Síly působící na tělesa ponořená v ideální tekutině...

Síly působící na tělesa ponořená v ideální tekutině Eulerova rovnice pro ideální (stlačitelnou) tekutinu: a v... zrychlení kvůli objemovým silám Hydrostatika: Potenciální proudění nestlačitelné ideální tekutiny bez obj. sil: V daný okamžik je proudové pole určeno pouze okamžitou rychlostí těles, nezáleží na historii ani na zrychlení! Čas vstupuje do hry pouze přes okrajovou podmínku.

Těleso obecného tvaru Proč zrovna tento tvar derivace? Jiné prostorové derivace 1. řádu neexistují, konstantní vektor krát gradient je nejobecnější derivace 1. řádu. 2. řád: Daleko od tělesa zanedbáme! Potenciál - lineární kombinace řešení Laplaceovy rovnice: a jeho prostorovou derivaci 1. řádu, tedy: přičemž nás zajímá řešení daleko od tělesa (blízko - nutná znalost tvaru). Řešení zvolíme: Proč zrovna toto řešení (a je to vůbec řešení)?

Řešení Laplaceovy rovnice (sférické souř.) Obecné řešení: harmonické funkce rozložitelné do báze R n (r) Y lm ( ,  ) Úhlová část: dále Y lm ( ,  )=T lm (  ) X m (  ) 2  -periodicita: m musí být celé číslo

Řešení Laplaceovy rovnice (sférické souř.) Úhlová část – závislost na  : Legendreova rovnice pro k=l(l+1) Řešení – přidružené Legendreovy polynomy: Pro dané k je řešením jak P l m, tak P -l-1 m, tyto polynomy jsou si rovny.

Řešení Laplaceovy rovnice (sférické souř.) n>0 nefyzikální! n=0 nezajímavé n=-1 nejvyšší zajímavý řád, tedy k=0!  Radiální část: Pro dané k je řešením jak r n tak r -1-n. Celkové řešení v nejvyšším řádu pro velká r: QED Další řády, budou-li třeba, vyjádříme radši pomocí prostorových derivací tohoto řešení.

Těleso obecného tvaru Potenciál - lineární kombinace řešení Laplaceovy rovnice: a jeho prostorovou derivaci, tedy:Řešení zvolíme: Lze ukázat z podmínky nulového průtoku uzavřenou plochou (nestlačitelnost). Pozn.: Toto není zajištěno automaticky díky řešení Laplaceovy rovnice (která v sobě již obsahuje podmínku nestlačitelnosti) kvůli singularitě řešení v počátku souřadné soustavy. Energie proudění uvnitř koule o velkém průměru R (R  ∞)  Hybnost tekutiny (nelze přímo)  Síla působící na těleso je dána změnou hybnosti tekutiny

Těleso obecného tvaru Energie proudění uvnitř koule o velkém průměru R: integrál přes S 0 vymizí kvůli okrajové podmínce Dosadit za potenciál a rychlost, zanedbat členy malé pro R jdoucí do nekonečna, zintegrovat přes celý prostorový úhel, použít trik se středováním skalárního součinu polohových/normálových vektorů.

Těleso obecného tvaru m ij – tenzor indukované / přidané hmotnosti silové působení tekutiny na těleso Stacionární proudění (+ potenciální + nestlačitelná id. tekutina): d’Alembertův paradox Platí pouze pro těleso pohybující se rovnoměrně přímočaře obtékané stacionárním potenciálním prouděním ideální kapaliny v jejím nekonečném objemu. Přestává platit, pokud existuje mechanismus schopný disipovat energii nebo ji transportovat pryč, např. viskozita, gravitační vlny, zvukové vlny. P – celková hybnost tekutiny u – rychlost tělesa