Dynamika 2

Slapy (příliv a odliv) Slapové jevy jsou důsledkem gravitačního působení Měsíce a Slunce na vodní plochy na povrchu Země. Mz Mm a´´ a a´ L

Důležitá čísla

Výpočty zrychlení, se kterým „padá“ Země na Měsíc

Dále bude:

Výpočet a

Posouzení výsledků Povrch Země bližší Měsíci „padá“ na Měsíc s větším zrychlením než střed Země . Voda moří a oceánů se vzedme. Povrch Země vzdálenější „padá“ se zrychlením menším než střed země a voda zůstává „pozadu“ a tedy se také vzedme. Země Měsíc

Účinek Slunce a Měsíce se skládají. Protože se Země otáčí, nastane příliv jednou za dvanáct hodin. Mezi oběma přílivy je odliv. Příliv v době, kdy je Měsíc nad obzorem je vyšší. Účinek Slunce a Měsíce se skládají. Slunce Země Měsíc Měsíc a Slunce jsou na téže straně – nastává „velký příliv“

Měsíc a Slunce jsou na opačných stranách – nastává „malý příliv“ Země Měsíc Měsíc a Slunce jsou na opačných stranách – nastává „malý příliv“ Energie potřebná na pohyb vod se odebírá kinetické energii rotace Země. Proto se perioda otáčení Země (hvězdný den) prodlužuje. Nejvyšší příliv je na pobřežích oceánů – v zálivu Fundy Bay až 11 m. Energie slapů se užívá v přílivových elektrárnách.

Práce a energie v gravitačním poli Hmotný bod se pohybuje v gravitačním poli po trajektorii k. Když se bod posune o elementární úsek , vykonají gravitační síly elementární práci Po dosazení za gravitační sílu obdržíme výraz

Celková práce , potřebná k proběhnutí oblouku trajektorie od bodu C do bodu D bude M m dr r D

Potenciální energie Potenciální energie je dána prací, kterou vykonají vnější síly, aby v silovém poli přesunuly hmotný bod z místa nulové potenciální energie do uvažovaného bodu. Za místo nulové potenciální energie v gravitačním poli bereme nekonečno. Protože gravitační síly jsou přitažlivé, je potenciální energie záporná.

Rozbor pohybů v gravitačním poli podle celkové energie Gravitační síly jsou konzervativní – platí pro ně zákon zachování mechanické energie. Kinetická energie je vždy kladná, což znamená, že také

1.Celková energie je záporná Hmotný bod se může pohybovat jen v oblasti, kde je kinetická energie kladná, tj. kde potenciální energie je pod přímkou celkové energie . V obrázku je to oblast vyznačená žlutě.

Je-li celková energie záporná, je pohyb částice omezený – říkáme, že je finitní. Trajektorií částice je kružnice nebo elipsa.

2. Celková energie je nulová Částice se může pohybovat neomezeně – pohyb je infinitní. Trajektorií je parabola.

3. Celková energie je kladná Pohyb je neomezený – infinitní. Trajektorií je hyperbola.

Centrální síly Centrální silou rozumíme takovou, jejíž nositelka prochází stále jedním bodem. Zvolíme-li tento bod za počátek soustavy souřadnic, lze takovou sílu psát ve tvaru Příkladem centrálních sil jsou gravitační síly vyvolané koulí nebo elektrostatické síly vyvolané bodovým nábojem.

Moment hybnosti p Moment hybnosti vztažený k počátku souřadnic je vektorová veličina daná vztahem r O

Časová změna momentu hybnosti Při úpravách bylo užiti skutečnosti, že vektory rychlosti a hybnosti jsou rovnoběžné a dále bylo užito 2. pohybového zákona. Výsledek lze formulovat tak, že časová změna momentu hybnosti je rovna momentu síly vztaženému ke stejnému bodu.

Časová změna momentu hybnosti v poli centrálních sil Nejprve vypočítáme moment centrální síly vztažený k silovému centru. Protože je časová změna momentu hybnosti rovna momentu síly, je toto změna nulová.

Je-li změna momentu hybnosti nulová, je vektor momentu hybnosti konstantní a během pohybu se zachovává. V poli centrálních sil platí zákon zachování momentu hybnosti. Jeho důsledkem pro pohyb planet a komet je 2. Keplerův zákon.

Síly v soustavách pohybujících se zrychleně Uvažujme o dvou soustavách souřadnic. Soustava S je inerciální, soustava S´ se pohybuje vzhledem k k soustavě S rovnoměrně zrychleně. S´ S r´ r O´ R O

V soustavě S působí na hmotný bod síla F V soustavě S působí na hmotný bod síla F . Vzniká otázka, jakou sílu zjistí pozorovatel v soustavě S´. Rychlost V je konstantní.

