FI-11 Kmity a vlnění II. 20. 3. 2005

Hlavní body Kmity Úvod do vlnění Harmonické vlny Skládání kmitů rovnoběžných a kolmých Tlumené kmity Nucené kmity Úvod do vlnění Harmonické vlny Popis, periodicita v čase a prostoru Přenos energie Stojaté vlny, interference vln, Dopplerův jev 20. 3. 2005

Skládání kmitů I Působí-li několik různých návratových sil, může hmotný bod vykonávat několik kmitavých pohybů současně. Obecně platí, že složený kmit je superpozicí jednotlivých kmitů a výchylka v určitém okamžiku je superpozicí jednotlivých výchylek. Často nás zajímá, za jakých podmínek bude výsledný kmit periodický či dokonce harmonický. 20. 3. 2005

Skládání kmitů II I když jsou skládající se kmity harmonické je výsledný kmit obecně aperiodický. Speciálně: Je-li jedna frekvence racionálním násobkem druhé, bude výsledný kmit periodický. Jsou-li si výchozí frekvence rovny, je výsledný kmit dokonce harmonický. Zde rozebereme několik speciálních případů skládání harmonických kmitů. 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce I Jsou-li harmonické kmity stejné frekvence, mohou se lišit pouze amplitudou nebo fází. Jejich výsledný kmit : má opět stejnou frekvenci jako každý z kmitů. jeho výslednou amplitudu a fázi lze vypočítat jako součet dvojrozměrných vektorů nebo komplexních čísel. 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce II Dokážeme tvrzení pro dva kmity. Důkaz lze potom snadno rozšířit pro více kmitů. Předpokládejme dva kmity určené parametry x10, 1 a x20, 2. Platí : cosiny rozložíme pomocí součtových vzorců, přeskupíme a opět složíme pomocí součtového vzorce : 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce III 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce IV Výsledný kmit má úhlovou frekvenci , stejnou jako skládané kmity, amplitudu x120 a fázi . Amplituda a fáze výsledného kmitu jsou určeny amplitudami a fázemi kmitů skládaných. Každý kmit tedy musíme charakterizovat dvourozměrnou veličinou, která nese informaci o amplitudě a fázi, buď speciálním vektorem – fázorem nebo komplexním číslem. Ilustrujme popis skládání kmitů pomocí fázorů : 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce V zobrazme kmit pomocí vektoru, jehož velikost je rovna amplitudě x10 a úhel, který svírá s kladnou částí osy x úhel rovný fázi . kdyby takový vektor rotoval s úhlovou rychlostí , byl by jeho průmět do osy x roven výchylce kmitu. Vektor, popisující druhý kmit, má obecně jinou velikost i počáteční směr, ale rotuje se stejnou úhlovou rychlostí Oba vektory jsou tedy vzájemně v klidu. Můžeme zavést souřadnou soustavu, rotující také s úhlovou rychlostí . Potom oba kmity i jejich výsledný kmit v této soustavě v klidu. 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce VI V předchozím závěru vidíme, že první složka výsledného kmitu je tedy součet prvních složek kmitů skládaných : a podobně složka druhá : To přesně odpovídá sčítání vektorů. 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce VII Zajímavý případ nastává, když frekvence obou kmitů nejsou stejné, ale jsou blízké. Pro jednoduchost budeme předpokládat u obou stejnou amplitudu a nulovou fázi : 20. 3. 2005

Skládání kmitů v jedné přímce VIII Výsledný kmit má : frekvenci rovnou průměrné frekvenci obou kmitů, srovnatelnou s původními frekvencemi a je modulován kmitem s frekvencí rovnou jejich rozdílu. To může být velmi nízká frekvence. V akustice se tomuto jevu říká zázněje nebo rázy. 20. 3. 2005

Skládání kmitů kolmých I Výsledkem je kmit, který je superpozicí původních kmitů a obecně se odehrává v dvojrozměrném prostoru – rovině. Mají-li oba kmity stejnou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky se stejnou frekvencí po elipse, která se v závislosti na počátečních podmínkách může zjednodušit na kružnici, či přímku. 20. 3. 2005

Skládání kmitů kolmých II Mají-li oba kmity blízkou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky s průměrnou frekvencí obecně po elipse, jejíž velikost se mění s pomalejší periodou. Dají-li se frekvence obou kmitů vyjádřit jako poměr celých čísel, hmotný bod se periodicky pohybuje po Lyssajousově křivce. 20. 3. 2005

Tlumené kmity I U reálných kmitů obvykle dochází ke ztrátám energie a jsou tedy tlumené. Vyšetříme jednoduchý případ, kdy brzdící síla závisí na (první mocnině) rychlosti, což je v souladu například se Stokesovým zákonem : 20. 3. 2005

