Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik Histogram Empirická distribuční funkce.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik Histogram Empirická distribuční funkce."— Transkript prezentace:

1 1 POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik Histogram Empirická distribuční funkce

2 2 A. výpočet výběrových charakteristik přímo z napozorovaných hodnot – rozsah výběru: n – napozorované hodnoty: x 1, x 2,..., x n Charakteristiky polohy : = ( x 1 + x 2 + x x n ) / n tj. Výběrový průměr :

3 3 Výběrový medián Me : – hodnoty uspořádané podle velikosti : x (1)  x (2)  x (3)   x (n) a) pro n liché, prostřední hodnota ; b) pro n sudé, průměr dvou prostředních hodnot. V případě a): x (1)  x (2)  x (3)  x (4)  x (5) je medián x (3). V případě b): x (1)  x (2)  x (3)  x (4) je medián ( x (2) + x (3) ) / 2.

4 4 Výběrový modus Mo : nejčetnější hodnota. Uvažujme x (1)  x (2) = x (3) = x (4)  x (5)  x (6)  x (7) ; modus je x (2) ( = x (3) = x (4) ).

5 5 Charakteristiky variability : Výběrová směrodatná odchylka s : Výběrový rozptyl s 2 : Po úpravě : tj.

6 6 Rozptyl statistického (základního) souboru s 2 : Poznámka: Nejedná se o výběrový rozptyl vypočítaný z výběru několika náhodně vybraných jednotek z procesu nebo základního souboru, ale o rozptyl vypočítaný ze všech prvků konečného statistického souboru.

7 7 Výběrové rozpětí R : označíme x min nejmenší x (1) hodnotu ve výběru x max největší x (n) hodnotu ve výběru rozsahu n potom R = x max - x min

8 8 Schéma pro výpočet výběrových charakteristik :

9 9 Příklad: Uspořádané hodnoty: Me = 13,40 = (1/7) 93,93 = 13,4186 R = 13, ,30 = 0,23 s 2 = (1/6) (1260, (1/7) 93,93 2 ) = 0, s = = 0,079042

10 10 B. výpočet výběrových charakteristik z hodnot seskupených do tříd – rozsah výběru: n – napozorované hodnoty: x 1, x 2,..., x n – počet tříd: k – šíře třídy: h Označíme pro j-tou třídu : – n j třídní četnost (absolutní) – f j = n j / n relativní třídní četnost – N j = kumulovaná třídní četnost (absolutní) – F j = N j / n kumulovaná relativní třídní četnost – z j = třídní znak ( obvykle střed j-té třídy ) – z j + h/2 = horní mez j-té třídy

11 11 Schéma pro výpočet výběrových charakteristik :

12 12 Příklad: Výběr n = 44 Seskupíme do tříd šíře h = 0,1, zvolíme třídní intervaly

13 13 Výpočet výběrových charakteristik a s : = 340,58 / 44 = 7, = (1/43)(2636, ,58 2 / 44) = 0, ,127507

14 14 Znázornění napozorovaných hodnot v pořadí jak byly měřeny

15 15 PŘÍKLADY : 1.1Po roce provozu se měřil na zkušebně výkon motorů pro malotraktory. Jmenovitý výkon motoru x i byl stanoven na 25 kW. U sedmi zkoušených motorů byly naměřeny následující hodnoty v kW: i x i 24,826,122,724,225,624,526,0 Ze zjištěných hodnot jmenovitého výkonu motoru stanovte výběrové charakteristiky: největší a nejmenší naměřenou hodnotu, aritmetický průměr, medián, rozpětí, rozptyl a směrodatnou odchylku ze zjištěných hodnot jmenovitého výkonu motoru.

16 16 1.2Při zkoušení výrobků v klimatické komoře se měří relativní vlhkost. U šesti po sobě zkoušených stejných výrobků byly naměřeny následující hodnoty x i v procentech: i x i 89,394,196,490,892,091,4 Vypočtěte všechny základní výběrové charakteristiky polohy (výběrový průměr, výběrový medián) a variability (výběrové rozpětí, výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku).

