Základy infinitezimálního počtu Nevlastní limita Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Ivana Mastíková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Nevlastní limita ve vlastním bodě V předchozích kapitolách jsme se zabývali limitami funkcí, kde funkční hodnotou v daném vlastním bodě (reálné číslo) bylo vždy číslo náležející ose reálných čísel (vlastní limita). Jak ale například určit funkční hodnotu pro x blížící se k nule funkce 𝑓:𝑦= 𝑥 −4 ? Říkáme, že funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 −4 = 1 𝑥 4 má v bodě nula limitu +∞ Na obrázku je graf funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 −4 = 1 𝑥 4 , Df = R - {0}, jestliže zvolíme libovolné reálné číslo b, vždy jsme schopni najít takové  > 0 ,že pro všechna x  (-; ) - {0} je 1 𝑥 4 > b. Zvolíme-li například  = 10 -9 , pak pro všechna x  (- 10 -9; 10 -9) - {0} je 1 𝑥 4 > 10 36 . Čím menší poloměr okolí  zvolíme, tím větší bude funkční hodnota f(x). 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏 𝒙 𝟒 =+∞ Zapisujeme

Nevlastní limita ve vlastním bodě Teď vezměme funkci 𝑓 𝑥 = −𝑥 −4 =− 1 𝑥 4 Pak říkáme: Zvolíme-li opět  = 10 -9, pak pro všechna x  (- 10 -9; 10 -9) - {0} je (− 1 𝑥 4 )< −10 36 . Čím menší poloměr okolí  zvolíme, tím menší bude funkční hodnota f(x). Říkáme, že funkce 𝑓 𝑥 = −𝑥 −4 =− 1 𝑥 4 má v bodě nula limitu −∞ Zapisujeme 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 (− 𝟏 𝒙 𝟒 )=−∞ Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞ , jestliže ke každému číslu b existuje takové  > 0 , že pro všechna x a z okolí (a - ; a + ) bodu a je f(x) > b. Funkce f má v bodě a nevlastní limitu −∞ , jestliže ke každému číslu b existuje takové  > 0 , že pro všechna x a z okolí (a - ; a + ) bodu a je f(x) < b. Zapisujeme: lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =+∞ a lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =−∞

Jednostranné nevlastní limity funkce v bodě Stejně jako pro funkce existují vlastní limity zleva a zprava, tak existuje i nevlastní limita zprava a zleva. Platí: Tato funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥+3 𝑥+1 , Df = R – {-1} jejíž graf je na obrázku není definována v bodě (-1) , ale víme, že pro x < -1 je spojitá zleva a pro x > -1 je spojitá zprava. Vezmeme x z levého okolí bodu (-1), x  (-1 - ; -1), kde  > 0. K bodu (-1) se přiblížíme zleva, funkční hodnota funkce f se bude blížit k −∞. A stejně tak vezmeme x z pravého okolí bodu (-1), x  (-1;-1 + ), pak se funkční hodnota bude blížit +∞ Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞ (−∞) zprava , jestliže ke každému číslu b existuje takové  > 0 , že pro všechna x  (a; a + ) je f(x) > b (f(x) < b). Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞ (−∞) zleva, jestliže ke každému číslu b existuje takové  > 0 , že pro všechna x  (a - ; a) je f(x) > b (f(x) < b).

Nevlastní limity funkce v bodě – příklady Pro funkci 𝑓 𝑥 = 𝑥+3 𝑥+1 se 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ −𝟏 − 𝑥+3 𝑥+1 =−∞ a 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ −𝟏 + 𝑥+3 𝑥+1 =+∞ , pak 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟏 𝑥+3 𝑥+1 neexistuje. Vypočtěte jednostranné limity v bodech, ve kterých nejsou dané funkce definovány: 𝑓 1 :𝑦=𝑥+ 1 𝑥 zobraz postup řešení 𝑓 2 :𝑦= 𝑥+1 𝑥+2 Limita funkce f v bodě a existuje, právě když existují v bodě a limity zprava a zleva a jsou si rovny. Potom se limita funkce f v bodě a rovná hodnotě limit zprava a zleva.