Tlumené kmity II Pohybová rovnice má v tomto případě tvar : Jedná se o diferenciální rovnici druhého řádu, jako v případě netlumených kmitů, ale nyní obsahuje i člen řádu prvního. To mírně komplikuje řešení, ale hlavně jeho charakter silně závisí na počátečních podmínkách, hlavně míře tlumení 20. 3. 2005

Tlumené kmity III Rovnici přeskupíme a vydělíme m. Zavedeme konstantu tlumení 2 = b/m a použijeme úhlovou frekvenci netlumených kmitů 20=k/m : Předpokládáme řešení ve tvaru: 20. 3. 2005

Tlumené kmity *I Po dosazení dostáváme charakteristickou kvadratickou rovnici pro  : Její řešení závisí na diskriminantu čili na míře tlumení : 20. 3. 2005

Tlumené kmity *II Pro velké tlumení je diskriminant kladný a výsledkem je jeden přetlumený kmit, který nemusí ani dosáhnout rovnovážné polohy. Situace pro nulový diskriminant se nazývá kritické tlumení a rovnovážné polohy je dosaženo, ale akorát není překročena. zajímavým řešením je málo tlumený pohyb. 20. 3. 2005

Tlumené kmity *III Zavedeme novou úhlovou frekvenci  : A tedy : Obecné řešení můžeme psát jako : 20. 3. 2005

Tlumené kmity *IV Použijeme okrajových podmínek : Takže konečně : 20. 3. 2005

Tlumené kmity IV Pro málo tlumené kmity, kdy   0 , je : Kde : Výsledný kmit je superpozicí harmonického kmitu s menší úhlovou frekvencí než měl kmit netlumený a exponenciálně se snižující amplitudy. 20. 3. 2005

Tlumené kmity V Bývá zvykem zavádět útlum  jako poměr amplitud vzdálených jednu periodu : nebo jeho logaritmus, zvaný logaritmický dekrement : 20. 3. 2005

Nucené kmity I Rozebereme situaci, kdy na oscilátor s vlastní úhlovou frekvencí  působí periodická síla s frekvencí . Pohybovou rovnici, předpokládáme-li i tlumení, lze napsat : Po vydělení m a úpravě: Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu. 20. 3. 2005

Nucené kmity II Řešení se skládá z tlumené části, která za určitou dobu zmizí a z části stabilní : Pro amplitudu stabilní části platí : 20. 3. 2005

Nucené kmity III Toto řešení má takzvaný rezonanční charakter, kdy je amplituda maximální pro  blízké 0. Rezonance: k nejefektivnějšímu přenosu energie do kmitajícího systému dochází, je-li budící frekvence rovna vlastní frekvenci. Příkladem je třeba dětská houpačka. 20. 3. 2005

Vlny I Prostředím složeným z hmotných bodů, z nichž každý může vykonávat kmity a mezi kterými jsou vazby, charakterizované například moduly E a G, se výchylka může šířit jako vlna – postupné kmitání v prostoru a čase. Podle charakteru vazeb může být vlnění : příčné, u něhož je výchylka kolmá ke směru šíření podélné, kde je výchylka se směrem šíření rovnoběžná surerpozicí obojího 20. 3. 2005

Vlny II Vlnění je typické tím, že se prostorem šíří energie (informace), ale ne hmota. Popišme výchylku harmonické vlny, šířící se rychlostí c ve směru osy x : znaménko “-” platí pro kladná x v bodě x je tedy výchylka, která byla v počátku před dobou x/c =  , za kterou do něj vlna dospěla Dále uvažujme jen velikost výchylky. 20. 3. 2005

Vlny III Výchylka každé vlny splňuje obecnou Laplaceovu nebo-li vlnovou rovnici : splňují ji i obecnější vlny, ale my se budeme podrobněji zabývat jen vlnami harmonickými, které se šíří v prostředí harmonických oscilátorů 20. 3. 2005

Vlny IV Harmonická vlna je periodická v čase i prostoru : kde  = cT je vlnová délka, čili dráha, kam vlna dospěje za jednu periodu. Vyjadřuje periodicitu v prostoru. 20. 3. 2005

Vlny V Pomocí periodičnosti funkce cos, lze totiž snadno ukázat, že pro t = t + mT : nebo pro x = x + n : 20. 3. 2005

Vlny VI Z definice vlnové délky platí důležité vztahy: Často, například ve spektroskopii se používá vlnočet, což je počet vln na jednotku délky : Je zjevně prostorovou analogií frekvence. 20. 3. 2005

Vlny VII Prostorovou analogií úhlové frekvence je vlnové číslo, jeho význam je patrný po úpravě: Vystihuje ho zjevně lépe jeho druhý název úhlový vlnočet. 20. 3. 2005

Vlny VIII Dále platí : V třírozměrném prostoru, lze šíření vlny popsat pomocí vlnového vektoru , kde je jednotkový vektor mající směr šíření a jehož velikostí je vlnové číslo. Pro výchylku rovinné vlny v bodě platí : 20. 3. 2005