Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ."— Transkript prezentace:

1 ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

2 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ  Aplikuje se tam, kde náhodná veličina  nabývá jakékoliv hodnoty z teoreticky nekonečného intervalu -  < x <  (např. výsledky měření délky, hmotnosti, tvrdosti, kyselosti atd.).  Na náhodnou veličinu působí s malou intenzitou řada vzájemně nezávislých náhodných vlivů.  Normální rozdělení N ( ,  2 ) závisí na dvou parametrech, střední hodnotě  a rozptylu  2.

3 hustota pravděpodobnosti : f (x) = distribuční funkce : F (x) = Střední hodnota : E (  ) =  rozptyl : D (  ) =  2.

4 Příklad: Hustota pravděpodobnosti normálních rozdělení N 1 (0; 0,25), s parametry  = 0 a  2 = 0,25 (  = 0,5), N 2 (0; 1), s parametry  = 0 a  2 = 1 (  = 1), N 3 (0; 4), s parametry  = 0 a  2 = 4 (  = 2). 0,159 0,023 0,309

5 Příklad: Distribuční funkce normálních rozdělení N 1 (0; 0,25), s parametry  = 0 a  2 = 0,25 (  = 0,5), N 2 (0; 1), s parametry  = 0 a  2 = 1 (  = 1), N 3 (0; 4), s parametry  = 0 a  2 = 4 (  = 2). 0,309 0,159 0,023

6 V intervalu   - ,  +   leží 68,26 % všech pozorování, mimo tento interval leží 2  15,87 %, t.j. 31,74 %. V intervalu   - 2 ,  + 2   leží 95,44 % všech pozorování, mimo tento interval leží 2  2,28 %, t.j. 4,56 %. V intervalu   - 3 ,  + 3   leží 99,73 % všech pozorování, mimo tento interval leží 2  0,135 %, t.j. 0,27 % (2 700 ppm). V intervalu   - 4 ,  + 4   leží 99,994 % všech pozorování, mimo tento interval leží 2  0,003 %, t.j. 0,006 % (60 ppm). V intervalu   - 5 ,  + 5   leží 99,99994 % všech pozorování, mimo tento interval leží 2  0,00003 %, t.j. 0,00006% (0,6 ppm). V intervalu   - 6 ,  + 6   leží 99, % všech pozorování, mimo tento interval leží 2  0, %, t.j. 0, % (0,002 ppm).

7 68,27%

8 95,45%

9 99,73%

10 NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Transformace náhodné veličiny , rozdělené N( ,  2 ), odstraňuje závislost na parametrech  a  2. Nová náhodná veličina  má normální rozdělení N(0,1) se střední hodnotou 0 a rozptylem 1 a nabývá hodnot Potom hustota pravděpodobnosti : a distribuční funkce : Střední hodnota : E (  ) =  a rozptyl : D (  ) = 1.

11 Tabulka kvantilů rozdělení N(0, 1) Hodnoty kvantilů u  náhodné veličiny , rozdělené N(0, 1), jsou hodnoty u vyhovující rovnici jsou tabelovány pro hodnoty 0,001    0,999. Jelikož platí u 1-  = - u , jsou uvedeny pouze hodnoty kvantilů pro 0,5    1. Pro výpočet kvantilů x  náhodné veličiny  rozdělené N( ,  2 ) se použije vztah x  =  + u  .

12 PŘÍKLAD : Pro  = 0,925 je u  = u 0,925 = 1,44 ; pro  = 0,075 je u  = u 0,075 = u 1–0,925 = –u 0,925 = –1,44. Uvažujme náhodnou veličinu  rozdělenou N( ,  2 ) = N(3; 0,25). Potom vzhledem k tomu že  = 0,5 je pro  = 0,925 je x  = x 0,925 =  + u   = 3 + 1,44  0,5 = 3,72, pro  = 0,075 je x  = x 0,075 =  + u   = 3 + (-1,44)  0,5 = 2,28. Pod hodnotou 3,72 bude ležet v průměru 92,5% všech pozorování, resp. pod hodnotou 2,28 bude ležet v průměru 7,5% všech pozorování.

13 POZNÁMKA: V některých aplikacích, zejména v SPC, se označují kvantily normovaného normálního rozdělení u p symbolem z. Jsou tabelovány podíly p z pro  z  což jsou podíly nad hodnotou  + z  nebo pod hodnotou  – z  pro normální rozdělení N( ,  2 ). Hodnota z představuje vzdálenost od střední hodnoty v jednotkách směrodatné odchylky. Příklad: Pro z = 2, je p z = 0,0228. Nad hodnotou  + 2 , stejně jako pod hodnotou  –2  leží v průměru podíl 0,0228 jednotek.

