POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik

Prezentace na téma: "POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik"— Transkript prezentace:

1 POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik
Histogram Empirická distribuční funkce

2 A. výpočet výběrových charakteristik
přímo z napozorovaných hodnot – rozsah výběru: n – napozorované hodnoty: x1 , x2 , ... , xn Charakteristiky polohy : Výběrový průměr : tj. = ( x1 + x2 + x xn) / n

3 a) pro n liché, prostřední hodnota ;
Výběrový medián Me : – hodnoty uspořádané podle velikosti : x(1)  x(2)  x(3)    x(n) a) pro n liché, prostřední hodnota ; b) pro n sudé, průměr dvou prostředních hodnot . V případě a): x(1)  x(2)  x(3)  x(4)  x(5) je medián x(3) . V případě b): x(1)  x(2)  x(3)  x(4) je medián ( x(2) + x(3) ) / 2 .

4 Výběrový modus Mo : nejčetnější hodnota .
Uvažujme x(1)  x(2) = x(3) = x(4)  x(5)  x(6)  x(7) ; modus je x(2) ( = x(3) = x(4) ) .

5 Charakteristiky variability :
Výběrový rozptyl s2 : Výběrová směrodatná odchylka s : tj. Po úpravě :

6 Poznámka: Rozptyl statistického (základního) souboru s2 : Nejedná se o výběrový rozptyl vypočítaný z výběru několika náhodně vybraných jednotek z procesu nebo základního souboru, ale o rozptyl vypočítaný ze všech prvků konečného statistického souboru.

7 R = xmax - xmin Výběrové rozpětí R :
označíme xmin nejmenší x(1) hodnotu ve výběru xmax největší x(n) hodnotu ve výběru rozsahu n potom R = xmax - xmin

8 Schéma pro výpočet výběrových charakteristik :

9 Příklad: Me = 13,40 = (1/7) 93,93 = 13,4186 R = 13,53 - 13,30 = 0,23
Uspořádané hodnoty: Me = 13,40 = (1/7) 93,93 = 13,4186 R = 13, ,30 = 0,23 s2 = (1/6) (1260, (1/7) 93,932) = 0,006248 s = = 0,079042

10 B. výpočet výběrových charakteristik
z hodnot seskupených do tříd – rozsah výběru: n – napozorované hodnoty: x1 , x2 , ... , xn – počet tříd: k – šíře třídy: h Označíme pro j-tou třídu : – nj třídní četnost (absolutní) – fj = nj / n relativní třídní četnost – Nj = kumulovaná třídní četnost (absolutní) – Fj = Nj / n kumulovaná relativní třídní četnost – zj = třídní znak (obvykle střed j-té třídy) – zj + h/2 = horní mez j-té třídy

11 Schéma pro výpočet výběrových charakteristik :

12 Příklad: Výběr n = 44 Seskupíme do tříd šíře h = 0,1 , zvolíme třídní intervaly

13 Výpočet výběrových charakteristik a s :
= 340,58 / 44 = 7,740455 = (1/43)(2636, ,582 / 44) = 0,016258 0,127507

14 Znázornění napozorovaných hodnot v pořadí jak byly měřeny

15 PŘÍKLADY : 1.1 Po roce provozu se měřil na zkušebně výkon motorů pro malotraktory. Jmenovitý výkon motoru xi byl stanoven na 25 kW. U sedmi zkoušených motorů byly naměřeny následující hodnoty v kW: i xi 24,8 26,1 22,7 24,2 25,6 24,5 26,0 Ze zjištěných hodnot jmenovitého výkonu motoru stanovte výběrové charakteristiky: největší a nejmenší naměřenou hodnotu, aritmetický průměr, medián, rozpětí, rozptyl a směrodatnou odchylku ze zjištěných hodnot jmenovitého výkonu motoru.

16 1.2 Při zkoušení výrobků v klimatické komoře se měří relativní vlhkost. U šesti po sobě zkoušených stejných výrobků byly naměřeny následující hodnoty xi v procentech: i xi 89,3 94,1 96,4 90,8 92,0 91,4 Vypočtěte všechny základní výběrové charakteristiky polohy (výběrový průměr, výběrový medián) a variability (výběrové rozpětí, výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku).

