Kinematika bodu. úvod do dynamiky, kinematika bodu, Základy mechaniky, 11. přednáška Obsah přednášky : úvod do dynamiky, kinematika bodu, základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi, pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu

dynamika kinematika dynamika Základy mechaniky, 11. přednáška Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu a teprve pak se ptát na závislost na silách. dynamika kinematika dynamika jen pohyb pohyb a síly Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu. Vztahem mezi základními kinematickými veličinami, t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením. Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky, t.j. hmotou, pohybem a silami.

Kinematika - nauka o pohybu Základy mechaniky, 11. přednáška Kinematika - nauka o pohybu Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu, tělesa nebo soustavy těles. Pohybem rozumíme změnu polohy v čase. Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází. Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu). Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů. Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha. Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka. V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi. Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi. V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí. Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá, plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa a pro všechny pozorovatele společný.

Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb. Základy mechaniky, 11. přednáška Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti. Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti. Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb. z y x „Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane. Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání). Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů. Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech (třeba kdyby zafoukal vítr). Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti. „Nezávislý pohyb“ - mezi dvěma pohyby, jež představují dva stupně volnosti, nesmí platit žádný explicitní vztah, daný vnějšími okolnostmi. x Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii. Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y. Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen pohybem v jiném směru (x). Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý, bod má jeden stupeň volnosti. {nezávislá souřadnice} y

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti. Může se pohybovat pouze daným směrem. Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím. Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii.

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti. Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém. Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou. Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech. Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích. Má tedy 2º volnosti.

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti. Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen. Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů), tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany). Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu, je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti.

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle ve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti. Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet. y pohyb ve směru osy y pohyb ve směru osy x x rotace okolo osy z z všechny pohyby současně

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Koule se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu). Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce. Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí. Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedochází k prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º), posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince. Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso volné v prostoru se může pohybovat ve třech směrech a může se otáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti. Například helikoptéra při letu nebo družice na oběžné dráze. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

Základy mechaniky, 11. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1 souřadnice dráha s v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) 2 souřadnice x, y 3 souřadnice a úhel natočení f v prostoru (3 rozměrný prostor) x, y, z 6 souřadnic x, y, z a tři úhly natočení, např. a, b, g Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi, kolik stupňů volnosti objekt má. Objekt má tolik stupňů volnosti, kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.

Pohyb bodu Základy mechaniky, 11. přednáška Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny. čas značíme t z anglického slova time základní jednotkou je [s] {sekunda} dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...} dráha, souřadnice značíme s, x, y, ... základní jednotkou je [m] {metr} dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...} rychlost značíme v z anglického slova velocity základní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu} dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu} zrychlení značíme a z anglického slova acceleration základní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}

Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Základy mechaniky, 11. přednáška Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat, spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu. Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí. Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času. Tuto limitu definuje matematika jako derivaci. Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.

Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Základy mechaniky, 11. přednáška Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje).

Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Základy mechaniky, 11. přednáška Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje).

Základy mechaniky, 11. přednáška Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost, zavádíme pojem orientovaná souřadnice. Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice), proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.

Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas. Základy mechaniky, 11. přednáška Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas. Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední. Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.

Základy mechaniky, 11. přednáška zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

Základy mechaniky, 11. přednáška Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost, tedy ve směru nárůstu souřadnice. dráha, rychlost a zrychlení jsou funkcí času rychlost a zrychlení jsou funkcí dráhy zrychlení je funkcí rychlosti Úplné kinematické řešení.

Shrnutí toto jsou obecně platné vztahy Základy mechaniky, 11. přednáška Shrnutí rychlost je derivace dráhy podle času zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

Shrnutí toto jsou obecně platné vztahy Základy mechaniky, 11. přednáška Shrnutí podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlení mění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu : A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní. B) Pohyb rovnoměrně zrychlený - zrychlení je konstantní. C) Pohyb nerovnoměrný. toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrný pohyb (v=konst). Základy mechaniky, 11. přednáška A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst. rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová s - okamžitá dráha s0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě souřadného systému může být nulová) t - okamžitý čas t0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0 toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrný pohyb (v=konst).

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = 0 ... v = v0 rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = 0 ... s = s0 dráha na počátku vyšetřovaného pohybu

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek t = 0 ... s = s0, v = v0 dráha a rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek

toto jsou vztahy, platné pouze pro Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. shrnutí toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).

Základy mechaniky, 11. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s) za čas t = 5 s. Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2. Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. T f v r y y r f T w t amplituda [m] kruhová frekvence [s-1] frekvence [Hz] počet cyklů za sekundu perioda [s] doba jednoho cyklu počáteční úhel f, fázový posuv [-]

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. T f v r y y r f T w t amplituda [m] max. rychlost [m/s] max. zrychlení [m/s2] Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a Pro čas, narůstající nade všechny meze, se průběh blíží ustálené hodnotě :

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit, bude konstantní (v = vustálená = konst). Zrychlení tedy bude nulové.

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a časová konstanta [s]

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a separace proměnných

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. m G h k = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta, M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země, R = 6 378 km - poloměr Země. Země R na povrchu Země (y=0) :

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. volný pád z výšky h v, a m G y h Země R

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. volný pád z výšky h v, a m G y h Země R rychlost dopadu na Zemi :

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. svislý vrh vzhůru v, a m y v0 G Země R

Základy mechaniky, 11. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. svislý vrh vzhůru v, a m G y v0 Země R těleso se zastaví ve výšce h těleso se neustále vzdaluje od Země

základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi, Základy mechaniky, 11. přednáška Obsah přednášky : úvod do dynamiky, kinematika bodu, základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi, pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný