Čtyřúhelníky názvosloví rozdělení úhly úhlopříčky osová souměrnost Výukový materiál pro 9.ročník středová souměrnost výšky Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora obvod a obsah - vzorce obvod a obsah - úlohy

Čtyřúhelníky - názvosloví Čtyřúhelníky jsou rovinné útvary, které mají 4 vrcholy, 4 strany a 4 vnitřní úhly vrcholy: A, B, C, D c D C strany: a = AB, b = BC, c = CD, d = AD δ γ vnitřní úhly: α, β, γ, δ dvojice sousedních (vedlejších) vrcholů: AB, BC, CD a DA d b dvojice protějších vrcholů: AC a BD úhlopříčky (spojují protější vrcholy): AC, BD α β a A B dvojice sousedních (vedlejších) stran: AB a BC, BC a CD, CD a DA, DA a AB dvojice protějších stran: AB a CD, BC a AD

Čtyřúhelníky - rozdělení Rovnoběžníky – čtyřúhelníky, které mají obě dvojice protějších stran rovnoběžné a shodné čtverec obdélník kosočtverec kosodélník Lichoběžníky - čtyřúhelníky, které mají právě jednu dvojici protějších stran rovnoběžnou rovnoramenné obecné (různoramenné) pravoúhlé Různoběžníky - čtyřúhelníky, které nemají ani jednu dvojici protějších stran rovnoběžnou obecné deltoidy

Čtyřúhelníky - názvosloví Úloha č.1: Pojmenujte čtyřúhelníky a) b) pravoúhlý lichoběžník c) d) rovnoběžník - kosočtverec obecný různoběžník rovnoběžník - obdélník e) f) g) h) různoramenný (obecný) lichoběžník rovnoramenný lichoběžník rovnoběžník - kosodélník rovnoběžník- čtverec i) j) k) l) rovnoramenný lichoběžník různoběžník - deltoid obecný různoběžník pravoúhlý lichoběžník

Čtyřúhelníky - názvosloví Úloha č.2: Pojmenujte čtyřúhelníky a) b) c) d) rovnoramenný lichoběžník pravoúhlý lichoběžník rovnoběžník - obdélník různoběžník e) f) g) h) různoramenný (obecný) lichoběžník rovnoběžník kosočtverec různoběžník různoběžník - deltoid i) j) k) l) rovnoběžník čtverec rovnoramenný lichoběžník různoběžník rovnoběžník - kosodélník

Součet vnitřních úhlů každého čtyřúhelníku je 360° Úhly ve čtyřúhelníku c D C Součet vnitřních úhlů každého čtyřúhelníku je 360° δ γ d b  +  +  +  = 360° α β a B A

Úhly ve čtyřúhelníku 1) Určete velikost úhlu δ ve čtyřúhelníku ABCD, jestliže α β γ δ A B C D α = 550 β = 880 γ = 1120 δ = ? δ = 3600 – (α + β + γ) = 3600 – (550 + 880 + 1120) δ = 3600 – 2550 = 1050

kosočtverec a kosodélník Úhly v rovnoběžníku čtverec a obdélník kosočtverec a kosodélník D C D C δ γ γ δ α β α β A B A B α = β = γ = δ = 900 α = γ , β = δ α + β = γ + δ = 1800 D C D C δ γ δ γ α β α β A B A B

Úhly v rovnoběžníku 1800 – 1050 = 850 2) Určete velikosti úhlů β, γ, δ v kosočtverci ABCD, jestliže α = 1050 C D δ γ β = γ = δ = 1800 – 1050 = 750 1050 750 α β A B

Úhly v lichoběžníku obecný (různoramenný) pravoúhlý rovnoramenný D C D 1800 – 1050 = 850 obecný (různoramenný) pravoúhlý D C D C δ γ δ γ α β α β A B A B α  β  γ  δ α = δ = 900 β + γ = 1800 C rovnoramenný D δ γ α = β , γ = δ α β A B

