Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA Březen 2014 Lineární progr. - 2

2 Březen 2013 lineárního programování - 2. ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování - 2. ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Vypracována americkým matematikem G. B. Datzingem v roce Vychází z metody řešení soustavy lineárních rovnic - patří v matematice k nejpropracova- nějším a je vhodná i pro složité případy… Obecný postup je založen na numerickém řešení soustavy lineárních rovnic a nerovnic. Simplexová metoda Březen 2014

4 Algoritmus efektivně prohledává tzv. základní řešení úloh lineárního programování, kterých je konečný počet a hledá mezi nimi řešení optimální. Optimální řešení je takové základní řešení, které poskytuje nejlepší hodnotu účelové funkce. Simplexová metoda Březen 2011

5 Algoritmus hledá extrém zadané kriteriální neboli účelové funkce při zadaných omezu- jících podmínek. V ekonomických úlohách jsou přidány pod- mínky nezápornosti proměnných modelu z důvodu interpretace proměnných. Zřejmě to platí i pro zadané úlohy reálného světa. Simplexová metoda Březen 2011

6 Řešení modelů spadajících do oblasti lineár- ního programování je možné grafickou me- todu pokud mají pouze dvě rozhodovací proměnné – pro tři už je to opticky (i graficky) problematické a pro více proměnných prakticky neřešitelné…….. Její výhodou je názornost předvedení vztahů v modelu a naznačení univerzálně platných principů pro řešení. Simplexová metoda Březen 2011

7 simplexovou metodu Jenže v praxi bývá v soustavě lineárních rov- nic a nerovnic větší počet – řádově i stovky – proměnných. Zde se hodí použít tzv. simplexovou metodu. Nebo některou z, na ni navazujících a z ní vycházejících, řady dalších metod. Simplexová metoda Březen 2014

8 Simplexová metoda Březen 2011 Algoritmus klasické simplexové metody

9 Simplexová metoda Březen 2014 Algoritmus klasické simplexové metody soustava nelineárních rovnic soustava lineárních rovnic případný převod na kanonický tvar - výchozí základ- ní přípustné řeše- ní příslušné úlohy řešení s vyšší nebo nižší hodnotou účelové funkce

10 Je to metoda iterační využívající Gauss--- Jordanovu eliminační metodu doplněnou o dvě kritéria umožňující nalézt optimální řešení. Model je nutno upravit …… Simplexová metoda Březen 2011

11 kanonického tvaru ( kanonická forma, normální tvar nebo normální forma) Model je nutno upravit do speciálního kanonického tvaru (případně kanonická forma, normální tvar nebo normální forma) objektu - označuje se tak forma, ve které může být objekt jednoznačně prezen- tován - změna formy zápisu matematického tvaru. Simplexová metoda Březen 2011

12 Nechť je soustava lineárních rovnic zapsána v maticovém tvaru: A * x = b Obvyklý zápis …. Simplexová metoda Březen 2011

13 Obvyklý zápis úlohy ve standardním tvaru: Maximalizujte účelovou funkci z z = c T * x kde c T je transponovaný vektor cenových koeficientů vůči omezením (A matice a x vektor) A*x ≤ b, x ≥ 0. Simplexová metoda Březen 2011

14 Kanonický tvar Kanonický tvar Soustava je v tomto tvaru, pokud: - všechny podmínky jsou jako rovnosti - všechny hodnoty pravých stran podmínek b jsou nezáporné - v matici koeficientů podmínek A existuje jednotková submatice s hodností m - tzv. báze (base). Simplexová metoda Březen 2011

15 Kanonický tvar Kanonický tvar Další předpoklady - řešená úloha je v maximalizačním tvaru (převedení z minimalizačního tvaru na požadovaný maximalizační je snadné). Simplexová metoda Březen 2010