Proto bude platit: Sílu –m a nazýváme silou setrvačnosti. Hlavními vlastnostmi této síly jsou: Je úměrná hmotnosti. Je namířena proti zrychlení soustavy S´. Projevuje se jen ve zrychlených soustavách.

Příklady projevu sil setrvačnosti: V rozjíždějícím se autě jsou pasažéři přitisknuti do sedadel, v brzdícím autě síly setrvačnosti je ženou kupředu. Pozorovatel v inerciální soustavě tyto skutečnosti přisuzuje setrvačnosti těles. Ve zrychlujícím se výtahu osoba pozoruje „přetížení“. V případě, že by výtah padal, octnou se osoby i předměty ve stavu snížené gravitace. Kosmonauti na oběžné dráze jsou ve stavu bez tíže, protože jejich družice stále padá na Zemi (viz. obr.)

„Pád“ družice na Zemi při jejím pohybu po kruhové trajektorii.

Síly v rotujících soustavách Na rotující se desce se nachází hmotný bod s hmotností m. Má-li být v nehybné pozici, musí naň působit dostředivá síla Fd = -m ω2 r . To platí ze stanoviska pozorovatele v r inerciální soustavě. Pro pozorovatele v rotující soustavě hmotný bod působí na upevnění silou m S Fo = mω2r . Tuto sílu nazýváme odstředivou.

Hlavní vlastnosti odstředivých sil Odstředivé síly jsou úměrné hmotnosti. Jsou namířeny od středu rotace a jsou úměrné vzdálenosti od středu. Působí i na nehybné hmotné body a tělesa.

Síly Coriolisovy Vyšetříme, jaké síly působí na hmotný bod, který se pohybuje v rotující soustavě. Budeme uvažovat o radiálním pohybu bodu směrem od osy, jak je naznačeno na obrázku. A φ A´ B C B´

Kdyby se deska neotáčela, dospěl by bod z bodu A do bodu B Kdyby se deska neotáčela, dospěl by bod z bodu A do bodu B. Vlivem otáčení se však bod pohybuje po bíle vyznačené křivce. Nedospěje ani do bodu B´ jak by se mohlo jevit při radiální rychlosti. V pozici A má obvodovou rychlost malou a tuto si podrží i při radiálním pohybu. Proto se hmotný bod dostane do bodu C. Z posledních dvou vztahů dostáváme pro zrychlení aC Toto zrychlení se nazývá Coriolisovým. Obecný vztah pro Coriolisovo zrychlení je:

Příslušnou Coriolisovu sílu získáme, když Coriolisovo zrychlení násobíme hmotností hmotného bodu: V je rychlost měřená v rotující soustavě. Hlavní vlastnosti Coriolisovy síly Působí jen na těleso, které má složku rychlosti kolmou na osu otáčení Coriolisovy síly nekonají práci, protože jsou vždy kolmé k rychlosti. Jsou úměrné hmotnosti. 4. Jsou pozorovatelné pouze v rotujících soustavách. Pro pozorovatele v inerciální soustavě je to projev setrvačnosti.

Coriolisovy síly v přírodě a technické praxi Řeky, které tečou na severní polokouli od severu k jihu nebo naopak vymílají pravý břeh a na levém se vytváří písčiny. Pasátní větry jdoucí na sever jsou vychýleny směrem na východ. 3. Vlaky jedoucí na sever nebo na jih více opotřebovávají pravou kolej. 4. Při dělostřelbě vedené severním nebo jižním směrem je na severní polokouli střela odchylována na pravou stranu při pohledu ve směru střelby.

Dynamika soustavy hmotných bodů Uvažujme o soustavě n hmotných bodů, z nichž každý je udán svým radiusvektorem rk a svojí hmotností mk . v1 m1 m2 v2 r1 r2 K určení polohy všech hmotných bodů je třeba znát n polohových vektorů, tj. 3n skalárních souřadnic. mk rk vk O mi vj ri

Říkáme, že soustava n hmotných bodů má 3n stupňů volnosti. Jestliže potřebujeme znát pohybový stav soustavy, musíme udat ještě n vektorů rychlosti. Celkem je k určení pohybového stavu soustavy potřeba 6n skalárních údajů. Obecně platí: Počet skalárních souřadnic nutných k orčení polohy všech hmotných bodů soustavy nazýváme počtem stupňů volnosti. Např. Dva hmotné body, které se mohou pohybovat po dané křivce mají dva stupně volnosti. Tři hmotné body, které se mohou pohybovat po udané ploše mají 6 stupňů volnosti. Pojem počet stupňů volnosti je důležitý nejen v mechanice, ale i ve statistické fyzice a termodynamice.