Jednostranné limity v bodě cvičení Vypočtěte limity zprava v bodech nespojitosti: vzor – nekonečno bez mezer 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 3 −1 𝑓(𝑥) = 𝑥+2 𝑥−3 𝑓 𝑥 = 1− 1 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +𝑥+1 𝑥 2 −2𝑥+1

Limita funkce v nevlastním bodě Při řešení průběhu funkce a sestrojení grafu funkce potřebujeme vědět, jak se funkce chová v krajních bodech definičního oboru. Zajímá nás, jak se funkce chová, blíží-li se proměnná k plus nebo mínus nekonečnu. Říkáme, že funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 −4 = 1 𝑥 4 má v nevlastním bodě +∞ limitu nula Na obrázku je opět graf funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 −4 = 1 𝑥 4 , Df = R - {0}. V intervalu 0; +∞ je funkce klesající. Se vzrůstajícím x se funkční hodnota zmenšuje. Roste-li x nade všechny meze, funkční hodnota se blíží k nule. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 𝟒 =𝟎 Zapisujeme

Limita funkce v nevlastním bodě V intervalu −∞;0 je funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 −4 = 1 𝑥 4 rostoucí. Se zmenšujícím se x se funkční hodnota zmenšuje. Blíží-li se x k mínus nekonečnu, funkční hodnota se blíží k nule. Říkáme, že funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 −4 = 1 𝑥 4 má v nevlastním bodě −∞ limitu nula. Zapisujeme 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 𝟒 =𝟎 Funkce f má v nevlastním bodě +∞ limitu b, jestliže ke každému  > 0 existuje takový bod x0, že pro všechna x > x0 patří funkční hodnoty f(x) do okolí (b - ; b + ). Funkce f má v nevlastním bodě −∞ limitu b, jestliže ke každému  > 0 existuje takový bod x0, že pro všechna x < x0 patří funkční hodnoty f(x) do okolí (b - ; b + ). Zapisujeme: lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =𝑏 a lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 =𝑏

Nevlastní limita funkce v nevlastním bodě Kromě limit funkcí v nevlastním bodě existují i nevlastní limity v nevlastním bodě. Platí: Funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , Df = R je v celém definičním oboru rostoucí. Je zřejmé že pro x blížící se k +∞ bude limita funkce +∞ a pro x blížící se k −∞ bude limita funkce −∞ Funkce 𝑓 𝑥 = −𝑥 3 , je klesající a pro x blížící se k +∞ bude limita funkce −∞ a pro x blížící se k −∞ bude limita funkce +∞ Funkce f má v nevlastním bodě +∞ nevlastní limitu +∞ (−∞), jestliže ke každému číslu b existuje takové číslo x0, že pro všechna x > x0 platí f(x) > b (f(x) < b). Funkce f má v nevlastním bodě −∞ nevlastní limitu +∞ (−∞), jestliže ke každému číslu b existuje takové číslo x0, že pro všechna x < x0 platí f(x) > b (f(x) < b).

Nevlastní limity cvičení Vypočtěte limity daných funkcí pro 𝑥→+∞: 𝑓(𝑥) = 2𝑥+3 3𝑥−1 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1 𝑥 2 +1 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 3 +5 𝑥 2 −5 𝑓(𝑥) = 2𝑥+3 𝑥−1 𝑓(𝑥) = 2 2𝑥 2 𝑥 −1 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 +𝑥+1 2𝑥+1

Limita funkce v bodě shrnutí Připomeneme si nové pojmy: V další kapitole se seznámíme s užitím limit při určení asymptot grafu funkce.

Použitá literatura Rektorys, K. Přehled užité matematiky I. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 9788071961802. Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 808584978X. RNDr. Hrubý, D., RNDr. Kubát J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 8071960632. RNDr. Petáková J. Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 8071960993.