Kmitání vynucené kmitání při působení konstantní síly, Dynamika I, 12. přednáška Obsah přednášky : kmitání při působení konstantní síly, harmonicky buzené kmitání amplitudová a fázová charakteristika Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se zákonitostmi vynuceného kmitání

Kmitání vynucené k FD=k·x F b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška k FD=k·x pohybová rovnice F b FB=b·v x v, a O vynuceném kmitání mluvíme tehdy, jestliže na těleso působí, kromě direkční síly FD a tlumící síly FB (na které pohlížíme jako na vnitřní síly), ještě nějaká jiná, vnější, tzv. budící síla F. Další řešení je pak závislé na tom, zda tato síla je konstantní nebo proměnná, pokud je proměnná, tak jaká je její závislost na čase (nebo na jiné veličině). V tomto učebním materiálu budou řešeny dva případy : Konstantní vnější síla : F = konst, Vnější síla harmonického průběhu : F = Fa·sin(w·t). t F

l0 - volná délka l0 Dynamika I, 12. přednáška kmitání při působení konstantní síly Nejprve probereme kmitání při působení konstantní síly F=konst. Touto konstantní silou bývá nejčastěji tíhová síla G, to však jistě není podmínkou. Nejprve se seznámíme s dalším důležitým parametrem pružiny. Kromě tuhosti k je to dále tzv. volná délka l0. Je to délka nezatížené pružiny. Vlivem konstantní síly (např. tíhové) se pružina prodlouží o tzv. statickou deformaci (nebo také statické předpětí) : l0 - volná délka l0 k FD stat Dlstat m statická deformace m rovnovážná poloha Soustava se ustálí v tzv. rovnovážné poloze, v níž je tíhová síla v rovnováze s direkční silou (někdy mluvíme o statické části direkční síly). y G V rovnovážné poloze je počátek souřadného systému (y=0). Jestliže těleso z rovnovážné polohy vychýlíme (y>0), direkční síla již není v rovnováze s tíhovou silou. Můžeme psát pohybovou rovnici :

l0 - volná délka l0 Dynamika I, 12. přednáška kmitání při působení konstantní síly Pohybová rovnice : l0 - volná délka l0 k FD stat FD dyn Dlstat FD stat statická deformace Dlstat = 0 Dlcelk rovnovážná poloha m y FD dyn m G G

l0 - volná délka l0 Dynamika I, 12. přednáška kmitání při působení konstantní síly Pohybová rovnice : l0 - volná délka l0 k FD stat FD dyn Dlstat FD stat statická deformace Dlstat = 0 Připomeneme-li si řešení rovnovážné polohy : rovnovážná poloha m y FD dyn Snadno nahlédneme, že pravá strana pohybové rovnice je rovna nule : m G G Řešení této pohybové rovnice je v plném rozsahu shodné s řešením vlastního kmitání bez působení jakékoliv vnější síly (viz předchozí přednáška).

l0 - volná délka l0 Dynamika I, 12. přednáška kmitání při působení konstantní síly Shrnutí : Samotné kmitání, tedy jeho frekvenci, amplitudu a fázový posuv, řešíme jako by tato konstantní síla nepůsobila. Ovšem rovnovážná poloha je dána nikoliv volnou délkou pružiny, ale statickou deformací. Počátek souřadného systému (y=0) je v rovnovážné poloze, dané statickou deformací (statickým předpětím). Z tohoto pohledu je logičtější řadit tento případ kmitání spíš k vlastnímu kmitání než k vynucenému kmitání. l0 - volná délka l0 k Dlstat FD stat statická deformace Chceme-li řešit namáhání, tedy jakou celkovou silou je pružina napínána (např. kvůli dimenzování), musíme uvažovat obě složky zatížení - statickou i dynamickou. Někdy mluvíme o superpozici statického a dynamického zatížení. rovnovážná poloha m y FD dyn m G G

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) Harmonicky proměnná síla je charakterizována amplitudou a frekvencí. b t F Fa T FB=b·v x v, a Při řešení harmonicky buzeného kmitání je třeba velmi přesně (a přísně) rozlišovat frekvenční parametry vlastního kmitání a budící síly. Fa - amplituda budící síly [N] W0 - vlastní kruhová frekvence [s-1] tyto parametry se zásadně nesmí mezi sebou zaměňovat w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] f - frekvence budící síly (budící frekvence) [Hz] f - vlastní frekvence [Hz] Počet změn budící síly z kladné na zápornou a opačně za sekundu. Počet kmitů (vlastního kmitání) za sekundu. T - vlastní perioda [s] T - perioda budící síly [s] Doba jednoho kmitu. Doba jedné změny budící síly.

