Pythagorova věta užití v prostoru

Prezentace na téma: "Pythagorova věta užití v prostoru"— Transkript prezentace:

1 Pythagorova věta užití v prostoru
* Pythagorova věta užití v prostoru Matematika – 8. ročník *

2 Pravoúhlý trojúhelník
* Pythagorova věta Pravoúhlý trojúhelník B přepona pravý úhel c a . . C b A odvěsny *

3 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 Pythagorova věta
* Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami. tj. platí: Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí: 1 2 3 4 . 𝐜 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 2 1 3 4 *

4 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 1. Vypočítejte délky stěnové a tělesové úhlopříčky krychle ABCDEFGH, která má délku hrany 45 cm. a = 45 cm H G 𝐮 𝐬 = … cm 𝐮 𝐭 𝐮 𝐭 = … cm E F 𝒖 𝒔 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐚 𝟐 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝒖 𝒔 𝟐 + 𝐚 𝟐 𝒖 𝒔 𝟐 = 𝟒𝟓 𝟐 + 𝟒𝟓 𝟐 𝒖 𝒕 𝟐 =𝟒 𝟎𝟓𝟎+ 𝟒𝟓 𝟐 . D 𝒖 𝒔 𝟐 =𝟐 𝟎𝟐𝟓+𝟐 𝟎𝟐𝟓 𝒖 𝒕 𝟐 =𝟒 𝟎𝟓𝟎+𝟐 𝟎𝟐𝟓 C 𝒖 𝒔 𝟐 =𝟒 𝟎𝟓𝟎 𝒖 𝒕 𝟐 =𝟔 𝟎𝟕𝟓 𝐮 𝐬 . 𝒖 𝒔 = 𝟒 𝟎𝟓𝟎 𝒖 𝒕 = 𝟔 𝟎𝟕𝟓 A B 𝒖 𝒔 =𝟔𝟑,𝟔 𝒖 𝒕 =𝟕𝟕,𝟗 𝒖 𝒔 =𝟔𝟑,𝟔 𝐜𝐦 𝒖 𝒕 =𝟕𝟕,𝟗 𝐜𝐦 Stěnová úhlopříčka krychle má délku 63,6 cm, tělesová úhlopříčka 77,9 cm. *

5 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 1. Vypočítejte délky stěnové a tělesové úhlopříčky krychle ABCDEFGH, který má délku hrany 45 cm. H G Je-li 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝒖 𝒔 𝟐 + 𝐚 𝟐 𝐮 𝐭 E F a zároveň 𝒖 𝒔 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐚 𝟐 . D C pak platí, že 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐚 𝟐 + 𝐚 𝟐 𝐮 𝐬 . => 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝟑𝐚 𝟐 A B => 𝒖 𝒕 = 𝟑 𝒂 𝟐 => 𝒖 𝒕 = 𝟑 ∙ 𝒂 𝟐 => 𝒖 𝒕 = 𝟑 ∙𝒂 *

6 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 2. Vypočítejte délky stěnových a tělesové úhlopříčky kvádru ABCDEFGH, který má délky hran 30 cm, 4 dm a 1,2 m. H G a = 30 cm = 3 dm b = 4 dm 𝒖 𝟏 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 E c = 1,2 m = 12 dm F 𝒖 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 𝐮 𝟏 = … cm c 𝒖 𝟏 𝟐 =𝟗+𝟏𝟔 𝐮 𝟐 = … dm 𝒖 𝟏 𝟐 =𝟐𝟓 𝐮 𝟑 = … dm 𝒖 𝟏 = 𝟐𝟓 D 𝐮 𝐭 = … cm C 𝒖 𝟏 =𝟓 𝒖 𝟏 =𝟓 𝐝𝐦 𝐮 𝟏 b . A a B *

7 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 2. Vypočítejte délky stěnových a tělesové úhlopříčky kvádru ABCDEFGH, který má délky hran 30 cm, 4 dm a 1,2 m. H G a = 30 cm = 3 dm b = 4 dm 𝒖 𝟐 𝟐 = 𝐛 𝟐 + 𝐜 𝟐 E c = 1,2 m = 12 dm F 𝒖 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐 𝐮 𝟏 = … cm c 𝒖 𝟐 𝟐 =𝟏𝟔+𝟏𝟒𝟒 𝐮 𝟐 = … dm 𝒖 𝟐 𝟐 =𝟏𝟔𝟎 𝐮 𝟐 𝐮 𝟑 = … dm 𝒖 𝟐 = 𝟏𝟔𝟎 D . 𝐮 𝐭 = … cm C 𝒖 𝟐 =𝟏𝟐,𝟔𝟓 𝒖 𝟐 =𝟏𝟐,𝟔𝟓 𝐝𝐦 𝐮 𝟏 b . A a B *

8 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 2. Vypočítejte délky stěnových a tělesové úhlopříčky kvádru ABCDEFGH, který má délky hran 30 cm, 4 dm a 1,2 m. H G a = 30 cm = 3 dm b = 4 dm 𝒖 𝟑 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐜 𝟐 E c = 1,2 m = 12 dm F 𝒖 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐 𝐮 𝟏 = … cm 𝐮 𝟑 c 𝒖 𝟑 𝟐 =𝟗+𝟏𝟒𝟒 𝐮 𝟐 = … dm 𝒖 𝟑 𝟐 =𝟏𝟓𝟑 𝐮 𝟐 𝐮 𝟑 = … dm 𝒖 𝟑 = 𝟏𝟓𝟑 D . 𝐮 𝐭 = … cm C 𝒖 𝟑 =𝟏𝟐,𝟑𝟕 𝒖 𝟑 =𝟏𝟐,𝟑𝟕 𝐝𝐦 𝐮 𝟏 b . . A a B *

9 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 2. Vypočítejte délky stěnových a tělesové úhlopříčky kvádru ABCDEFGH, který má délky hran 30 cm, 4 dm a 1,2 m. H G a = 30 cm = 3 dm b = 4 dm 𝐮 𝐭 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝒖 𝟏 𝟐 + 𝐜 𝟐 E c = 1,2 m = 12 dm F 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝟓 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐 𝐮 𝟏 = … cm 𝐮 𝟑 c 𝒖 𝒕 𝟐 =𝟐𝟓+𝟏𝟒𝟒 𝐮 𝟐 = … dm 𝒖 𝒕 𝟐 =𝟏𝟔𝟗 𝐮 𝟐 𝐮 𝟑 = … dm 𝒖 𝒕 = 𝟏𝟔𝟗 D . . 𝐮 𝐭 = … cm C 𝒖 𝒕 =𝟏𝟑 𝒖 𝒕 =𝟏𝟑 𝐝𝐦 𝐮 𝟏 b . . A a B Délky stěnových úhlopříček jsou 5 dm, 12,65 dm a 12,37 dm. Délka tělesové úhlopříčky je 13 dm. *

10 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 2. Vypočítejte délky stěnových a tělesové úhlopříčky kvádru ABCDEFGH, který má délky hran 30 cm, 4 dm a 1,2 m. H G Je-li 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝒖 𝟏 𝟐 + 𝐜 𝟐 𝐮 𝐭 E F a zároveň 𝒖 𝟏 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 𝐮 𝟑 c 𝐮 𝟐 pak platí, že 𝒖 𝒕 𝟐 = 𝐚 𝟐 + 𝐛 𝟐 + 𝐜 𝟐 D . . C 𝒖 𝒕 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 => 𝐮 𝟏 b . . A a B *

11 Pythagorova věta Užití
* Pythagorova věta Užití 3. Vypočítejte objem a povrch krychle ABCDEFGH, která má délku stěnové úhlopříčky 11,3 cm. H G E F D C 𝐮 𝐬 . A 𝐚 B a = 8 cm; S = 384 cm2; V = 512 cm3 *

12 𝒖 𝒔 = 15 cm; 𝒖 𝒕 = 16,2 cm S = 45 cm2; o = 37,2 cm
* Pythagorova věta Užití 4. Vypočítejte obvod a obsah trojúhelníku ABG v kvádru ABCDEFGH, který má délky hran a = 6 cm, b = 9 cm a c = 12 cm. H G F E c 𝒖 𝒕 𝒖 𝒔 D C b . A a B 𝒖 𝒔 = 15 cm; 𝒖 𝒕 = 16,2 cm S = 45 cm2; o = 37,2 cm *

13 𝒖 𝒔 𝟐 = 17 cm; 𝒖 𝒕 = 41,6 cm; b = 29,4 cm S = 204 cm2; o = 88 cm
* Pythagorova věta Užití 5. Vypočítejte obvod a obsah trojúhelníku BSH vepsaného krychli ABCDEFGH, která má délku hrany 24 cm. H G E F 𝐮 𝐭 𝐛 D C S 𝐮 𝐬 𝟐 A 𝐚 B 𝒖 𝒔 𝟐 = 17 cm; 𝒖 𝒕 = 41,6 cm; b = 29,4 cm S = 204 cm2; o = 88 cm *

14 𝒗 𝒑 = 4,3 cm; 𝑺 𝒑 = 10,8 cm; 𝒐 𝒑 = 15 cm S = 171,6 cm2; V = 108 cm3
* Pythagorova věta Užití 6. Vypočtěte objem a povrch pravidelného trojbokého hranolu o délce hrany podstavy 5 cm s výškou 10 cm. v a a a 𝒗 𝒑 = 4,3 cm; 𝑺 𝒑 = 10,8 cm; 𝒐 𝒑 = 15 cm S = 171,6 cm2; V = 108 cm3 *