Hmotný střed soustavy Opět uvažujeme o soustavě n hmotných bodů a vypočítáme celkovou hybnost soustavy. k -tý hmotný bod má hybnost , takže celková hybnost soustavy bude Budeme hledat bod S, který má tu vlastnost, že když do něj soustředíme celou hmotu soustavy a přisoudíme mu příslušnou rychlost, bude mít celkovou hybnost soustavy. To znamená, že musí platit:

Odtud dostáváme po jednoduché úpravě a s ohledem na skutečnost, že hmotnosti všech bodů jsou konstantní: Jestliže dvě funkce mají stejnou derivaci, liší se o konstantu. Zde je konstantní vektor. Položíme-li tento vektor roven nule, dostáváme polohu hmotného středu soustavy.

Ve skalárních souřadnicích máme pro polohu hmotného středu vztahy: Pro hmotný střed platí řada pravidel, z nichž několik uvádíme. 1. Má-li soustava střed symetrie, leží hmotný střed v tomto středu. 2. Má-li soustava osu nebo rovinu symetrie, leží hmotný střed na této ose nebo v této rovině.

3. Soustavu můžeme rozdělit na části, vypočítat polohu hmotného středu každé části a potom počítat s hmotným středem každé části jako s jedním hmotným bodem. Výsledný hmotný střed potom vypočteme pro tuto redukovanou soustavu. Příklad Vypočtěte polohu hmotného bodu rovnostranného trojúhelníka podle obrázku. 3m y 2m m a x

Trojúhelník nakreslete ve vhodném měřítku a zakreslete polohu hmotného středu.

Síly, které působí na soustavu hmotných bodů Fk Fkj rk O rj Fjk Fj

Na k-tý hmotný bod působí síla vnější Fk a výslednice vnitřních sil Na k-tý hmotný bod působí síla vnější Fk a výslednice vnitřních sil . Výsledná síla, která působí na k-tý hmotný bod bude: . Vnitřní síly jsou podle principu akce a reakce namířeny proti sobě a jsou stejně velké.

1. Impulsová věta Vyjádříme pohybovou rovnici pro k – tý hmotný bod: Tyto pohybové rovnice sečteme, takže získáme:

Dvojitý součet na pravé straně předchozího vztahu je nulový, protože podle principu akce a reakce je Proto pro časovou změnu celkového momentu hybnosti obdržíme: Tak přicházíme k formulaci 1.věty impulsové: Časová změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici všech vnějších sil, které na soustavu působí.

To také znamená, že vnitřní síly nemohou změnit pohybový stav soustavy jako celku. Je-li výslednice všech vnějších sil nulová, nemění se výsledná hybnost soustavy. V tomto případě se výsledná hybnost zachovává. Příklad Z děla, které je upevněno na lafetě s koly je vystřelena střela o hmotnosti m . Dělo (bez střely) má hmotnost M. Část energie prachové náplně, která se přemění v mechanickou energii je E. Jaký díl této energie nese střela a jaký dělo? Řešení Před výstřelem byla hybnost soustavy (dělo + střela) nulová. Na soustavu nepůsobí vnější síly (tření zanedbáme), takže se hybnost zachovává. Rychlost střely označíme v , rychlost děla V.

Hybnost před výstřelem se rovná hybnosti po výstřelu. Celková mechanická energie je Z obou těchto vztahů vypočteme kinetickou energii střely Odtud již snadno získáme pro kinetickou energii střely

Střela tedy nese část celkové mechanické energie, která je rovna Podobný rozbor se provádí při výkladu Mössbauerova jevu, kdy část energie uvolněné při přechodu vybuzeného jádra do základního stavu nese gama kvantum a část jádro. Je-li toto jádro součástí krystalu při nízké teplotě, je M → ∞ a gama kvantum si odnáší prakticky celou uvolněnou energii. Může být rezonančně pohlceno jiným stejným jádrem, které se nachází v základním stavu.

2. Impulsová věta Vypočteme nyní moment hybnosti k-tého hmotného bodu vztažený k počátku soustavy souřadnic a jeho časovou derivaci. mk pk Fkj rk d pj F jk O rj mj

První člen na pravé straně je nulový, neboť oba vektory jsou rovnoběžné. Do druhého členu dosadíme ze zákona síly. Provedeme součet pro všechny body soustavy.

Druhý člen v posledním vztahu je nulový, protože síly Mají stejné rameno síly, ale každá má točivý moment na opačnou stranu. Proto se momenty vnitřních sil po dvojicích ruší. Můžeme proto formulovat závěr, kterým je druhá impulsová věta: Časová změna výsledného momentu hybnosti je rovna celkovému momentu vnějších sil. Je-li výsledný moment vnějších sil nulový, zachovává se celkový moment hybnosti soustavy.