17 1.4 Ze souboru ampulí jistého séra byl vzat náhodný výběr rozsahu n = 6 jednotek. Při destruktivní zkoušce byl zjišťován jejich obsah xi v cm3 a zapsán do uvedené tabulky: i xi 1,7 1,4 1,6 1,1 1,3 1,3 Vypočtěte z uvedených hodnot běžné výběrové charakteristiky polohy (průměr, medián) a variability (rozpětí, rozptyl a směrodatnou odchylku).

18 1.8 Ve výběru n = 200 složitých výrobků byla měřena rozteč dvou otvorů s jmenovitou hodnotou 168 mm. Výsledky měření prováděného s přesností na 0,01 mm byly seskupeny do intervalů šíře 0,05 mm a jsou uvedeny v tabulce: Doplňte uvedenou tabulku o relativní třídní četnosti, kumulované třídní četnosti a relativní kumulované třídní četnosti

19 1.8 pokračování Vypočtěte výběrový průměr a výběrovou směrodatnou odchylku.

20 grafické znázornění dat seskupených do tříd
Histogram grafické znázornění dat seskupených do tříd Napozorované hodnoty x1, x2, ... , xn náhodný výběr rozsahu n . Konstrukce histogramu: počet tříd k stejné šíře h ; zjistí se absolutní třídní četnosti nj , případně relativní třídní četnosti fj ; na osu x se vynesou hranice třídních intervalů, případně třídní znaky zj ; na osu y se vynáší třídní četnosti nj (absolutní) nebo fj (relativní); nad třídními intervaly se sestrojí obdélníky.

21 Příklad :

22 Ukázky některých základních typů histogramů
a) Symetrický histogram zvonovitého tvaru

23 b) Dvojvrcholové histogramy

24 c) Histogramy plochého a hřebenovitého tvaru

25 d) Histogramy asymetrického tvaru

26 e) Dvojvrcholové histogramy s výraznou četností v krajní třídě

27 Empirická distribuční funkce
grafické znázornění dat uspořádaných podle velikosti Napozorované hodnoty x1, x2, ... , xn náhodný výběr rozsahu n . Konstrukce empirické distribuční funkce: hodnoty uspořádáme podle velikosti x(1)  x(2)  …  x(n) ; na osu x se vynesou hodnoty x(i), (i = 1, 2, …, n) ; na osu y se vynese ke každé hodnotě x(i) hodnota i / (n + 1) ; body [ x(i) ; i / (n + 1) ] tvoří graf empirické distribuční funkce.

28 Konstrukce empirické distribuční funkce v případě údajů seskupených do tříd:
na osu x se vynesou horní meze třídních intervalů ; na osu y se vynesou proti nim kumulované relativní třídní četnosti zakreslené body [ zj + h/2 ; Fj ] tvoří graf empirické distribuční funkce.

29 POZNÁMKA: Je-li stupnice, na kterou vynášíme hodnoty Fj , resp. (i) / (n+1) pravděpodobnostní, potom v případě normálního rozdělení sledované náhodné veličiny jsou zakreslené body soustředěny v úzkém okolí přímky, která odpovídá teoretické distribuční funkci normálního rozdělení N(, 2) pro  = a  = s . Zakreslení přímky na pravděpodobnostní papír Z výběrových hodnot xi (i=1, 2, ..., n) se vypočtou hodnoty výběrového průměru a výběrové směrodatné odchylky s , které jsou odhady parametrů  a  normálního rozdělení N(, 2). Na pravděpodobnostní papír se zakreslí body (x = ; y = 50) a (x = + s ; y = 84,1) a těmito body se proloží přímka, která představuje průběh odhadu distribuční funkce rozdělení N(, 2).

30 Uspořádané hodnoty sestavíme do tabulky:
Příklad : Uspořádáme naměřené délky podle velikosti a přiřadíme jim hodnoty i / (n+1). Pokud se některé hodnoty opakují, s četností n(i) , potom jim přísluší nárůst n(i)/(n+1) empirické distribuční funkce. Uspořádané hodnoty sestavíme do tabulky:

31 Uspořádané hodnoty zakreslíme do grafu:

32 Empirická distribuční funkce zakreslená do pravděpodobnostního papíru: