalů : n Šířka intervalu : b/n Výška k-tého sloupce : Plocha k-tého sloupce : Celková plocha obrazce :

5 Co je integrální počet? Pro libovolné n platí nerovnost neboli ??? Tady Archimedes skončil. Tyto řady mu sice dovolovaly určit plochu přibližně, ale pro absolutně přesný výsledek by musel poslat n do nekonečna a počítat limity – což neuměl. Ale my to už umíme  !

6 Co je integrální počet? Abychom mohli počítat limitu, musíme nejprve sečíst konečnou řadu. Pro tento výpočet použijeme fintu – přepíšeme si k 2 pomocí součtu další řady – aritmetické. Jelikož pro aritmetickou řadu platí, že Z toho plyne

7 Co je integrální počet? Řadu si přepíšeme jako Tento dvojitý součet si pro přehlednost přepíšeme do čtvercového schematu: i k

8 Co je integrální počet? Tedy Poslední výraz roznásobíme a sumu roztrháme na jednotlivé části. Přitom je třeba si uvědomit, že a proto

9 Co je integrální počet? Z rovnosti pak již snadno vyjádříme a zcela elementární úpravou pak získáme konečný vzorec Pozn.: obdobnou metodou lze spočítat součet z řady k 3 a vyšších.

10 Co je integrální počet? Spočítejme nyní obě limity (horní i dolní součet pro n jdoucí k nekonečnu): Obě limity vyšly stejně a z věty o dvou policajtech je zřejmé, že obsah plochy pod parabolou mezi bodem nula a b je tedy b 3 /3.

11 Co je integrální počet? 4 Heureka ! Plocha pod funkcí b 2 je rovna b 3 /3. Není na tom něco nápadného? Jaký mají tyto dva výrazy vztah? Plocha pod parabolou od bodu nula k bodu x je tzv. primitivní funkce – jejím zderivováním zí- skáme původní parabolu. Toto zjištění se poz- ději ukáže jako obecné pro libovolnou „mravně se chovající“ funkci.

12 Co je integrální počet? Archimedův problém jsme rozlouskli pomocí rozdělení intervalu v definičním oboru na malé kousky, zavedením příslušných obdélníčků a jejich posčítáním. Pomocí limitního vztahu jsme šířku obdélníčků (a tím jejich obsah) poslali k nule, zároveň jsme ale poslali do nekonečna jejich počet. To je základním principem integrace – jednoduše řečeno, integrování je sčítání nekonečně mnoha nekonečně malých kousků

13 Co je integrální počet? Spočítejte objem nádoby, jejíž vnitřní stěna má tvar rotačního paraboloidu (tedy útvaru, který vznikne rotací paraboly x 2 kolem osy y) o výšce 0.5 m. Příklad

14 Co je integrální počet? Spočítejte objem nádoby, jejíž vnitřní stěna má tvar rotačního paraboloidu (tedy útvaru, který vznikne rotací paraboly x 2 kolem osy y) o výšce 0.5 m. Příklad b Dolní součet válečků Počet válců : n Šířka válce : b/n Poloměr k-tého válce : Objem k-tého válce : Celkový objem válců :

15 Co je integrální počet? Spočítejte objem nádoby, jejíž vnitřní stěna má tvar rotačního paraboloidu (tedy útvaru, který vznikne rotací paraboly x 2 kolem osy y) o výšce 0.5 m. Příklad Nyní stačí poslat počet válečků aproximujících nádobu do nekonečna (a jejich objem do nuly), tedy provést výpočet Pro nádobu s výškou 0.5 metrů je tedy objem b

16 Definice určitého integrálu Předchozí úvahy nám daly dobrý návod, jak definovat tzv. určitý integrál pro reálnou funkci. Nelze ovšem jen tak použít limitní vztahy z předchozích příkladů – je nutné ukázat, že výsledek integrace zkoumané funkce bude stejný, i když zvolíme libovolný systém rozdělení definičního oboru – nejen na stejně široké sloupečky, ale i jakkoliv jinak. Definice 71. Buď f reálná funkce reálné proměnné, buď uzavřený interval z definičního oboru. Definujme množinu a nazvěme ji rozdělení intervalu. Libovolná posloupnost rozdělění se nazývá normální, právě když tj. pokud se vzdálenosti mezi všemi body rozdělení s rostoucím n zkracují.