Úhly ve čtyřúhelníku 1800 – 1050 = 850 3) Určete velikost úhlů β, γ, δ v rovnoramenném lichoběžníku ABCD, jestliže α = 780 β = γ = δ = 780 D C α β γ δ 1800 – 780 = 1020 1020 A B

Úhly ve čtyřúhelníku 1800 – 1050 = 850 4) Určete velikost úhlu δ v pravoúhlém lichoběžníku ABCD, jestliže α = 760 D C δ = 1800 – 760 = 1040 α δ A B

Úhlopříčky ve čtyřúhelníku 1800 – 1050 = 850 Úhlopříčky ve čtyřúhelníku spojují protější vrcholy Každý čtyřúhelník má 2 úhlopříčky, které se protínají v jednom bodě Úhlopříčky ve čtyřúhelníku mohou mít různé vlastnosti D C A B

Vlastnosti úhlopříček ve čtyřúhel. 1800 – 1050 = 850 1. Shodné úhlopříčky (úhlopříčky stejné délky) čtverec obdélník rovnoramenný lichoběžník

Vlastnosti úhlopříček ve čtyřúhel. 1800 – 1050 = 850 2. Úhlopříčky jsou na sebe kolmé čtverec kosočtverec deltoid

Vlastnosti úhlopříček ve čtyřúhel. 1800 – 1050 = 850 3. Úhlopříčky se navzájem půlí čtverec obdélník kosočtverec kosodélník

Osově souměrné čtyřúhelníky 1800 – 1050 = 850 čtverec obdélník rovnoramenný lichoběžník kosočtverec deltoid

Středově souměrné čtyřúhelníky 1800 – 1050 = 850 S S S S čtverec obdélník kosočtverec kosodélník Střed souměrnosti je v průsečíku úhlopříček

Výšky ve čtyřúhelníku 1800 – 1050 = 850 Výšky ve čtyřúhelníku udávají vzdálenost protějších rovnoběžných stran Výšky v rovnoběžníku rovnoběžníky mají 2 výšky va je výška na stranu a D C va vb je výška na stranu b b vb A B a Výšky ve čtverci a kosočtverci mají stejnou velikost menu

Výšky ve čtyřúhelníku Výšky v lichoběžníku 1800 – 1050 = 850 Výšky v lichoběžníku lichoběžníky mají 1 výšku, která udává vzdálenost základen (rovnoběžných stran) D C v A B a Výšky v obecném čtyřúhelníku obecný čtyřúhelník nemá žádnou výšku menu

Obvod a obsah rovnoběžníku 1800 – 1050 = 850 rovnoběžníky čtverec obdélník C C D D b A B A B a a o = 4 . a o = 2 . (a + b) S = a . a S = a . b

Obvod a obsah rovnoběžníku 1800 – 1050 = 850 rovnoběžníky kosočtverec kosodélník C C D D o = 4 . a va va b A B A B a a o = 2 . (a + b) S = a . va va a

Obvod a obsah lichoběžníku 1800 – 1050 = 850 lichoběžníky c o = a + b + c + d C D b d v (a + c) . v S = A B a 2 c a S = a . va v S = (a + c) . v a c

Obvod a obsah čtyřúhelníku 1) Vypočítejte obvod a obsah kosočtverce ABCD se stranou a = 7 cm a výškou va = 3,5 cm. D C kosočtverec ABCD a = 7 cm va = 3,5 cm o = ? cm S = ? cm2 va = 3,5 cm a = 7 cm B S = a . va o = 4 . a A o = ? cm S = ? cm2 S = 7 . 3,5 o = 4 . 7 S = 24,5 cm2 o = 28 cm Kosočtverce ABCD má obvod 28 cm a obsah 24,5 cm2 .

Obvod a obsah čtyřúhelníku 2) Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD se základnami a = 5 cm a c = 7 cm a výškou va = 3 cm. Lichoběžník ABCD a = 5 cm c = 7 cm v = 3 cm S = ? cm2 D c = 7 cm C d v = 3 cm b A a = 5 cm B (a + c) . v S = S = ? cm2 2 (5 + 7) . 3 S = 2 S = 18 cm2 Obsah lichoběžníku ABCD je 18 cm2 .

