Mechanické kmitání

Kmitání - kmitavý pohyb Kmitavý pohyb (mechanické kmitání) je po pohybech přímočarých a křivočarých třetím základním typem pohybu, s níž se setkáváme jak v přírodě, tak v technické praxi. Příklady kmitavých pohybů: - pulsování srdce, - chvění bubínku ucha při příjmu zvuku, - kyvadlo v pendlovkách, - píst v automobilu, - vysílání a příjem signálů rozhlasu a televize … Pro mechanické kmitání je charakteristické, že kmitající těleso při pohybu zůstává stále v okolí určitého bodu, označovaného jako rovnovážná poloha. Jestliže těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou, koná periodický kmitavý pohyb. Dochází-li k přenosu kmitání prostorem, hovoříme o vlnění (např. elektromagnetické vlnění, akustické vlnění).

Kmitavý pohyb Zařízení, které volně (bez vnějšího působení) kmitá, je tzv. mechanický oscilátor.

Nejstarší mechanický oscilátor používaný u hodinových strojů tzv Nejstarší mechanický oscilátor používaný u hodinových strojů tzv. lihýř (byl použit i u Pražského orloje). Lihýř bylo zařízení k udržení rovnoměrného „přesného“ (chyba až osm hodin za den) chodu hodin používané od konce 13.století, předchůdce pérových hodin (16. století) a kyvadla (17.století) jednou z nejstarších částí orloje jsou mechanický hodinový stroj a astronomický číselník z roku 1410

2. kyvadlo - kmitání je způsobené tíhovou silou Existují dva „speciální“ typy mechanických oscilátorů („speciálnost“ těchto oscilátorů se projevuje v jejich snadném popisu): 1. těleso zavěšené na pružině - kmitání je způsobené silou pružnosti pružiny 2. kyvadlo - kmitání je způsobené tíhovou silou

Při kmitavém pohybu se kmitající těleso pohybuje v blízkosti rovnovážné polohy. Rovnovážná poloha je taková poloha mechanického oscilátoru, v níž jsou síly, které na oscilátor působí, v rovnováze. Jinými slovy je to poloha, v níž se mechanický oscilátor zastaví a samovolně (tj. bez dodání práce z okolí) ji neopustí.

Trajektorií pohybu mechanického oscilátoru je: - úsečka (v případě kmitání tělesa zavěšeného na pružině) - část křivky (část kružnice opisuje např. kyvadlo hodin). Obecnější křivku opisuje např. skokan bumgee-jumpingu, který koná složitější pohyb: kmitá na pružině - pružném laně, ale zároveň se kýve jako kyvadlo).

Závislost okamžité polohy kmitajícího tělesa na čase zobrazujeme jako tzv. časový diagram. Z něho je vidět, že: 1. těleso urazí ve stejných časových intervalech různé dráhy- kmitavý pohyb je tedy pohyb nerovnoměrný 2. kmitající těleso vždy po určité době dospěje do stejné polohy. Periodicky se opakující část kmitavého pohybu nazýváme kmit.

Časový diagram kmitání Závislost okamžité polohy kmitajícího tělesa na čase zobrazuje časový diagram.

Časový diagram kmitavého pohybu Kmitavý pohyb, jehož časovým diagramem je sinusoida (kosinusoida), se nazývá harmonický kmitavý pohyb nebo obecně harmonické kmitání.

Kmity mechanického oscilátoru (i libovolného periodického pohybu) lze charakterizovat pomocí: 1. periody (doby kmitu) T - doba, za níž proběhne 1 kmit a oscilátor dospěje do stejné polohy jako v počátečním čase; 2. frekvence (kmitočtu) f - je dána počtem kmitů za jednu sekundu. [ f ] = s-1 = 1 Hz V souvislosti s kmitáním kyvadel se zavádí ještě doba kyvu. Doba kyvu je doba rovná polovině periody, tj. platí: Oscilátor tedy urazí za jeden kyv poloviční dráhu ve srovnání s dráhou uraženou za jeden kmit. Je vidět, že platí: 1 kmit = 2 kyvy.

Příklady některých kmitavých pohybů spolu s jejich frekvencí kmitání lidského srdce 1,25 Hz střídavý proud v el. síti 50 Hz zvuk tónu 440 Hz tón časového signálu v rozhlase 103 Hz kmitání křemenného krystalu v hodinkách 3,3.104 Hz kmitání procesoru počítače 25.106 Hz signál družicové televize 1011 Hz

Dostane-li kmitavá soustava impuls, rozkmitá se vždy určitým kmitočtem, tzv. vlastním kmitočtem soustavy. Takové kmitání nazýváme volné (netlumené) kmitání nebo volné (netlumené) kmity. Působí-li na soustavu periodicky proměnlivá vnější síla s určitým kmitočtem, donutí soustavu kmitat tímto určitým kmitočtem, který je obecně odlišný od vlastního kmitočtu soustavy. Pak hovoříme o nuceném kmitání nebo o nucených kmitech.

Kyvadlo Kyvadlo je těleso, volně otočné kolem pevné vodorovné osy, neprocházející jeho těžištěm (umístěné nad těžištěm). Pokud je takové těleso vychýleno z rovnovážné polohy, koná kývavý pohyb. Při něm se střídavě mění potenciální energie kyvadla na kinetickou energii kyvadla a naopak.

Kyvadlo se uplatnilo také při konstrukci seismografu. Kyvadlo a zákonitosti jeho pohybu umožnily konstrukci přesných hodin, které měřily čas mnohem přesněji než předchozí modely. Poprvé bylo použito v roce1656. Kyvadlo se uplatnilo také při konstrukci seismografu. Foucaultovo kyvadlo je kyvadlo umožňující experimentálně ověřit otáčení Země (možno vidět v Kroměříži, v Pantheonu v Paříži) Foucaultovo kyvadlo v kroměřížské Květné zahradě Foucaultovo kyvadlo v pařížském Pantheonu

Matematické kyvadlo Zjednodušená forma fyzikálního kyvadla je tzv. matematické kyvadlo. Přibližně ho realizujeme zavěšením malé těžší kuličky na tenkou pevnou nit, jejíž hmotnost je zanedbatelně malá vzhledem k hmotnosti kuličky. Na kuličku působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu (odpory prostředí neuvažujeme). Volně zavěšená kulička je v rovnovážné poloze, kdy se tíhová síla FG rovná tahové síle závěsu Ft. Pokud kyvadlo z rovnovážné polohy vychýlíme, vznikne složením sil výslednice F, která směřuje do rovnovážné polohy a vytváří tak kmitavý pohyb kyvadla. Velikost výsledné síly je kde g ... je tíhové zrychlení, ... je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy, m ... je hmotnost kuličky.

Pro frekvenci a periodu kmitání matematického kyvadla platí: Matematické kyvadlo Pro frekvenci a periodu kmitání matematického kyvadla platí: Z těchto vztahů vyplývá, že frekvence a perioda harmonického pohybu matematického kyvadla závisí na délce jeho závěsu a na velikosti tíhového zrychlení v daném místě. Nezávisí však na hmotnosti kyvadla ani na jeho rozkyvu (jen pokud je úhel rozkyvu malý). Tuto zákonitost objevil již Galileo Galilei. Místo periody neboli doby kmitu T se častěji používá doba kyvu , která se rovná polovině jeho doby kmitu. Proto doba kyvu Reálná kyvadla používaná v praxi jsou kyvadla fyzická. Periodu fyzického kyvadla určujeme měřením.

Kinematika kmitavého pohybu

Kmitání lze z kinematického hlediska rozdělit následujícím způsobem. periodické - periodické kmity se opakují po určitém časovém intervalu. Při periodickém pohybu se systém po určitém čase navrátí zpět do původního stavu. Periodické kmity lze dále rozdělit na harmonické - harmonický kmit je periodický pohyb, který lze vyjádřit ve tvaru anharmonické - není-li možné vyjádřit periodický pohyb jako harmonický, nazýváme jej anharmonickým pohybem. neperiodické (aperiodické) - pokud se nejedná o periodický pohyb, mluvíme o pohybu neperiodickém (např. přímočarý pohyb nebo aperiodické tlumené kmity).

Druhy kmitání Podle tlumení kmitů lze kmitání dělit na: netlumené - při kmitání nedochází ke ztrátě energie (nedochází k tlumení kmitavého pohybu) tlumené - při kmitání se část energie kmitů ztrácí (např. v důsledku tření nebo odporu prostředí), a to samozřejmě ovlivňuje kmitání (nejčastěji postupným zmenšováním amplitudy). Působení vnější síly na kmitající systém - buzení (též budící nebo vynucující síla), které se dělí na: - harmonické buzení nebo periodické buzení - stochastické (náhodné)

Podle vlivu buzení lze kmitání dělit na: volné - kmitání soustavy bez působení vnějších sil, tzn. soustava je vychýlena z rovnováhy, uvolněna a ponechána v pohybu bez působení buzení. Volné kmitání je popsáno homogenními diferenciálními rovnicemi vlastní - jsou kmity soustavy, na kterou nepůsobí buzení. Vlastní kmity jsou vlastní čísla získaná řešením diferenciální rovnice popisující dané kmitání. Frekvence vlastních kmitů se označuje jako vlastní frekvence (kmitočet). nucené (vynucené) - kmitání je ovlivňováno buzením.