16 Kanonický tvar *ekvivalentní sou- stava rovnic * Kanonický tvar – postup získání 1. krok = min se převedena max 2. krok = násobením příslušné podmínka hodnotou (-1) se získá nezáporná hodnota b i 3. krok = doplněním PŘÍDATNÝCH (doplňko- vých) proměnných se získají rovnosti v pod- mínkách * těmto třem úpravám se říká ekvivalentní sou- stava rovnic * 4. krok = … Simplexová metoda Březen 2010

17 Kanonický tvar Kanonický tvar - postup …. 4. krok = pokud matice A neobsahuje 0-1 bázi (čili neobsahuje jednotkovou submatici) přidávají se pro její získání tzv. POMOCNÉ (umělé) proměnné – tyto proměnné nemají ekonomický smysl Simplexová metoda Březen 2011

18 KRÁTKÁ UKÁZKA KRÁTKÁ UKÁZKA Výchozí tvary: Simplexová metoda Březen 2011 minz = -x 1 + x 2 z.p.: x 1 - x 2 ≥ -3 2x 1 + x 2 ≥ 4 x 1 - 2x 2 = 3 x 1, x 2 ≥ 0 max z = +x 1 - x 2 z.p.: x 1 - x 2 ≥ -3 2x 1 + x 2 ≥ 4 x 1 + 2x 2 = 3 x 1, x 2 ≥ 0 → 1. krok min → max bude 2. krok

19 Březen 2011 min +x 1 - x 2 z.p.: -x 1 + x 2 ≤ +3 2x 1 + x 2 ≥ 4 x 1 + 2x 2 = 3 x 1, x 2 ≥ 0 min -x 1 + x 2 (+ 0x 3 + 0x 4 ) z.p.: -x 1 + x 2 + x 3 = 3 2x 1 + x 2 - x 4 = 4 x 1 + 2x 2 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0 3. krok 2. krok

20 Březen 2011 min -x 1 + x 2 (+ 0x 3 + 0x 4 ) - ω x 5 - ω x 6 z.p.: -x 1 + x 2 + x 3 = 3 2x 1 + x 2 - x 4 + x 5 = 4 x 1 + 2x 2 + x 6 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ≥ 0 Výsledný kanonický tvar 4. krok

21 Řešení musí splňovat tyto podmínky: * musí být nezáporné, tj. x* ≥ 0 * musí maximalizovat lineární formu L (x) – musí platit, že: L (x*) ≥ L (x) pro všechna ostatní řešení x dané soustavy. Simplexová metoda Březen 2009

22 Ve výše uvedených vztazích platí, že: x = ( x 1, x 2, x 3,......, x n ) T je vektor proměnných. Matice A je typu (m,n) pro m < n a platí předpoklad, že: h(A) = h(Ar) = m a úloha LP je nedegenerovaná. Simplexová metoda Březen 2009

23 matice sou- stavy nebo matice koef. proměnných Dále pro matici A platí, že je to matice sou- stavy nebo matice koef. proměnných Simplexová metoda Březen 2009 a 11 a a 1n A = ( a 1, a 2, a 3,......, a n ) = ………. a m1 a m2... a mn b = ( b 1, b 2, b 3,......, x n ) T... vektor hodnot pravých stran ( A │ b )... je tzv. rozšířená matice soustavy

24 Nejzajímavější budou ta řešení, která jsou zároveň krajními body množiny: S = { x │ A * x = b, x ≥ 0 } pokud existuje bod x 0 splňující rovnost A * x 0 = b pak lze pomocí Gauss-Jordanovy eliminace nalézt (vypočítat) další řešení x 1, x 2, atd. – těchto řešení je konečný počet. Simplexová metoda Březen 2009

25 Dále se spočte funkční hodnota L(x k ) u kaž- dého základního řešení x k … pro k = 1, 2, … q ≤ číslo n nad m po projití všech základních řešení, tj. všech krajních bodů množiny S, lze z nich elimino- vat nejvyšší hodnotu L(x k ) … pro k = 1, 2, … q ≤ číslo n nad m Simplexová metoda Březen 2009

26 x N - což je výsledek řešení zadané úlohy. Pokud je označen příslušný index k = N, je nejvyšší hodnotou hodnota L(x N ) a optimál- ním řešením je bod x N - což je výsledek řešení zadané úlohy. Problémem je nalézt výchozí základní řešení x 0 – řešením je vynucená úloha pro b i > 0, kde i = 1, 2, …, m. Simplexová metoda Březen 2009

27 velmi malé hodnoty Další problém – q číslo n nad m z předcho- zích vztahů může být obrovské – např. pro n = 50 a m = 50 bude mít číslo hodnotu q = 4,7129 * a popsaný postup nezvládnou ani superpo- čítače. Je zřejmé, že je to použitelné pro velmi malé hodnoty n a m. Simplexová metoda Březen 2009

28 Ruční výpočet simplexové metody Ruční výpočet simplexové metody - probíhá v simplexové tabulce – předsta- vuje rozšířenou matici soustavy lineárních rovnic. Je potřeba zajistit, aby pravá strana rovnic byla nezáporná. Rovněž může být vyžita doplňková proměnná typu rezerva. Simplexová metoda Březen 2009

29 Test optimality využívá kriteriálních hodnot (z r – c r ) min nebo (z r – c r ) max které při nabytí nulových hodnot signalizují, že test končí a že optimální hodnoty bylo dosaženo. Následující test přípustnosti zase vypočí- tává hodnoty Ω min (k). Simplexová metoda Březen 2009

30 Simplexová metoda – tabulka (obecně) Březen 2009 c 1 c 2... c n x 1 x 2... x n Ω min (k) x B1 c B1 x B2 c B2.... x Bm c Bm Ab β B1 / α B1 β B2 / α B2.... β Bm / α Bm (z r – c r ) min z 1 – c 1 z 2 – c 2... z n – c n y ( x )

31 Březen 2010 B c Bm c 1 c 2... c n x 1 x 2... x n b Ω min (k) x B1 c B1 x B2 c B2.... x Bm c Bm a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n … … a m1 a m2 … a mn b1b2…bmb1b2…bm β B1 / α B1 β B2 / α B2.... β Bm / α Bm (z r – c r ) min z 1 – c 1 z 2 – c 2... z n – c n y ( x ) HÚF hodnota účelové funkce řádky podmínek koeficienty účelové funkce sloupec pravých stran basické (bázické) proměnné hodnoty účelové funkce pro basické (bázické) proměnné

32 reprezentuje bod k x 0 řešením soustavy rovnic definujících množinu S. Jiné (obecnější, širší) znázornění matice A je tabulkovou formou – výhodou této tabulky je mimo jiné, že snadno definuje účelovou funkci k L( k x 0 ) i souřadnice bodu k x 0 – také se říká, že tabulka TO reprezentuje bod k x 0 – je řešením soustavy rovnic definujících množinu S. Simplexová metoda Březen 2009

33 Simplexová metoda - tabulka Březen 2009 c1c1 c2c2 … cncn c n+1 c n+2 … c n+m a1a1 a2a2 … anan a n+1 a n+2 … a n+m b c n+1 a n+1 a 11 a 12 … a 1n 10 … 0b1b1 c n+2 a n+2 a 21 a 22 … a 2n 01 … 0b2b2 …………………… 1 …… c n+m a n+m a m1 a m2 … a mn 00 … 1bmbm z - cd1d1 d2d2 … dndn d n+1 d n+2 … d n+mk L( k x 0 )

34 Simplexová metoda - Konečná Simplexová tabulka Březen 2009 c1c1 c2c2 … cncn c n+1 c n+2 … cmcm a1a1 a2a2 … anan a n+1 a n+2 … amam b c1c1 a1a1 a 11 a 12 … a 1n a 1n+1 a 1n+2 … a 1m x1x1 c2c2 a2a2 a 21 a 22 … a 2n a 2n+1 a 2n+2 … a 2m x2x2 …………………… 1 …… cmcm amam a m1 a m2 … a mn a mn+1 a mn+2 … a mm xmxm z - cd1d1 d2d2 … dndn d n+1 d n+2 … dmdm

