Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb Obsah přednášky : obecný rovinný pohyb tělesa, analytické řešení, pólová konstrukce rozklad pohybu Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty s řešením kinematických poměrů při obecném rovinném pohybu

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb je pohyb, který : - je rovinný, - není ani posuvný ani rotační. Obecný rovinný pohyb posuvný pohyb obecný rovinný pohyb rotační pohyb rovinný pohyb : Všechny body tělesa se pohybují v navzájem rovnoběžných rovinách.

Dynamika I, 6. přednáška Těleso, které koná obecný rovinný pohyb, může mít 1, 2 nebo 3 stupně volnosti. 1 stupeň volnosti 2 stupně volnosti 3 stupně volnosti Obecný rovinný pohyb posuv rotace

Dynamika I, 6. přednáška 1 stupeň volnosti 2 stupně volnosti jeden nezávislý pohyb dva nezávislé pohyby valení bez prokluzu prokluz v bodě dotyku Obecný rovinný pohyb x, v, a , ,  valení bez prokluzu posuv rotace r prokluz v bodě dotyku nezávislý posuv a rotace x, v, a , , 

Dynamika I, 6. přednáška Analytické řešení. Řešení rychlostí pólovou konstrukcí. Řešení základním rozkladem. Kinematika se zabývá poměry rychlostí a zrychlení. Obecný rovinný pohyb

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Dynamika I, 6. přednáška v A, a A dáno, vypočtěte v B, a B Obecný rovinný pohyb analytické řešení Tyč AB délky se pohybuje tak, že bod A se smýká po vodorovné podlaze rychlostí v A a se zrychlením a A, bod B se smýká po svislé stěně rychlostí v B a se zrychlením a B. Poloha bodu A je dána vodorovnou souřadnicí x A, poloha bodu B je dána svislou souřadnicí y B od rohu stěny a podlahy. Pro rozměry x A, y B (proměnné souřadnice) a (konstantní délka tyče) zjevně platí Pythagorova věta. xAxA yByB A B

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Dynamika I, 6. přednáška v A, a A dáno, vypočtěte v B, a B Obecný rovinný pohyb analytické řešení základní schéma xAxA yByB A B

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Dynamika I, 6. přednáška v A, a A dáno, vypočtěte v B, a B Obecný rovinný pohyb analytické řešení alternativní postup xAxA yByB A B

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Dynamika I, 6. přednáška v A, a A dáno, vypočtěte v B, a B Obecný rovinný pohyb analytické řešení Pozor ! Ve výsledku je velmi významné záporné znaménko. Podává informaci (jedinou informaci) o směru pohybu. Kladné znaménko znamená rychlost (zrychlení) ve směru narůstající souřadnice (vodorovně doprava, svisle nahoru). Záporné znaménko znamená rychlost (zrychlení) ve směru klesající souřadnice (vodorovně doleva, svisle dolů). Záporné znaménko ve výše uvedeném vzorci pak znamená, že při pohybu bodu A doprava bude bod B klesat a naopak. xAxA yByB A B

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb analytické řešení xAxA yByB A B

Dynamika I, 6. přednáška x v,a ,,,,  = 360º = 2·   6,28 rad x = 2·  ·r r  Obecný rovinný pohyb analytické řešení valení bez prokluzu

Dynamika I, 6. přednáška  r·sin(  ) A A xAxA yAyA úloha polohy řešení rychlosti řešení zrychlení valení bez prokluzu Obecný rovinný pohyb analytické řešení

Dynamika I, 6. přednáška zobecnění s A, s B – tzv. zobecnělé souřadnice – délkové nebo úhlové v A, v B – tzv. zobecnělé rychlosti – délkové nebo úhlové a A, a B – tzv. zobecnělá zrychlení – délková nebo úhlová úloha polohy analytické řešení řešení rychlosti řešení zrychlení Obecný rovinný pohyb

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb pólová konstrukce Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej  ). Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. xAxA yByB A B nBnB nAnA π

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb pólová konstrukce Tyč AB délky se pohybuje tak, že bod A se smýká po vodorovné podlaze rychlostí v A, bod B se smýká po svislé stěně rychlostí v B. Bod A se pohybuje po vodorovné přímce, normála této trajektorie n A je svislá. Bod B se pohybuje po svislé přímce, normála této trajektorie n B je vodorovná. Na průsečíku těchto normál leží pól pohybu . Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej  ). Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu . xAxA yByB A B nBnB nAnA π

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb pólová konstrukce Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu . xAxA yByB A B nBnB nAnA π xAxA yByB A B nAnA nBnB  

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb Jen rychlosti ! Ne zrychlení ! Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu . To platí pro všechny body tělesa, ne jen pro body A a B. pólová konstrukce A B C  nCnC nBnB n A 

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb Jen rychlosti ! Ne zrychlení ! pólová konstrukce A B nBnB nAnA π A B nAnA nBnB   a Bn =0 a An =0 bod A se pohybuje po přímce bod B se pohybuje po přímce

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Při obecném rovinném pohybu je pólem pohybu v každém okamžiku jiný bod. Křivku - množinu bodů, které byly, jsou nebo budou pólem nazveme polódie. Množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem, vynesených do pevného (nehybného) prostoru, se nazývá polódie pevná. A B  (t-  t)  (t+  t)  (t) pevná polódie  (t) A B  (t-  t)  (t+  t) pohyblivá polódie Množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem, vynesených do tělesového (pohybujícího se) prostoru, se nazývá polódie pohyblivá.

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Obě polódie se navzájem dotýkají v pólu pohybu.

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení pohyblivé polódie po polódii pevné. A B  (t-  t)  (t+  t)  (t) pevná polódie pohyblivá polódie C D E

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení pohyblivé polódie po polódii pevné. B pevná polódie bod A se pohybuje po přímce bod B se pohybuje po přímce valení pohyblivá polódie A A B  (t-  t)  (t+  t)  (t) pevná polódie pohyblivá polódie C D E

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Společná tečna pevné a pohyblivé polódie se nazývá tečna polódií t p.

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb ,,  Jen rychlosti ! Ne zrychlení ! v r valení bez prokluzu pevná polódie pohyblivá polódie  pól pohybu

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad posuv A B A B v posuv vAvA A B rotace v rotace vBvB vAvA + Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu a rotace. superposice posuvného a rotačního pohybu

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad posuv A B rotace v posuv v rotace vBvB vAvA =v BA A – referenční bod =vA=vA Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu a rotace. A B vBvB vAvA superposice posuvného a rotačního pohybu Referenční bod určuje oba současné pohyby : Posuv - posuv ve směru pohybu referenčního bodu. Rotace - rotace okolo referenčního bodu. Za referenční bod si zvolíme bod, pohybující se po jednoduché trajektorii (přímka, kružnice,...).

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad A B  vBvB vAvA v BA  AB  

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad A B  aBaB aAaA a BAt  AB   a BAn  AB  

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad valení bez prokluzu ,, v A,a A B A A – referenční bod posuv + rotace   AB C  BC  x y  r b

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad valení bez prokluzu v A,a A B A A – referenční bod posuv + rotace   AB  AB C  x y r b  ,, 

Dynamika I, 6. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad valení bez prokluzu v A,a A B A A – referenční bod posuv + rotace  C  BC x y  r b  BC   ,,