17 17 1.4Ze souboru ampulí jistého séra byl vzat náhodný výběr rozsahu n = 6 jednotek. Při destruktivní zkoušce byl zjišťován jejich obsah x i v cm 3 a zapsán do uvedené tabulky: i x i 1,71,41,61,11,31,3 Vypočtěte z uvedených hodnot běžné výběrové charakteristiky polohy (průměr, medián) a variability (rozpětí, rozptyl a směrodatnou odchylku).

18 18 1.8Ve výběru n = 200 složitých výrobků byla měřena rozteč dvou otvorů s jmenovitou hodnotou 168 mm. Výsledky měření prováděného s přesností na 0,01 mm byly seskupeny do intervalů šíře 0,05 mm a jsou uvedeny v tabulce: Doplňte uvedenou tabulku o relativní třídní četnosti, kumulované třídní četnosti a relativní kumulované třídní četnosti

19 pokračování Vypočtěte výběrový průměr a výběrovou směrodatnou odchylku.

20 20 Histogram grafické znázornění dat seskupených do tříd Napozorované hodnoty x 1, x 2,..., x n náhodný výběr rozsahu n. Konstrukce histogramu: počet tříd k stejné šíře h ; zjistí se absolutní třídní četnosti n j, případně relativní třídní četnosti f j ; na osu x se vynesou hranice třídních intervalů, případně třídní znaky z j ; na osu y se vynáší třídní četnosti n j (absolutní) nebo f j (relativní); nad třídními intervaly se sestrojí obdélníky.

21 21 Příklad :

22 22 Ukázky některých základních typů histogramů a) Symetrický histogram zvonovitého tvaru

23 23 b) Dvojvrcholové histogramy

24 24 c) Histogramy plochého a hřebenovitého tvaru

25 25 d) Histogramy asymetrického tvaru

26 26 e) Dvojvrcholové histogramy s výraznou četností v krajní třídě

27 27 Empirická distribuční funkce grafické znázornění dat uspořádaných podle velikosti Napozorované hodnoty x 1, x 2,..., x n náhodný výběr rozsahu n. Konstrukce empirické distribuční funkce: hodnoty uspořádáme podle velikosti x (1)  x (2)  …  x (n) ; na osu x se vynesou hodnoty x (i), (i = 1, 2, …, n) ; na osu y se vynese ke každé hodnotě x (i) hodnota i / (n + 1) ; body [ x (i) ; i / (n + 1) ] tvoří graf empirické distribuční funkce.

28 28 Konstrukce empirické distribuční funkce v případě údajů seskupených do tříd: na osu x se vynesou horní meze třídních intervalů ; na osu y se vynesou proti nim kumulované relativní třídní četnosti zakreslené body [ z j + h/2 ; F j ] tvoří graf empirické distribuční funkce.

29 29 POZNÁMKA: Je-li stupnice, na kterou vynášíme hodnoty F j, resp. (i) / (n+1) pravděpodobnostní, potom v případě normálního rozdělení sledované náhodné veličiny jsou zakreslené body soustředěny v úzkém okolí přímky, která odpovídá teoretické distribuční funkci normálního rozdělení N( ,  2 ) pro  = a  = s. Zakreslení přímky na pravděpodobnostní papír Z výběrových hodnot x i (i=1, 2,..., n) se vypočtou hodnoty výběrového průměru a výběrové směrodatné odchylky s, které jsou odhady parametrů  a  normálního rozdělení N( ,  2 ). Na pravděpodobnostní papír se zakreslí body (x = ; y = 50) a (x = + s ; y = 84,1) a těmito body se proloží přímka, která představuje průběh odhadu distribuční funkce rozdělení N( ,  2 ).

30 30 Příklad : Uspořádáme naměřené délky podle velikosti a přiřadíme jim hodnoty i / (n+1). Pokud se některé hodnoty opakují, s četností n (i), potom jim přísluší nárůst n (i) /(n+1) empirické distribuční funkce. Uspořádané hodnoty sestavíme do tabulky:

31 31 Uspořádané hodnoty zakreslíme do grafu:

32 32 Empirická distribuční funkce zakreslená do pravděpodobnostního papíru:


Stáhnout ppt "1 POPISNÁ STATISTIKA ZPRACOVÁNÍ DAT Výpočet výběrových charakteristik Histogram Empirická distribuční funkce."

Podobné prezentace


Reklamy Google