Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Markovské řetězce 1.Definice Markovského řetězce 2.Matice přechodu Markovkého řetězce 3.Stavy Markovského řetězce 4.Chapman-Kolgomorovova rovnice 5.Ergodický.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Markovské řetězce 1.Definice Markovského řetězce 2.Matice přechodu Markovkého řetězce 3.Stavy Markovského řetězce 4.Chapman-Kolgomorovova rovnice 5.Ergodický."— Transkript prezentace:

1 Markovské řetězce 1.Definice Markovského řetězce 2.Matice přechodu Markovkého řetězce 3.Stavy Markovského řetězce 4.Chapman-Kolgomorovova rovnice 5.Ergodický princip 6.Výpočet ergodických pravděpodobností 7.Střední doba prvního přechodu 8.Absorbční řetězce 9.Střední počet průchodů transientními stavy 10.Pravděpodobnosti přechodů do absorbčních stavů

2 Základní charakteristiky Bernouliova poslopnost –úplná beznáslednost Markovská vlastnost Markovská vlastnost: Výsledek m-tého pokusu závisí pouze na výsledku m-1 pokusu. Stav systému v okamžiku n závisí pouze na stavu systému v okamžiku n-1

3 Definice 1)p ij (m) je podmíněná pravděpodobnost přechodu daného systému při m-tém pokusu ze stavu i do stavu j. 2)Hodnoty 1,2,3 a jevy s 1, s 2, s 3 nazýváme stavy příslušného Markovského řetězce. 3)Matice přechodu Markovského řetězce je sestavena z podmíněných pravděpodobností přechodů.: 4)Markovský řetězec je homogenní, když podmíněné pravděpodobnosti přechodu p ij (m) nezávisejí na m, tj. pro všechna i,j platí:

4 Poznámky 1) Homogenní Markovský řetězec nezávisí na počtu kroků, tj. na čase, tj. nestárne 2)Rozdělení pravděpodobnosti p ij zjišťujeme statistickým šetřením. 3)Je třeba znát počáteční stav systému X 0 - pevný nebo náhodný. 4)Markovský řetězec je stochastický proces diskrétní v čase i v jevech 5) Matice T je stochastická matice. Pro p ij platí: 6)Homogenní Markovský řetězec je soustava pravděpodobností, která je určena: a)Počátečním stavem (pravděpodobností) b)Rozdělením pravděpodobností přechodu c)Maticí přechodu

5 Základní charakteristiky Matice přechodu Markovského řetězce: Matice P je sestavena z podmíněných pravděpodobností přechodu. Absolutní pravděpodobnosti vyjadřují pravděpodobnosti jednotlivých stavů v okamžiku n.

6 Chapman-Kolgomorovova rovnice xjxj XkXk X j+1 X j+2 X j+3 XiXi j k i n kroků l kroků (n-1) krok

7 Výpočty absolutních pravděpodobností Přechod po n krocích ze stavu j do stavu k prochází stavem i po l krocích. Pro jakékoliv i je pravděpodobnost přechodu ze stavu i do stavu j po l krocích a dále do stavu k po n-l krocích rovna součinu. … matice přechodu za n kroků (n-kroková matice přechodu)

8 Příklad 1: Oprava stroje Stroj může být buď v provozu (stav P) nebo v opravě (stav O). Pravděpodobnost, že se stroj během dne porouchá je 0,2. Pravděpodobnost, že stroj bude během dne opraven je 0,7. Na začátku sledování je stroj v provozu. Jaká je pravděpodobnost, že stroj bude v provozu na začátku pátého dne? PO P0,80,21 00,70,31 Matice přechodu (podmíněných pravděpodobností) -P Vektor počátečních pravděpodobností

9 Příklad 1: Oprava stroje

10 Možné stavy Markovských řetězců Absorpční stav pokud se do něj Markovský řetězec jednou dostal, nemůže se dostat do jiného stavu Trvalý stav systém se do něj vrací s pravděpodobností 1 Přechodný stav pravděpodobnost návratu do tohoto stavu je menší než 1 Trvalý nulový stav trvalý stav se nazývá nulový, jestliže počet kroků pro návrat má nekonečně velkou střední hodnotu (nazývá se také rekurentní nulový) Trvalý nenulový stav trvalý stav, pro než má počet kroků pro návrat konečnou střední hodnotu pokud návrat může nastat kdykoliv, jedná se o ergodický stav pokud návrat může nastat po určitém počtu kroků, jedná se o periodický stav Ergodický stav stav, který je trvalý, není nulový a není periodický Nepodstatný stav přechod ze stavu s i do stavu s j je možný přechod opačným směrem není možný Podstatný stav stav, který není nepodstatný vzájemně dosažitelné stavy jsou sousledné Uzavřená třída skupina vzájemně dosažitelných stavů Regulární řetězec všechny stavy jsou ergodické a tvoří jednu uzavřenou třídu takový řetězec je nerozložitelný Rozložitelný řetězec změnou pořadí stavů lze vytvořit jednotkovou submatici nebo submatice

11 Výpočet ergodických pravděpodobností Do Markovovy rovnice dosadíme: Vzhledem k n konstanta, prvek matice P Zlimitováno: Pro praktický výpočet přidáváme:

12 Příklad 1 -pokračování

13 Střední doba prvního přechodu Ve stavu s i systém setrvá s pravděpodobností p ii jednu časovou jednotku. S pravděpodobností p ij přejde do stavu s k a nejkratší doba k návratu je m jk. (1 přechod =1 časová jednotka) Cesty s i do stavu (nebo návraty do s i ) s j mohou jít přes několik stavů k: Střední dobu prvého návratu do stavu s i : Střední dobu prvého přechodu ze stavu s i do stavu s j :

14 Střední doba prvního přechodu a) přímo b) přes stavy k SiSi SjSj SiSi SjSj SkSk SkSk SkSk SkSk K=1 K=3 K=2 K=4

15 Výpočet pomocí fundamentální matice E…jednotková matice P… matice přechodu A…limitní matice (řádky jsou vektory lim pravděpodobností) I… matice složená ze samých jedniček Z…fundamentální matice …prvky na hlavní diagonále se shodují s maticí Z, ostatní jsou nuly …prvky na hlavní diagonále se rovnají

16 Příklad 1: Střední doba přechodu ze stavu v provozu do stavu v opravě. Výpočet pomocí fundamentální matice

17

18 Absorbční řetězce Absorbční stavy Přechodové stavy Absorbční stavy Přechodo vé stavy

19 Výpočty pro absorbční řetězce Fundamentální matice Střední doba strávená v přechodových stavech Pravděpodobnost přechodu do absorbčních stavů Součet řádku fundamentální matice

20 Příklad 2: Absorbční řetězec Firma vlastní 10 přístrojů, které se mohou dostat do následujících stavů: P…v provozu O… v opravě N… na prodej Š…do šrotu NŠPO N1000 Š0100 P0,0500,80,15 O0,05 0,70,2

21 Pravděpodobnost, že se dostane do absorbčního stavu NŠ P0,860,13 O0,810,18 Průměrná doba setrvání v provozu

22 Modely prosté obnovy aiai pravděpodobnost selhání jednotky v i-tém období riri pravděpodobnost dožití konce i-tého období T…T… maximální životnost V průměrná životnost

23 Matice přechodu Průměrná věková struktura

24 Příklad 3 Firma vlastní 10 vozidel. Nakupuje vždy nové a používá je maximálně 4 roky. Při vyřazení vozidla se ihned koupí nové. Pravděpodobnosti dožití a selhání (vyřazení – byly zadané) jsou v tabulce: Rokaiai riri ,10,9 20,10,8 30,30,5 4 0

25 Matice přechodu 1234Su ma 10,10,91 20,1/0,90,8/0,91 30,3/0,80,5/0,81 40,5/0,51

26 Matice přechodu 1234Suma 10,10,91 20,1110, ,3750,

27 Průměrná životnost stáříPočet vozů (Zaokrouhleno) 13 – počet obnovených


Stáhnout ppt "Markovské řetězce 1.Definice Markovského řetězce 2.Matice přechodu Markovkého řetězce 3.Stavy Markovského řetězce 4.Chapman-Kolgomorovova rovnice 5.Ergodický."

Podobné prezentace


Reklamy Google