ŠKOLA:Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám. Míru 6, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU:CZ.1.07/1.5.00/ NÁZEV PROJEKTU:Peníze do škol ČÍSLO ŠABLONY:III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AUTOR:Mgr. Vítězslav Kurz TEMATICKÁ OBLAST: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika NÁZEV DUMu:Charakteristiky polohy POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu:18 KÓD DUMu:VY_32_INOVACE_2_3_18_KUR DATUM TVORBY: ANOTACE (ROČNÍK):Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.

Doporučené vzorce

Charakteristiky polohy Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. a) Aritmetický průměr určíme tak, že provedeme součet všech hodnot a vydělíme počtem těchto hodnot.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. a) Aritmetický průměr určíme tak, že provedeme součet všech hodnot a vydělíme počtem těchto hodnot. Při větším počtu hodnot malého množství druhů (1-5), je dobré spočítat tzv. vážený aritmetický průměr. Spočítáme kolik kterých známek je.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. a) Aritmetický průměr určíme tak, že provedeme součet všech hodnot a vydělíme počtem těchto hodnot. Při větším počtu hodnot malého množství druhů (1-5), je dobré spočítat tzv. vážený aritmetický průměr. Spočítáme kolik kterých známek je. 1-7x 2-6x 3-3x 4-3x 5-1x

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. a) Aritmetický průměr určíme tak, že provedeme součet všech hodnot a vydělíme počtem těchto hodnot. Při větším počtu hodnot malého množství druhů (1-5), je dobré spočítat tzv. vážený aritmetický průměr. Spočítáme kolik kterých známek je. 1-7x 2-6x 3-3x 4-3x 5-1x Celkem je tedy 20 známek. Určíme aritmetický průměr.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. b) Určíme modus. Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. b) Určíme modus. Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji. Známka 2 se vyskytuje 7x, tedy nejčastěji.

Příklad 1 Př.1: Student Jirka dostal z matematiky následující známky: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 4. a) Vypočítejte aritmetický průměr těchto známek b) Určete modus. b) Určíme modus. Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji. Známka 2 se vyskytuje 7x, tedy nejčastěji. Modus je tedy číslo 2. Poznámka: Pozor, modus je číslo, které se vyskytuje nejčastěji nikoliv počet jeho výskytu! Toto je častý omyl.

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr.

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat!

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat! Pro tento příklad zvolíme tedy jinou charakteristiku polohy a to geometrický průměr. Přírůstky (poklesy) vyjádříme desetinným číslem:

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat! Pro tento příklad zvolíme tedy jinou charakteristiku polohy a to geometrický průměr. Přírůstky (poklesy) vyjádříme desetinným číslem: ,05 (jelikož je to růst o 5 % )

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat! Pro tento příklad zvolíme tedy jinou charakteristiku polohy a to geometrický průměr. Přírůstky (poklesy) vyjádříme desetinným číslem: ,05 (jelikož je to růst o 5 % ) ,98 (jelikož jde o pokles o 2 % )

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat! Pro tento příklad zvolíme tedy jinou charakteristiku polohy a to geometrický průměr. Přírůstky (poklesy) vyjádříme desetinným číslem: ,05 (jelikož je to růst o 5 % ) ,98 (jelikož jde o pokles o 2 % ) ,99 (jelikož jde o pokles o 1 % )

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat! Pro tento příklad zvolíme tedy jinou charakteristiku polohy a to geometrický průměr. Přírůstky (poklesy) vyjádříme desetinným číslem: ,05 (jelikož je to růst o 5 % ) ,98 (jelikož jde o pokles o 2 % ) ,99 (jelikož jde o pokles o 1 % ) ,03 (jelikož jde o růst o 3 % )

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Nejdříve je potřeba si uvědomit, že nelze vypočítat průměrný růst zisku firmy jako aritmetický průměr. Jde totiž o relativní změny vůči předchozímu období, tyto změny tedy nelze sčítat! Pro tento příklad zvolíme tedy jinou charakteristiku polohy a to geometrický průměr. Přírůstky (poklesy) vyjádříme desetinným číslem: ,05 (jelikož je to růst o 5 % ) ,98 (jelikož jde o pokles o 2 % ) ,99 (jelikož jde o pokles o 1 % ) ,03 (jelikož jde o růst o 3 % ) ,01 (jelikož jde o růst o 1 % )

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Z těchto čísel: 1,05 ; 0,98 ; 0,99 ; 1,03 ; 1,01. vypočítáme geometrický průměr.

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa. Z těchto čísel: 1,05 ; 0,98 ; 0,99 ; 1,03 ; 1,01. vypočítáme geometrický průměr. Tedy jako pátou odmocninu (protože těchto členů je 5) ze součinu těchto čísel.

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa.

Příklad 2 Př.2: Firma Alfa s.r.o. zaznamenala v posledních pěti letech následující meziroční relativní přírůstky (poklesy) zisku: 2008-růst o 5%, 2009-pokles o 2 %, 2010-pokles o 1 %, 2011-růst o 3 %, 2012-růst o 1 %. Vypočítejte průměrný roční růst (pokles) zisku firmy Alfa.

Příklad 3 Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase. Opět si musíme uvědomit, že v tomto příkladu nepoužijeme aritmetický ani geometrický průměr.

Příklad 3 Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase. Opět si musíme uvědomit, že v tomto příkladu nepoužijeme aritmetický ani geometrický průměr. Cestou zpět jel řidič totiž rychleji, tedy nestrávil stejný čas na cestě tam jako na cestě zpět.

Příklad 3 Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase. Opět si musíme uvědomit, že v tomto příkladu nepoužijeme aritmetický ani geometrický průměr. Cestou zpět jel řidič totiž rychleji, tedy nestrávil stejný čas na cestě tam jako na cestě zpět. Na tento typ úlohy tedy použijeme tzv. harmonický průměr.

Příklad 3 Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase.

Příklad 3 Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase.

Příklad 3 Př.3: Řidič jel do cílového místa průměrnou rychlostí 80 km/h. Zpět jel tu samou trasu průměrnou rychlostí 90 km/h. Určete jeho průměrnou rychlost na celé trase.

Závěrečná strana