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Pohybová rovnice je nehomogenní (nenulová pravá strana). Řešení hledáme jako superpozici řešení homogenního (nulová pravá strana) a partikulárního (odráží nenulovou pravou stranu). homogenní řešení W - vlastní kruhová frekvence homogenní řešení x t integrační konstanty C a f0 se určí z počátečních podmínek

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Pohybová rovnice je nehomogenní (nenulová pravá strana). Řešení hledáme jako superpozici řešení homogenního (nulová pravá strana) a partikulárního (odráží nenulovou pravou stranu). partikulární řešení w - kruhová frekvence budící síly amplituda xa a fázový posuv f partikulárního řešení budou diskutovány dále x xa partikulární řešení t

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Pohybová rovnice je nehomogenní (nenulová pravá strana). Řešení hledáme jako superpozici řešení homogenního (nulová pravá strana) a partikulárního (odráží nenulovou pravou stranu). homogenní řešení partikulární řešení homogenní řešení x výsledné řešení partikulární řešení t

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Průběh výchylky v čase vykazuje dva odlišné úseky. V prvním úseku je průběh skutečně superpozicí obou částí řešení - homogenní i partikulární. Jde o složitý průběh který je součtem dvou harmonických průběhů o různých frekvencích. Tomuto úseku říkáme přechodový děj. Vlastní kmitání (homogenní řešení) je vždy tlumené. Proto po odeznění vlastního kmitání je další průběh popsán již pouze partikulárním řešením. Tomuto úseku říkáme ustálený stav. homogenní řešení x výsledné řešení partikulární řešení t přechodový děj ustálený stav

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Budeme-li se dále zabývat již pouze ustáleným stavem, budeme hledat parametry partikulárního řešení - amplitudu xa a fázový posuv f. Zde je třeba upozornit na častou chybu studentů. Ani amplituda xa ani fázový posuv f nejsou integrační konstanty a jejich velikost se neurčí z počátečních podmínek. Partikulární řešení a jeho derivace musí splňovat pohybovou rovnici. = ? = ? Poznámka k fázovému posuvu : Čitatel ve výrazu pro fázový posuv je vždy kladný. Jmenovatel může být kladný nebo záporný. To znamená že fázový posuv je vždy v I. nebo II. kvadrantu. Kladný jmenovatel - I. kvadrant, f 0,90º, záporný jmenovatel - II. kvadrant, f 90º,180º.

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Fyzikální význam parametrů kmitání : Amplituda xa - maximální výchylka. Fázový posuv f : Jak průběh F(t), tak průběh x(t), jsou harmonické průběhy se stejnou kruhovou frekvencí w a periodou T. Průběh výchylky však je poněkud opožděn za průběhem síly. Výchylka dosahuje svého maxima o něco později, než síla. Toto časové zpoždění Dt je právě dáno fázovým posuvem. xa t F(t) x(t) F, x Fa [rad] 1 rad = (180/p)º  57,3º odezva [s] budící síla

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a statická deformace Pro další řešení je užitečné definovat dva bezrozměrné parametry : Budící kruhovou frekvenci resp. konstantu doznívání pak můžeme vyjádřit jako : činitel naladění {éta} kde poměrný útlum {ksí} (někdy bývá též označován br) Výrazy pro amplitudu a fázový posuv pak můžeme psát v alternativním tvaru.

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Řešení pro tzv. netlumené kmitání - d0, x0 (přesněji málo tlumené kmitání - d<<W0, x<<1). Výchylka má stejnou fázi jako síla, maximum výchylky je ve stejném okamžiku jako maximum síly. je-li nebo Výchylka má opačnou fázi než síla, maximum výchylky je ve stejném okamžiku jako maximum síly ale v opačném směru (těleso kmitá v protifázi proti síle). je-li

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Řešení pro tzv. netlumené kmitání - d0, x0 (přesněji málo tlumené kmitání - d<<W0, x<<1). Výchylka má stejnou fázi jako síla, maximum výchylky je ve stejném okamžiku jako maximum síly. Výchylka má opačnou fázi než síla, maximum výchylky je ve stejném okamžiku jako maximum síly ale v opačném směru (těleso kmitá v protifázi proti síle).

FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b FB=b·v x v, a Dynamika I, 12. přednáška harmonicky proměnná budící síla t F Fa T FD=k·x k F = Fa·sin(w·t) b Fa - amplituda budící síly [N] FB=b·v w - kruhová frekvence budící síly (budící kruhová frekvence) [s-1] x v, a Řešení pro tzv. netlumené kmitání - d0, x0 (přesněji málo tlumené kmitání - d<<W0, x<<1). Alternativní vyjádření amplitudy netlumeného kmitání. Fázový posuv je za všech okolností nulový, v protifázi (w>W0, h>1) je amplituda záporná.