Obvod a obsah čtyřúhelníku 3) Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku se základnami 6 cm a 4 cm a rameny velikosti 3 cm. rovnoramenný lichoběžník ABCD základny a = 6 cm c = 4 cm ramena b = d = 3 cm o = ? cm c = 4 cm D C d = 3 cm b = 3 cm o = a + b + c + d A B a = 6 cm o = ? cm o = 6 + 3 + 4 + 3 o = 16 cm Obvod lichoběžníku je 16 cm .

Obvod a obsah čtyřúhelníku 4) Vypočítejte obsah kosodélníku ABCD se stranou b = 5 cm a výškou vb = 4,3 cm. D C kosodélník ABCD b = 5 cm vb = 4,3 cm S = ? cm2 b = 5 cm vb = 4,3 cm S = b . vb S = ? cm2 S = 5 . 4,3 a A B S = 21,5 cm2 Kosodélník ABCD má obsah 21,5 cm2 .

Obvod a obsah čtyřúhelníku 5) Čtverec se stranou 6 cm a kosočtverec se stranou 9 cm mají stejný obsah. Jaká je výška kosočtverce? Sčtverce = Skosočtverce čtverec a = 6 cm kosočtverec a = 9 cm va = ? cm D C D C va = ? A a = 6 cm B A a = 9 cm B Sčtverce = a . a Skosočtverce = a . va Sčtverce = 6 . 6 36 = 9 . va Kosočtverec ABCD má výšku 4 cm Sčtverce = 36 cm2 va = 4 cm

Obvod a obsah čtyřúhelníku 6) Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD (a//c) se základnami 7 cm a 4 cm, jestliže velikosti ramen a velikost menší základny jsou v poměru 3 : 2. rovnoramenný lichoběžník ABCD základny a = 7 cm c = 4 cm ramena b = d = ? cm o = ? cm D c = 4 cm C d b = ? cm o = ? cm A B a = 7 cm b : c = 3 : 2 o = a + b + c + d b : 4 = 3 : 2 o = 7 + 6 + 4 + 6 b = 6 cm o = 23 cm Obvod lichoběžníku je 23 cm .

Obvod a obsah čtyřúhelníku 7) Vypočítejte obvod a obsah obdélníku ABCD, jestliže strana a má velikost 20 cm a strana b je o 20 % větší než strana a D C obdélník ABCD a = 20 cm b … o 20 % větší než a o = ? cm S = ? cm2 b = ? cm o = ? cm S = ? cm2 A B a = 20 cm o = 2.(a + b) S = a . b 20 % z 20 = 4 cm b = 20 + 4 o = 2.(20 + 24) S = 20 . 24 b = 24 cm o = 88 cm S = 480 cm2 Obdélník ABCD má obvod 88 cm a obsah 480 cm2 .

Obsah čtyřúhelníku 8) Určete obsahy čtyřúhelníků ve čtvercové síti a) (7 + 3) . 4 S = 6 . 4 S = 2 S = 24 cm2 S = 20 cm2

Obsah čtyřúhelníku 8) Určete obsahy čtyřúhelníků ve čtvercové síti c) d) (5 + 7) . 3 (8 + 5) . 4 S = S = 2 2 S = 18 cm2 S = 26 cm2

Obsah čtyřúhelníku 23) Určete obsahy čtyřúhelníků ve čtvercové síti g) (4 + 7) . 4 S = S = 5 . 4 2 S = 22 cm2 S = 20 cm2

Obsah čtyřúhelníku 23) Určete obsahy čtyřúhelníků ve čtvercové síti i) j) (5 + 3) . 2 S = 4 . 1 + 4 . 2 S = 5 . 2 + 2 S = 12 cm2 S = 18 cm2

Obsah čtyřúhelníku 23) Určete obsahy čtyřúhelníků ve čtvercové síti k) (7 + 3) . 2 S = 4 . 2 + 4 . 2 S = 7 . 2 + 2 S = 16 cm2 S = 24 cm2

čtyřúhelníky Konec prezentace