35 TO │ k x 0 = ( 0, 0, …, 0, b 1, b 2, …, b m ) T … k x 0 TO │ k x 0 = ( 0, 0, …, 0, b 1, b 2, …, b m ) T … definice bodu k x 0 Pro praxi je potřeba hledat a nalézat všech- na optimální řešení, která danému problému přísluší. Simplexová metoda Březen 2009

36 shrnutí principu Simplexové metody. Pro úplnost ještě shrnutí principu Simplexové metody. Simplexová metoda Březen krok = nalezne se jeden krajní bod (KB), tj. jedno bázické přípustné (základní) řešení (BPŘ) ( = čili má nejvýše m složek (proměn- ných) kladných – kde m je počet lineárně nezá- vislých podmínek řešeného modelu + množina sloupcových vektorů matice A, které odpovídají těmto proměnným, je lineárně nezávislá) krok = …..

37 Simplexová metoda Březen krok = přejde se do dalšího „sousedního“ KB (BPŘ) (tj. takové dvě BPŘ, které se odlišují pouze v jedné bázické proměnné) tak, aby se zlepšila hodnota ÚČELOVÉ FUNKCE (ÚF) (pro max se zvýší)

38 Simplexová metoda Březen 2014 optimální řešení ….. 2a. krok = optimální řešení ….. U MAXIMALIZČNÍCH úloh platí: je-li alespoň u jedné vedlejší proměnné x i koeficient c i v řádku účelové funkce ZÁPORNÝ, je možné hod-notu z účelové funkce zvětšit, tzn. že řešení ještě není optimální --- je-li záporných koeficientů více, vybereme nejmenší z nich --- jsou-li všechny koefi-cienty u vedlejších proměnných v řádku účelové funkce nezáporné, je nalezené řešení optimální.

39 Simplexová metoda Březen 2014 optimální řešení ….. 2a. krok = optimální řešení ….. U MINIMALIZČNÍCH úloh platí: je-li alespoň u jedné vedlejší proměnné x i koeficient c i v řádku účelové funkce KLADNÝ, je možné hod- notu z účelové funkce snížit --- protože toto řešení ještě není optimální --- je-li kladných koeficientů více, vybereme největší z nich --- jsou-li všechny koeficienty u vedlejších proměnných v řádku účelové funkce nekladné, je nalezené řešení optimální.

40 Simplexová metoda Březen 2014 optimálním řešením výsledkem 3. krok = nelze-li nalézt KB (BPŘ) s lepší (vyšší) hodnotou ÚF, je poslední nalezené BPŘ optimálním řešením a tedy i je výsledkem Viz grafika dále….

41 Simplexová metoda Březen 2014 Grafika zjednodušeného znázornění postupu Simplexové metody. x2x2 x3x3 x1x1 optimum výchozí KB

42 Simplexová metoda Březen 2009 Optimální řešení NALEZENO k x w k Je řešení optimální? Test přípustnosti Konec řešení Neomez. hodnota kritéria – LP nemá optimální řešení Nové přípustné konečné řešení existuje? Přechod na nové bazické řešení s lepší hodnotou účelové funkce – výpočet k-tého krajního bodu pro index: 1 ≤ e ≤ n+m - řídicí prvek je a s j k Začátek Podmínky simplexového algoritmu iterace k : = 0 Výchozí bazické řešení - nalezení 0-tého krajního bodu množiny k S = { x │ A x : = b ; x ≥ 0} Před testem optimality - výpočet řádku z k – c k Test optimality - nalezení min (z e k – c e k ) = z j k – c j k pro index: 1 ≤ e ≤ n+m NE k : = k + 1

43 nuly hodnoty d i. Pro určení zda existuje více než jedno opti- mální řešení, jsou důležité nuly v poslední řádce, tj. hodnoty d i. Pokud si jejich hodnoty budou rovny (až do indexu n) a zároveň budou rovny nule a dále, ostatní od indexu n+1 až po index m budou rovny nule nebo větší než nula, bude exis- tovat pouze jediné optimální řešení x*1. Simplexová metoda Březen 2009

44 Množina všech optimálních řešení Množina všech optimálních řešení je kon- vexním obalem množiny tvořené krajními bo- dy x 1, x 2, …, x s množiny přípustných řešení S a dále tvořené všemi body polopřímek p 1 ( ), p 2 ( ), …, p v ( ). Simplexová metoda Březen 2009

45 Způsoby a postupy řešení soustavy li- neárních rovnic Způsoby a postupy řešení soustavy li- neárních rovnic * Gauss-Jordanova eliminační metoda vy- cházející z ekvivalentní soustavy rovnic vy- tvořené k původní soustavě tak, že nová matice je diagonální a má na diagonále jed- ničky. Vede k úpravě rovnic do kanonického tvaru….. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

46 Povolené eliminační úpravy soustavy rovnic (omezujících podmínek) pro řešení lineárních optimalizačních modelů jsou dvě – násobení řídící rovnice převrácenou hodnotou řídícího prvku a přičtení vhodného násobku řídící rov- nice k původní (upravované) rovnici. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

47 * bazické, nebazické a parametrické řeše- ní pro soustavu lineárních rovnic o n – pro- měnných převedenou do kanonického tvaru – kanonické proměnné s koeficienty vytváře- jícími jednotkovou matici, se nazývají bazické a ostatní proměnné jsou nebazické Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

48 * matice transformace – k původní matici A se připojí submatice E – postupuje se Gauss- Jordanovou eliminací vedoucí od výchozího tvaru rozšířené matice soustavy k transfor- movanému tvaru – přitom obě soustavy jsou si ekvivalentní, takže platí vztah: ( A │ E │ b ) ~ ( Ẫ │ E │ B-1│ β ) Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2011

49 * matice transformace - po aplikaci Gauss- Jordanovy metody je na místě jednotkové matice E matice B-1 což je matice inverzní k matici bazických vektorů B. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

50 Optimalizační model - dalším způsob řešení. První je stanovení kriteria optimality = zda lze k danému řešení x p soustavy omezujících podmínek najít řešení jiné, které bude mít lepší hodnotu kriteria (účelové funkce). Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2010

51 Pokud takové řešení neexistuje, je řešení x p optimálním řešením lineárního optimalizačního modelu. Přitom kritérium optimality může být pro maximalizační i minimalizační úlohu. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2010

52 posledním krokem ekono- mická interpretace Získané optimální řešení udává optimální stav systému v určitém okamžiku a při splnění určitého souboru předpokladů popsaných soustavou omezujících podmínek a účelovou funkcí. Proto je posledním krokem ekono- mická interpretace - určuje závislost na kva- litativních vlivech a protože se mohou v prů- běhu chování systému měnit, mohou podstat- ným způsobem ovlivnit výsledné rozhodnutí. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

53 změ- nám optimálního řešení postoptimalizační analýza, …… Je potřeba provést rozsáhlý rozbor získaných informací a exaktně stanovit rozsah přípust- ných změn, v rámci nichž nedochází ke změ- nám optimálního řešení. Těmto navazujícím postupům se obecně říká postoptimalizační analýza, do které patří …… Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

54 * ekonomická interpretace výsledné simplexové tabulky * sledování vlivu změn hodnot nebazických proměnných na optimální řešení * hledání suboptimálního řešení * citlivostní analýza. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

55 Analýza citlivosti Analýza citlivosti se zabývá určováním tako- vého rozsahu změn výchozích údajů lineární optimalizační úlohy, v rámci nichž nedochází ke změně optimální báze (sledují se změny, k nimž by došlo změnou hodnot vstupních parametrů – takto se hledá i interval stability). Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