Kinematika kmitavého pohybu Při pohybu mechanického oscilátoru se výchylka y s časem periodicky mění a vzhledem k rovnovážné poloze nabývá kladných i záporných hodnot. V určitých časech dosahuje výchylka největší kladné, případně záporné hodnoty. Kladná hodnota největší výchylky je amplituda výchylky ym.

Okamžitá výchylka kmitavého pohybu Pro výchylku harmonického pohybu tělesa, která se v počátečním okamžiku nachází v rovnovážné poloze, platí vztah : y = ym sin t t - je fáze kmitavého pohybu,  - je úhlová frekvence. Pozn.: úhlová frekvence a frekvence jsou veličiny fyzikálně ekvivalentní (jedna je 2 π násobkem druhé)

Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu rychlost harmonického kmitavého pohybu: zrychlení harmonického kmitavého pohybu: t - je fáze kmitavého pohybu,  - je úhlová frekvence. Zrychlení harmonického pohybu je přímo úměrné výchylce a v každém okamžiku má opačný směr: a = - 2  y

Časové diagramy kinematických veličin

Pro znázornění počáteční fáze se používá fázový diagram, kde se využívá souvislosti mezi rovnoměrným pohybem po kružnici a harmonickým pohybem. Fázový diagram má význam hlavně pro skládání kmitů. Základní vlastnosti harmonického pohybu – amplitudu výchylky a počáteční fázi – zobrazí fázor – vektor s počátkem ve středu diagramu, jeho délka odpovídá amplitudě, úhel mezi ním a osou x počáteční fázi. Fázový diagram

Fázový rozdíl Když harmonický pohyb nezačíná v rovnovážné poloze, musíme uvažovat, že v čase t = 0 už hmotný bod urazil úhel 0. 0 je počáteční fáze kmitavého pohybu. Fázový rozdíl  dvou harmonických veličin o stejné frekvenci je určen rozdílem jejich počátečních fází  = 02 – 01, 01 a 02 jsou počáteční fáze. Je-li fázový rozdíl mezi dvěma veličinami stejné frekvence 2k , mají veličiny stejnou fázi a pro (2k+1) opačnou fázi, kde k=0, 1, 2 ….

Fáze kmitavého pohybu Kmitající těleso prochází rovnovážnou polohou po uplynutí doby t0, rovnice harmonického kmitání bude mít tvar:

Složené kmitání Skládaných harmonických pohybů Princip superpozice: Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých pohybů, téhož směru s okamžitými výchylkami y1, y2, …, yk, je okamžitá výchylka y výsledného kmitání y = y1 + y2 + … + yk. Okamžité výchylky mohou mít kladnou i zápornou hodnotu. Proto se při superpozici sčítají a odčítají.

Superpozice dvou harmonických kmitání o stejné frekvenci Na principu superpozice je založeno grafické skládání harmonických pohybů. V časovém rozvinutí dvou harmonických pohybů postupně sčítáme, popř. odečítáme jejich okamžité výchylky v jednotlivých časových okamžicích, čímž dostaneme okamžité výchylky výsledného pohybu. Spojením jejich koncových bodů obdržíme časový průběh výsledného kmitání.

Příklady složených kmitání s různým fázovým rozdílem složek Skládají-li se harmonické pohyby se stejnou frekvencí, vznikne harmonický pohyb se stejnou frekvencí. Jeho amplituda závisí na fázovém rozdílu složek.

Časový diagram složeného kmitání s různou frekvencí složek Superpozicí kmitání různé frekvence vzniká složené kmitání, které není harmonické. Kmitání však může být periodické a to v případě, že v poměru jejich period, popř. frekvencí, jsou celá čísla. Na obrázku jsou dvě kmitání s poměrem frekvencí 1:2.

Časový diagram složeného kmitání s blízkou frekvencí složek - rázy Z diagramu je patrné, že amplituda výsledného kmitání se periodicky zvětšuje a zmenšuje. Vzniká složené kmitání - rázy neboli zázněje. Amplituda rázů se mění s frekvencí f = f1 – f2. To znamená, že při postupném přibližování frekvencí obou kmitání se frekvence rázů zmenšuje. Pro f1 = f2 rázy zaniknou. Rázy jsou velmi citlivým indikátorem pro sladění dvou současně znějících tónů. Vymizí-li rázy, jsou oba tóny dokonale sladěny.

Dynamika kmitavého pohybu Zrychlení harmonického kmitavého pohybu a= -2y Na základě 2. Newtonova pohybového zákona (F = m.a) můžeme obecně vyjádřit sílu, která způsobuje harmonické kmitání: F= -m 2 y Tuto rovnici označujeme také jako pohybovou rovnici mechanického oscilátoru.