17 Definice určitého integrálu Definice 72. Buď f reálná funkce reálné proměnné, buď uzavřený interval z definičního oboru a σ n rozdělení tohoto intervalu. Číslo nazveme integrálním součtem funkce f při rozdělení σ n. Definice 73. pak říkáme, že funkce má na intervalu určitý integrál (je integrovatelná) a značíme Buď f reálná funkce reálné proměnné, buď uzavřený interval z definičního oboru. Pokud pro všechna normální rozdělení intervalu při libovolné volbě koeficientů α i platí

18 Definice určitého integrálu Příklad funkce, která má integrál, jsme si již uvedli – je to například x 2 : Uveďme ještě nějakou funkci, která integrál nemá. Je jí např. Dirichletova funkce: Pokud při konstrukci integrálu zvolíme koeficienty α i racionální, vyjde limita c = 1. Zvolíme-li je iracionální, vyjde limita c = 0. Podotkněme, že tato volba je možná – mezi libovolně blízkými reálnými čísly x i-1 a x i je vždy nekonečný počet jak racionálních, tak iracionálních čísel.

19 Vlastnosti určitého integrálu Definice 74. Buď f reálná funkce reálné proměnné integrovatelná na intervalu. Definujme Věta 32. Buďte f a g reálná funkce integrovatelné na intervalu, buď z číslo z tohoto intervalu. Buď k libovolné reálné číslo. Platí

20 Vlastnosti určitého integrálu Věta 33. Buď f funkce integrovatelná na intervalu, nechť číslo m je minimum a číslo M maximum funkce f na intervalu. Pak platí a b m. ( b - a ) M. ( b - a )

21 Vlastnosti určitého integrálu Věta 33. Buďte f a g funkce integrovatelné na intervalu, nechť na celém tomto intervalu platí f ≤ g. Potom a b

22 Vlastnosti určitého integrálu Věta 34. Buď f funkce integrovatelná na intervalu. Pak | f | je rovněž v tomto intervalu integrovatelná a platí

23 Vlastnosti určitého integrálu Věta 35. Buďte f a g funkce integrovatelné na intervalu. Nechť na tomto intervalu platí, že f = g až na konečný počet bodů. Potom

24 Vlastnosti určitého integrálu Věta 36. Integrál jako funkce meze : nechť funkce f je integrovatelná v intervalu. Pak pro funkci F(x) definovanou vztahem platí : 1)F je spojitá na intervalu 2)Je-li f spojitá v bodě x 0 z, pak má funkce F v bodě x 0 derivaci, pro kterou platí F’(x 0 ) = f (x 0 ). Pozn. : Zde je první náznak faktu, že integrace a derivování jsou v jistém slova smyslu opačné procesy.

25 Výpočet určitého integrálu Věta 37. Newtonova formule : nechť funkce f je integrovatelná v intervalu, nechť existuje F(x), pro kterou platí potom : 1)F je spojitá na intervalu 2) Pozn. : Tato věta nám dává návod, jak počítat určitý integrál jednodušeji, než přes limity a důkazy existence. Najdeme-li k funkci f tzv. primitivní funkci F, která je spojitá, lze do ní dosadit koncové body intervalu a odečíst je. Problém hledání hodnoty integrálu se tak přesouvá na problém hledání primitivní funkce.

26 Neurčitý integrál Definice 75. Buď f reálná funkce definovaná na intervalu ( c, d ). Nechť existuje funkce F taková, že Funkci F nazýváme primitivní k funkci f. Množinu všech primitiv- ních funkcí k f nazýváme neurčitým integrálem a značíme Pozn.: jednotlivé primitivní funkce se od sebe liší o konstantu : F(x) = G(x) + C. Neurčitý integrál je tedy množina funkcí ve tvaru F(x) + C, pro zjednodušení obvykle v zápisu konstantu C vypouštíme (ale nelze ji vypustit tam, kde ovlivní výsledek). Jednotlivé členy zápisu nazýváme: f ………. integrand C ……… integrační konstanta Pozn.: spolu s Newtonovou formulí jde použít jen tam, kde je podmnožinou (c,d), tj c < a < b

27 Neurčitý integrál

28 Vlastnosti neurčitého integrálu Věta 38. Buďte f a g reálná funkce definované na ( a, b ), buďte F a G k nim příslušné primitivní funkce, k reálná konstanta. Pak platí, že kF je primitivní funkce k k f a funkce F + G je primitivní k f + g, neboli: Pozn. : vlastnosti určitého a neurčitého integrálu jsou spolu do jisté míry svázány Newtonovou formulí. Metody a vlastnosti neurčitých integrálů lze přenést na určité. To je užitečné zejména pro integraci metodou per partes a substituční metodou.