Fa, w xa, f Dynamika I, 12. přednáška amplitudová a fázová charakteristika Velmi užitečná pro hlubší porozumění harmonicky buzenému kmitání je analýza přenosových vlastností soustavy, tedy závislosti parametrů kmitání (amplituda a fázový posuv) na parametrech budící síly (amplituda a frekvence). Fa, w xa, f Závislost na amplitudě budící síly Fa je triviální. Amplituda výchylky xa je přímo úměrná amplitudě budící síly Fa. Fázový posuv f na amplitudě budící síly vůbec nezávisí. Těmito závislostmi se tedy nebudeme dále zabývat. Hlubší pozornost věnujeme závislosti amplitudy xa a fázového posuvu f vynuceného kmitání na frekvenci, resp. kruhové frekvenci budící síly w nebo na činiteli naladění h. Tyto závislosti se nazývají amplitudová a fázová charakteristika.

amplitudová a fázová charakteristika Dynamika I, 12. přednáška amplitudová a fázová charakteristika amplitudová charakteristika Závislost amplitudy kmitání xa na budící kruhové frekvenci w, resp. na činiteli naladění h se vyznačuje třemi zajímavými body. proměnná 1. w=0, h=0. Amplituda je rovna tzv. statické deformaci. proměnná hres 2 xa xst 1 h d>0 d=0 2. wW0, h1. Tzv. resonance. Amplituda nabývá extrémně vysokých hodnot. Pro netlumené kmitání (d=0) dokonce při w=W, h=1, narůstá nade všechny meze (xa). Pro tlumené kmitání (d>0) nabývá amplituda konečných, avšak značně vysokých hodnot. 3. 3. w>>W0, h>>1. Limita výrazu pro xa(h)  0. Pro značně vysokou budící frekvenci (ve srovnání s vlastní frekvencí) klesá amplituda k nule. 1. 2. resonance

! Dynamika I, 12. přednáška amplitudová a fázová charakteristika amplitudová charakteristika 2. wW0, h1. Tzv. resonance. Nastává je-li budící frekvence svou hodnotou blízká vlastní frekvenci. Amplituda nabývá extrémně vysokých hodnot. Pro netlumené kmitání (d=0) dokonce při w=W, h=1, narůstá nade všechny meze (xa). Pro tlumené kmitání (d>0) nabývá amplituda konečných, avšak značně vysokých hodnot. ! hres 2 xa xst 1 h d>0 d=0 Maximum amplitudové charakteristiky nastává při tzv. resonančním naladění : Tedy poněkud (ne příliš) h<1, w<W0. Maximum se od naladění h=1 posouvá mírně vlevo (více s narůstajícím tlumením). Toto posunutí však není příliš významné. Hodnota resonanční amplitudy (maximum amplitudové charakteristiky) pak je : 2. resonance

amplitudová a fázová charakteristika Dynamika I, 12. přednáška amplitudová a fázová charakteristika amplitudová charakteristika 2. wW0, h1. Tzv. resonance. Resonance je velmi důležitý jev. Nastává tehdy, když budící frekvence je číselně blízká vlastní frekvenci. Projevuje se značně vysokou amplitudou kmitání a to i při poměrně malé síle. Resonance je jev obvykle negativní, protože vibrace jsou většinou u technických zařízení nežádoucí. Ve výjimečných případech, tam kde naopak chceme dosáhnout vibrací (např. vibrační třídič sypkého materiálu), je resonance jev pozitivní, neboť umožňuje i při malém příkonu dosáhnout značné amplitudy. hres 2 xa xst 1 h d>0 d=0 2. resonance

amplitudová a fázová charakteristika Dynamika I, 12. přednáška amplitudová a fázová charakteristika fázová charakteristika Fázová charakteristika je méně důležitá, a také méně zajímavá, než amplitudová charakteristika. Pro netlumené kmitání (d=0) se průběh mění skokem s nespojitostí v bodě h=1. Je-li : w < W0, h < 1, pak f = 0, je-li naopak : w > W0, h > 1, pak f = 180º = p rad. U tlumeného kmitání (d>0) má průběh podobný charakter, je však hladký, nikoliv skokový. V bodě h=1 prochází hodnotou f=p/2=90º. 2 1 h d>0 d=0 90º 180º f

kmitání při působení konstantní síly, harmonicky buzené kmitání Dynamika I, 12. přednáška Obsah přednášky : kmitání při působení konstantní síly, harmonicky buzené kmitání amplitudová a fázová charakteristika