Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Popis časového vývoje. Pohyb hmotného bodu je plně popsán závislostí polohy na čase. Otázkou je, jak zjistit vektorovou funkci času ~r (t), která pohyb.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Popis časového vývoje. Pohyb hmotného bodu je plně popsán závislostí polohy na čase. Otázkou je, jak zjistit vektorovou funkci času ~r (t), která pohyb."— Transkript prezentace:

1 Popis časového vývoje

2 Pohyb hmotného bodu je plně popsán závislostí polohy na čase. Otázkou je, jak zjistit vektorovou funkci času ~r (t), která pohyb částice pln určuje. Zákony mechaniky fungují tak, že na základě znalosti interakcí částice s okolními objekty a znalosti její polohy ve dvou okamžicích lze v principu určit její polohu v libovolném okamžiku. Ukazuje se, že důležitými pojmy pro popis pohybu částice jsou rychlost a zrychlení.

3 r(t) popisuje závislost polohového vektoru částice na čase. Koncový bod vektoru r, vedený z počátku soustavy souřadnic, opisuje křivku C, nazvanou trajektorie hmotného bodu. Změna vektoru - posunutí

4 Poloha hmotného bodu M je určena polohovým vektorem Okamžitá rychlost v = dr/dt (v limitě) např. v x = dx/dt. Má směr tečný k dráze v daném okamžiku. Δr ≠ Δs → obecně dráha ≠ změna polohového vektoru

5 t (s) r,s (m) t (s) To, že ujedeme stejnou dráhu za stejný čas není zárukou stejné okamžité rychlosti v průběhu tohoto pohybu Průměrná rychlost Okamžitá rychlost Obecně se v průběhu pohybu mění velikost (i směr). Rychlost

6 Rychlost, zrychlení Tečné a normálové zrychlení

7 Úhlové veličiny

8 Zrychlení Je to “růst rychlosti s časem”. Ačkoli jde o běžný vektor, je účelné (především pro pohyb kruhový) rozložit zrychlení vzhledem ke směru rychlosti obecného pohybu na tečné a normálové (orientace vůči pohybu, nikoliv vůči souřadnému systému) Budiž potom

9 Zrychlení normálové (dostředivé) Definice radiánu ! Směr dává normála, velikost dává úhel

10

11

12

13 Pohyb přímočarý - rovnoměrný Zavedeme-li souřadnou soustavu tak, aby se jedna osa (např. x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu, potom vystačíme se skalární rychlostí v = v x a se skalárním zrychlením a. Pozůstatek vektorové povahy těchto veličin je jejich orientace (+/-). Pohyb rovnoměrný přímočarý v = v 0  a = 0. v = dx/dt => x(t) = x 0 + v t kde x 0 = x(t=0) je integrační konstanta - počáteční podmínky.

14 Pohyb přímočarý – rovnoměrně zrychlený a = a t. = konst. a = dv/dt => v(t) = v 0 + a t, kde v 0 = x(t=0) je opět integrační konstanta x(t) = x 0 + v 0 t + a t 2 /2. Po druhé integraci přibyla další integrační konstanta. Počáteční podmínky jsou určeny dvěma parametry x 0 a v 0. -Rychlost roste s časem lineárně -Draha roste s časem kvadraticky

15 Pohyb křivočarý Normálová složka zrychlení a n musí být obecně alespoň někde nenulová a poloměr křivosti r se může měnit. Speciální případ je pohyb po kružnici. Odehrává se v jedné rovině a poloměr r křivosti je konstantní.  Umožňuje analytické vyjádření časových závislostí sledovaných veličin

16 Pohyb po kružnici I - rovnoměrný Vzhledem k periodičnosti pohybu požíváme úhlové veličiny: –ds = r d  –v = ds/dt = r d  /dt = r  –  = d  /dt = 2  / T (  = 2  za dobu jednoho oběhu T) = 2  f Takto se zavádí úhlová rychlost  [s -1 ], která je zde konstantní = rovnoměrný pohyb Normálové / dostředivé zrychlení a d = v 2 /r =  2 r = v  a d = konst. a t = 0  r  0 s adad

17 Po integraci: –  (t) =  0 +  t –s(t) = s 0 + r  t –  0 nebo s 0 jsou integrační konstanty opět dané počátečními podmínkami.  = d  /dt = konst., a t = 0, a d =  2 r =v 2 /r  r  0 adad