29 Neurčitý integrál Spočítejte integrály Příklad Pozn. : povšimněte si, že integrační konstanty se díky Newtonově formuli odečtou a ve výsledku vůbec nefigurují.

30 Vlastnosti neurčitého integrálu Věta 39. Integrace per partes : metoda integrování založená na větě o derivaci součinu. Nechť pro f, g na (a,b) platí Tento fakt vychází z derivace součinu – když formuli pro derivaci součinu zintegrujeme a upravíme, získáme předchozí tvrzení. Za předpokladů z Newtonovy formule pak můžeme pro určitý integrál psát rovnou 1)f a g mají konečné derivace f ’ a g’ 2)funkce f. g’ má primitivní funkci H Potom f.g – H je primitivní funkce k f ’.g na (a, b). Zapisujeme

31 Neurčitý integrál Metodou per partes počítejte neurčitý integrál Příklad Vyjdeme z výrazu. Napišme si, co je zde f a co g : Dosaďme do vzorce : Proveďme zkoušku opětovným zderivováním :

32 Neurčitý integrál Metodou per partes počítejte neurčitý integrál Příklad Vyjdeme z výrazu. Napišme si, co je zde f a co g : Dosaďme do vzorce : Nyní celý postup zopakujme znovu – tentokrát ovšem bude g(x) = x a g’(x) = 1:

33 Neurčitý integrál Pokračujme dosazením : Metodou per partes počítejte neurčitý integrál Příklad Použijeme fígl spolu se vzorcem pro metodu per partes:

34 Vlastnosti neurčitého integrálu Věta 40. Substituční metoda : metoda integrování založená na větě o derivaci složené funkce. Nechť pro f, φ platí Za předpokladů z Newtonovy formule pak můžeme pro určitý integrál psát rovnou 1)f má na (a, b) primitivní funkci F 2)φ má v intervalu (α, β) konečnou derivaci φ’ (=> je spojitá) 3)φ( (α, β) ) je podmnožinou (a, b) Potom F o φ je primitivní funkce k ( f o φ). φ’ na (a, b). Zapisujeme

35 Neurčitý integrál Substituční metodou spočítejte integrál Příklad Zvolme substituci y = φ(x) = x 2, tj. zavádíme novou integrační proměnnou y. S tou pracujeme takto : Výraz x dx nahradíme výrazem ½dy, výraz x 2 nahradíme výrazem y : Zpětně dosadíme za y

36 Neurčitý integrál Substituční metodou spočítejte integrál Příklad Zvolme substituci y = φ(x) = cos x, tj. zavádíme novou integrační proměnnou y. S tou pracujeme takto : Výraz - sin(x) dx nahradíme výrazem dy, výraz cos x nahradíme výrazem y : Zpětně dosadíme za y

37 Neurčitý integrál Substituční metodou spočítejte integrál Příklad Zvolme substituci x = φ(t) = sin t, tj. nahrazujeme integrační proměnnou x nějakou funkcí. S tou pak pracujeme následovně : Výraz x nahradíme výrazem sin t, výraz dx nahradíme výrazem cos t dt : Zpětně dosadíme za t

38 Neurčitý integrál Substituční metodou spočítejte integrál Příklad Zvolme substituci x = φ(t) = sin t, tj. nahrazujeme integrační proměnnou x nějakou funkcí. S tou pracujeme takto : Výraz dx nahradíme výrazem cos t dt, výraz t nahradíme výrazem sin t a upravíme integrační meze : Zdánlivě jsme si nepomohli, neboť integrál z cos 2 t také neznáme. Nicméně jej lze vypočítat poměrně snadno, a to dvěmi způsoby.