Dynamika kmitavého pohybu Úkolem však je určit souvislost úhlové frekvence  s konkrétními vlastnostmi mechanického oscilátoru, tedy s parametry oscilátoru. Parametry pružinového oscilátoru, který tvoří těleso zavěšené na pružině, jsou hmotnost m tělesa a tuhost k pružiny. Reakcí k vnější síle je síla pružnosti Fp, která brání deformaci pružiny. Příčinou harmonického kmitání mechanického oscilátoru je síla, která je přímo úměrná výchylce oscilátoru z rovnovážné polohy a stále směřuje do rovnovážné polohy. U pružinového oscilátoru F = -k.y.

Pro velikost této síly lze psát: F = Fg – Fp = m.g – k( l + y) je to skalární veličina definovaná jako podíl síly, kterou musíme působit, abychom natáhli pružinu o vzdálenost delta l; pro každou pružinu je jiná. Tuhost pružiny vlastní kmitání závisí pouze na svých vlastních parametrech (tuhost pružiny a hmotnost tělesa) Uvedeme-li oscilátor do kmitavého pohybu, tíhová síla je stálá (má stejnou velikost i směr). Mění se ale velikost síly pružnosti, protože se neustále mění výchylka tělesa zavěšeného na pružině (viz obr. ) Pro výslednou sílu platí F = Fp + Fg. Pro velikost této síly lze psát: F = Fg – Fp = m.g – k( l + y) V rovnovážné poloze na pružinu se závažím působí síla pružnosti o velikosti FP= k.    l   a síla tíhová FG    , která má stejnou velikost, ale opačný směr. Proto         . Síla pružnosti se snaží vrátit pružinu do původního nedeformovaného stavu (ještě před zavěšením závaží). Po zavěšení závaží na pružinu míří síla pružnosti tedy vždy směrem vzhůru. Na těleso působí proměnlivá síla, která neustále směřuje do rovnovážné polohy a je příčinou kmitavého pohybu. V případě, kdy se oscilátor nachází nad rovnovážnou polohou, míří síla směrem dolů. Jinými slovy: síla má vždy opačný směr ve srovnání s výchylkou oscilátoru.

Dynamika kmitavého pohybu Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí jen na jeho parametrech, tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k  pružiny. Takové kmitání nazýváme vlastní kmitání oscilátoru a jeho vlastní úhlovou frekvenci označíme 0:

Dynamika kmitavého pohybu Úpravou najdeme vztah pro periodu T0 a frekvenci f0 vlastního kmitání pružinového oscilátoru:

Přeměny energie v mechanickém oscilátoru Při harmonickém kmitavém pohybu mechanického oscilátoru se periodicky mění jeho potenciální energie v energii kinetickou a naopak. Pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly, je mechanická energie kmitání konstantní a oscilátor kmitá s konstantní amplitudou.

Přeměny energie v mechanickém oscilátoru Celková energie kmitání mechanického oscilátoru je konstantní a je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy výchylky, popř. druhé mocnině amplitudy rychlosti vlastního kmitání.

Přeměny energie v mechanickém oscilátoru Netlumené kmitání je takové, kdy se nemění amplituda kmitání, na oscilátor nepůsobí v průběhu kmitání žádné vnější síly. U oscilátoru dochází ke ztrátám energie, kterým nelze u skutečného oscilátoru nikdy zabránit, a vzniká tlumené kmitání. Kmitání reálného oscilátoru je vždy tlumené.

Nucené kmitání mechanického oscilátoru Nucené kmitání vzniká působením periodické síly na oscilátory (i na objekty, které vlastnosti oscilátoru nemají). Frekvence nuceného kmitání závisí na frekvenci působící síly a nezávisí na vlastnostech kmitajícího objektu. Nucené kmitání je netlumené. Říkáme, že mezi oscilátorem a jeho okolím existuje vazba. Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení.

Rezonance Malou, periodicky působící silou lze v oscilátoru vzbudit kmitání o značné amplitudě, pokud je perioda vnějšího působení shodná s periodou vlastního kmitání oscilátoru – tzv. rezonanci. Rezonance je využita např. u hudebních nástrojů.

Rezonanční křivka (závislost amplitudy na úhlové frekvenci) Amplituda nuceného kmitání je největší při rezonanci, tzn. když frekvence působící síly je rovna frekvenci vlastního kmitání oscilátoru. Šířka rezonanční křivky je ovlivněna tlumením (malé tlumení-úzká křivka 1, velké tlumení – široká křivka 2) U ideálního oscilátoru bez tlumení by amplituda výchylky nucených kmitů při rezonanci rostla neomezeně.