14 Hustota pravděpodobnosti  (u) rozdělení N(0, 1) Hustoty pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení N(0,1) jsou tabelovány pro 0  u  3,99, pro – 3,99  u  0 je  (–u) =  (u). Pro normální rozdělení N( ,  2 ) je hustota pravděpodobnosti rovna

15 Zakreslení křivky hustoty pravděpodobnosti rozdělení N( ,  2 ) do histogramu Do histogramu s šířkou třídních intervalů h a celkovým počtem pozorování n ( n =, n j ; j = 1, 2,..., k ; jsou třídní četnosti) zakreslíme křivku normálního rozdělení relativních četností: případně křivku rozdělení absolutních třídních četností:

16 Bylo proměřeno n = 200 průměrů čepů z výrobního procesu. Byl vypočten výběrový průměr = 23,416 mm (odhad  ) a směrodatná odchylka s = 0,108 mm (odhad  ). Údaje byly seskupeny do tříd šířky h = 0,05 mm a sestrojen histogram. Do histogramu zakreslíme křivku hustoty pravděpodobnosti odpovídající normálnímu rozdělení N(23,416; 0,108 2 ) Pro bod x = 23,34 mm je u = ( x -  ) /  = (23, ,416) / 0,108 = -0,7037 a  (u) =  (-0,70) = 0,3123. Potom f h,re (x) = h  (u) /  = f 0,05;re (23,34) = 0,05 * 0,3123 / 0,108 = 0,1446 a f h,ab (x) = n f h,re (x) = f 0,05,ab (23,34) = 200 * 0,1446 = 28,92. PŘÍKLAD :

17 0, ,92 Zakreslení křivky normálního rozdělení N(23,416; 0,108 2 ) do histogramu z n = 200 pozorování seskupených do 12 tříd šířky h = 0,05.

18 Bodové odhady parametrů  a  Využití normálního rozdělení v praxi předpokládá znalost: – parametru polohy  a – parametru rozptýlení (variability) . Výstupy z experimentu mohou mít různé formy : 1) Jediný náhodný výběr rozsahu n jednotek : x 1, x 2, x 3,..., x n. a)výběrový průměr ; b)výběrový medián Me = x (k), kde k = (n+1)/2 pro n liché a Me = (x (k) + x (k+1) )/2, kde k = n/2 pro n sudé ; c)výběrový rozptyl ; d)výběrová směrodatná odchylka ; e)výběrové rozpětí R = x max - x min = x (n) - x (1).

19 Odhady :   resp.   Me ;  2  s 2 ;   s resp.   R / d 2. Konstanty d 2 a C 4 závislé na rozsahu náhodného výběru n jsou tabelovány (tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258).

20 2) k podskupin stejného rozsahu po n jednotkách ( n 1 = n 2 =... = n j =... = n k = n ). a)celkový výběrový průměr: ; b)průměrný výběrový medián: ;

21 c)průměrný výběrový rozptyl: ; d)průměrná výběrová směrodatná odchylka: ; e)průměrné výběrové rozpětí:. Odhady:   resp.   ;  2  ;   resp.   resp.   1) Konstanty C4 a d2 závislé na rozsahu podskupiny n viz tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258.

22 3) k podskupin různého rozsahu n j jednotek (j = 1, 2, …, k) Celkový počet pozorování je a)celkový výběrový průměr: ; b)průměrný výběrový medián: ;

23 c)průměrný výběrový rozptyl: ; d)průměrná výběrová směrodatná odchylka: ; e)průměrné výběrové rozpětí:. Odhady:   resp.   ;  2  ;   resp.   resp.   1) Konstanty C4 a d2 závislé na rozsahu podskupiny n viz tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258.

24 Poznámky: 1) Hodnoty C 4 a d 2 v závislosti na rozsahu výběru jsou uvedeny v tab. 2 v ČSN ISO ) V případě, že podskupiny jsou různého rozsahu ( n 1  n 2 ,...,  n k ), je celkový počet pozorování a pak se musí vypočítat vážené hodnoty těchto koeficientů:

25 PŘÍKLAD Uvažujme k = 6 podskupin stejného rozsahu n = 5. Výsledky jsou sestaveny do tabulky, ve které jsou vypočteny průměry podskupin a výběrové směrodatné odchylky s j. Výpočty: celkový výběrový průměr : = 1,807 ; průměrný výběrový rozptyl : = 0,0652 ; průměrná směrodatná odchylka: = = 0,255. Odhady :   1,807 a    (0,0652) = 0,255.

26 POZNÁMKY : Při analýze výrobního procesu se setkáváme s dalšími charakteristikami: 1) Celkové charakteristiky : a) celkový výběrový průměr = 1,807 (charakterizuje polohu těžiště souboru vzniklého spojením všech podskupin za celé sledované období a tedy těžiště procesu za toto období; je vždy roven průměru výběrových průměrů podskupin ) ; b) celková směrodatná odchylka s tot = 0,493 (charakterizuje variabilitu v souboru vzniklém spojením všech podskupin za celé sledované období a tedy celkovou variabilitu procesu za toto období; je obvykle větší než průměrná směrodatná odchylka podskupin, protože zahrnuje vedle variability uvnitř podskupin i variabilitu mezi podskupinami) ; c) průměrná výběrová odchylka = 0,255 (charakterizuje průměrnou variabilitu uvnitř podskupin).

27 2) Charakteristiky rozdělení výběrových průměrů : a) průměr výběrových průměrů = 1,807 ; b) směrodatná odchylka výběrových průměrů = 0,469 (směrodatná odchylka výběrových průměrů charakterizuje variabilitu mezi výběrovými průměry podskupin a tedy v podstatě i variabilitu mezi podskupinami). 3) Porovnání odhadů směrodatné odchylky procesu  : a)= 0,255 ; b)= 0,242 ; c)= 0,236.


Stáhnout ppt "ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ."

Podobné prezentace


Reklamy Google