39 Neurčitý integrál Substituční metodou spočítejte integrál Příklad Za použití součtového vzorce pro cos 2t :

40 Neurčitý integrál Substituční metodou spočítejte integrál Příklad Za použití metody per partes : a součtového vzorce sin 2 t + cos 2 t = 1 :

41 Nevlastní integrál 1 Určitý integrál lze zobecnit z uzavřeného intervalu a omezené funkce na interval otevřený a funkci neomezenou. Má se například smysl ptát, zda funkce načrtnutá na grafu vlevo má integrál od nuly do jedné – tj. jakou plochu na tomto intervalu uzavírá. Je tato plocha konečná či nekonečná? Určitý integrál máme definován pro omezenou funkci na uzavřeném intervalu. K intervalu otevřenému přejdeme za pomocí věty o integrálu jako funkci meze. Definujme si funkci S bodem b není problém – v jeho okolí je funkce spojitá a omezená. Pro libovolné y z intervalu (0,1> je integrál také v pořádku – na celém je funkce spojitá a omezená. Jak nyní určíme velikost plochy je zřejmé – stačí vypočítat limitu

42 Nevlastní integrál 1 Pro integrál od y do 1 není problém a umíme jej řešit : Vidíme, že plocha má nekonečnou velikost. Integrál označujeme jako divergující: Nyní jen spočítáme limitu:

43 Nevlastní integrál 1 Ukažme, že existuje podobná funkce, která ale má integrál konvergující (konečný): Pro libovolné y > 0 zde opět nemáme žádný problém a snadno vyjádříme, že Nyní stačí spočítat limitu, která je ovšem extrémně jednoduchá: Tedy

44 Nevlastní integrál Stejným způsobem lze řešit nekonečné integrační meze. Vezměme například funkci 1/x 2 od jedné do plus nekonečna a zkoumejme velikost plochy, kterou pod sebou uzavírá. Tedy integrál konverguje : 1

45 Nevlastní integrál Definice 76. Buďte a, b reálná čísla nebo nekonečna, buď f funkce, pro kterou platí respektive Potom existuje-li limita nazýváme tuto limitu zobecněným integrálem (integrálem v nevlastním bodě) a značíme ji stejně, jako integrál určitý, tedy

46 Aplikace určitého integrálu Objem rotačního tělesa b a Příklad s parabolickou nádobou lze zobecnit na rotační těleso, jehož tvar určuje libovolná v kvadrátu inte- grovatelná funkce. Integrální součet zkonstruujeme následovně:

47 Aplikace určitého integrálu Délka křivky v R n Křivku v R n je možné popsat vektorovou funkcí φ : -> R n, respektive n reálnými funkcemi φ i : -> R, z nichž každá popisuje chování křivky v jedné souřadnici. Tyto funkce musí být všechny spojité (v bodech nespojitosti by křivka byla přerušena) a aby bylo možné určit její délku, tak také diferencovatelné a jejich derivace spojité. Křivky mohou být otevřené a uzavřené, případně jednoduché (neprotínají samy sebe).

48 Aplikace určitého integrálu Délku křivky můžeme aproximovat pomocí lomené čáry. Jestliže vytvoříme nějaké rozdělení intervalu : Potom délka je

49 Aplikace určitého integrálu Abychom mohli pokračovat dále, je třeba pochopit základní myšlenku tzv. Langrangeovy věty o přírůstku funkce. Ta říká, že je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu, pak existuje číslo c tak, že platí ab cc Přírůstek mezi body f (a) a f (b) lze vyjádřit pomocí derivace funkce v nějakém vnitřním bodě intervalu. Jinými slovy, existuje alespoň jedna tečna k funkci rovnoběžná s přímkou spojující krajní body funkce.

50 Aplikace určitého integrálu Za použití věty o přírůstku pak dostaneme body uvnitř podinterválků rozdělení, pro každou souřadnici obecně jiné

51 Aplikace určitého integrálu Výraz ale již výrazně připomíná in- tegrální součet funkce

52 Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete obvod kružnice o poloměru R. Příklad Křivku „kružnice v R 2 “ si nejprve parametrizujme dvěmi funkcemi : Nyní dosaďme do vzorce:

53 Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete délku n otáček šroubovice parametrizované Příklad

54 Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete délku cykloidy parametrizované jako Příklad Nyní využijeme součtový vzorec

55 Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete délku cykloidy parametrizované jako Příklad

56 Shrnutí • Co je integrální počet • Definice určitého integrálu • Vlastnosti určitého integrálu • Newtonova formule • Definice neurčitého integrálu • Vlastnosti neurčitého integrálu • Výpočet neurčitého integrálu • Metoda per partes • Substituční metoda • Nevlastní integrál • Objem rotačního tělesa • Délka křivky v R n


Stáhnout ppt "Co je integrální počet? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu."

Podobné prezentace


Reklamy Google