18 Pohyb po kružnici – pohyb kmitavý Průměty rovnoměrného kruhového pohybu do kolmých os jsou pohyby kmitavé. Souřadnice hmotného bodu B : x(t)= r.cos  (t) = r.cos(  0 +  t) y(t)=r.sin  (t) = r.sin(  0 +  t)  0 se zde nazývá počáteční fáze (v čase t = 0) r ≈ A …se nazývá amplituda VYNECHAT

19 Pohyb po kružnici II - zrychlený Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici. Hmotný bod se pohybuje s konstantním Úhlovým a tečným zrychlením :  = d  /dt = d 2  /dt 2 = konst. [s -2 ] a t = dv/dt= . r = konst. Po integraci: –  (t) =  0 +  t –  (t) =  0 +  0 t +  t 2 /2 Srovnej s x(t) = x 0 + v 0 t + a t 2 /2 = r.  (t) = r. (  0 +  0 t +  t 2 /2)

20 Pohyb po kružnici - obecně Protože rovina kruhové dráhy může mít různou polohu v prostoru, je nutné pro obecný případ pohybu použít vektorů Orientovaný úhlel d  má směr normály ke kružnici, orientované tak, že je úhel vidět jako pravotočivý. (proti směru hodinových ručiček) Obdobně je definován i směr a orientace úhlové rychlosti  a úhlového zrychlení .

21 Pohyb v prostoru Při obecném pohybu v prostoru je nutné pracovat s vektory a operace se provádějí v souřadnicích. Pro zjednodušení se snažíme využít případné symetrie a snížit počet složek, ve kterých dochází ke změně. Příkladem je pohyb v blízkosti povrchu Země - vrhy, odehrávající se ve svislé rovině x,z.

22 Vrhy U všech vrhů předpokládáme: –Zrychlení, které působí svisle dolů a má velikost tíhového zrychlení a = (0, 0, -g) –pohyb začíná z bodu r 0 = ( x 0, y 0, z 0 ) –počáteční rychlostí v 0 = (v x0, v y0, v z0 ) Z pedagogických důvodů se vrhy dělí podle počátečních podmínek na speciální případy. Všechny vektory se dají volbou souřadného systému převést na dvourozměrné

23 Vrh svislý Počáteční podmínky: –a = (0, 0, -g) r 0 = (0, 0, z 0 ), v 0 = (0, 0, v z0 ) Smysl má soustředit se jen na svislou osu z: –v z (t) = v z0 – g t – z(t) = z 0 + v z0 t – g t 2 /2 –Podmnožinou jsou a) volný pád : v z0 = 0. b) vrh vzhůru : v z0 > 0, z 0 = 0. Rychlost se zmenšuje, až dosáhne nuly v čase t m = v z0 /g horní úvrati kde dráha (max. výška) z(t m ) = v 2 z0 /2g Potom těleso padá a rychlost je záporná. Na zem (souřadnice z 0 ) dopadne v čase t n, který je řešením kvadr. rovnice z(t n ) = t n v z0 –gt 2 n /2 = 0 => t n = 0 t n = 2v z0 /g = 2t m..

24 Vrh vodorovný Počáteční podmínky: –a = (0, 0, -g) –r 0 = (x 0, y 0, z 0 ), (x 0 = y 0 = 0) –v 0 = (v x0, 0, 0) Pohyb je nyní nutno popsat ve dvou osách. Ve svislé z se jedná o volný pád - ve vodorovné x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlený: rovnoměrný přímočarý : –v z (t) = – g t v x (t) = v x0 –z(t) = z 0 – gt 2 /2 x(t) = x 0 + v x0 t Vrh je ukončen dopadem tělesa  t (maximální) = doba vrhu t společná pro obě složky pohybu

25 Vrh šikmý I Počáteční podmínky: –a = (0, 0, -g) –r 0 = (x 0, y 0, z 0 ), (x 0 = y 0 = 0) –v 0 = (v x0, 0, v z0 ) Počáteční rychlosti jsou spolu vázány: –v x0 = v 0 cos(  ) –v z0 = v 0 sin(  ) Těleso je tedy vrženo počáteční rychlostí v 0 pod elevačním úhlem s vodorovnou rovinou .

26

27

28 Lorentzova síla

29


Stáhnout ppt "Popis časového vývoje. Pohyb hmotného bodu je plně popsán závislostí polohy na čase. Otázkou je, jak zjistit vektorovou funkci času ~r (t), která pohyb."

Podobné prezentace


Reklamy Google