56 Degenerovaná úloha LP Degenerovaná úloha LP = úloha, kde ales- poň jeden krajní bod množiny přípustných řešení S má méně než m kladných složek a tedy více než (n-m) složek nulových. Těmto úlohám je potřeba věnovat pozornost v případech, kdy by mohly znemožnit naleze- ní optimálního řešení pomocí Simplexové me- tody. Je asi vhodné poznamenat, že se jedná převážně o ekonomické úlohy. Degenerované úlohy Březen 2009

57 tentýž bod Problémem této skupiny úloh je, že nebývá jednoznačná volba řídícího řádku v Simplexo- vých tabulkách a že bývá volen náhodně (což nemusí být volba správná nebo vhodná – jak v praxi potvrzují rozbory řešených příkladů). Výpočet se může dokonce zacyklovat, proto- že při přechodu z jedné tabulky do druhé bu- de výsledkem tentýž bod a mění se pouze báze tabulky. Degenerované úlohy Březen 2009

58 Potřeba pravidla vylučujícího tuto nejedno- značnost je značná. Pravidlo spočívá v hodnocení podílů bodů sloupců a řádků a je popsáno v literatuře. Degenerované úlohy Březen 2009

59 * Hodnoty přídatných proměnných nevyužité ka- pacity příslušného zdroje * Hodnoty pravých stran rovnic množiny Zobecněné výsledky * Hodnoty přídatných proměnných u kaž- dého přípustného (a tedy i optimálního) řešení mají v těchto úlohách význam nevyužité ka- pacity příslušného zdroje – proto se jim taky říká volné (slack) proměnné. * Hodnoty pravých stran rovnic množiny S mají význam hodnoty zdrojů (proto název vektor zdrojů nebo krátce jen zdroje). Zobecněné výsledky Březen 2009

60 * Koeficienty u jednotlivých proměnných * Koeficienty u jednotlivých proměnných v rovnicích množiny S mají význam normy přímé spotřeby – koeficient a ij udává spotřebu i-tého zdroje na jednotku j-tého výrobku – používají se také názvy strukturální koeficienty nebo technické koeficienty. Březen 2009 Zobecněné výsledky

61 Řešením úlohy kritérium optimality Řešením úlohy se vlastně stanoví výrobní program, nebo též plán (sled) určitých činností (operací). To čeho má být řešením úlohy dosaženo se nazývá kritérium optimality Březen 2009 Zobecněné výsledky

62 Do úlohy Do úlohy mohou vstupovat další informace či omezení: * účast pracovníků s různou kvalifikací K i (což je vstup prolínající se komplexem celé úlohy) * spotřeba času H i potřebného pro zhotovení (vyrobení, sestavení, …) jednotky výrobku * hodinová kapacita příslušného výrobního stroje V i (nástroje, použitých přístrojů a po- můcek, …) Březen 2009 Zobecněné výsledky

63 výsledek řešení * skladová, nakládací či skládací, dopravní problematika. * výsledek řešení může vést i k variantám, závisejícím na vstupních datech či na sou- boru a kombinaci omezení * atp. Březen 2009 Zobecněné výsledky

64 Další typické úlohy Další typické úlohy se týkají: * rozvozu materiálu (výrobků) * v projektování třeba optimalizace skladby bytů v daném domě * optimální zatížení konstrukce * zásobování zavlažovací vodou * plnění nádrží vzhledem ke spotřebě a (předpokládaným) dešťovým srážkám. Březen 2011 Zobecněné výsledky

65 Až dosud lineárního programování. Až dosud probrané metody a způsoby řeše- ní se spolu s dalšími probranými v pokračo- váních se týkají (asi největší a nejširší) oblasti lineárního programování. … metody … postupy …. Březen 2011

66 březen 2014 …..… cw05 – p.12. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …2… DALŠÍMI METODAMI

67 ……… Březen 2014


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google