Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu: VY_32_INOVACE_1_ROVNICE_13 Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Téma sady: Rovnice Obor, ročník: Ekonomické lyceum a obchodní akademie, 1.,3. a 4. ročník Datum vytvoření: květen 2013 Anotace: Řešení kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou metodou intervalů Metodický obsah: Výklad nového učiva, příklady na procvičení, ve vyšších ročnících k opakování učiva. Prezentace je určena jako podklad pro výklad v hodině, ale i k samostudiu formou e-learningu.

Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Při řešení kvadratických rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou užíváme metodu intervalů, tedy postupujeme obdobně jako při řešení lineárních rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou.

A) Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou Anulováním výrazu v absolutní hodnotě dostaneme „nulový bod“ (případně žádný nebo dva "nulové body“), pomocí kterého (kterých) rozdělíme číselnou osu na jednotlivé intervaly. Na základě definice absolutní hodnoty odstraníme absolutní hodnoty v jednotlivých intervalech a rovnice v nich vyřešíme. Jednotlivá řešení sjednotíme a dostaneme výsledek.

A) Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou Př. 1 Řešte v ℛ: 𝑥 2 − 𝑥+2 =𝑥+13 −2 n. b.: 𝑥=−2 𝐼 1 = −∞;−2 𝐼 2 = −2; ∞ 𝐼 1 = −∞;−2 𝐼 2 = −2; ∞ 𝑥+2 − 𝑥+2 𝑥+2 𝑥 2 + 𝑥+2 =𝑥+13 𝑥 2 − 𝑥+2 =𝑥+13 𝑥 2 +𝑥+2=𝑥+13 𝑥 2 −𝑥−2=𝑥+13 𝑥 2 =11 𝑥 2 −2𝑥−15=0 𝑥 2 − 𝑥+2 =𝑥+13 𝑥 = 11 𝑥−5 𝑥+3 =0 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 5∈ 𝐼 2 a −3∉ 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 − 11 ∈ 𝐼 1 a 11 ∉ 𝐼 1 𝑥 1,2 =± 11 𝑥 1 =5 𝑥 2 =−3 𝒦 1 = − 11 𝒦 2 = 5 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦= − 11 ,5

Př. 2 Řešte v ℛ: 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 nulové body: -2 2 𝑥 2 −4=0 𝑥=−2, 𝑥=2 -2 2 𝑥 2 −4=0 𝑥=−2, 𝑥=2 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;2) 𝐼 3 = 2 ;+∞) 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;2) 𝐼 3 = 2 ;+∞) 𝑥 2 −4 ( 𝑥 2 −4) −( 𝑥 2 −4) ( 𝑥 2 −4) 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 − 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 𝑥 2 −4=3 𝑥 2 − 𝑥 2 +4=3 𝑥 2 stejný výpočet jako v 𝐼 1 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 −2𝑥 2 =4 − 4𝑥 2 =−4 𝑥 2 =−2 𝑥 2 =1 𝒦 1 ={} 𝑥 1 =−1 𝑥 2 =1 𝒦 3 ={} 𝒦 2 = −1;1 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪ 𝒦 3 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑑𝑟𝑢ℎá 𝑚𝑜𝑐𝑛𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑒𝑚ůž𝑒 𝑏ý𝑡 𝑧á𝑝𝑜𝑟𝑛á 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 −1;1∈ 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑑𝑟𝑢ℎá 𝑚𝑜𝑐𝑛𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑒𝑚ůž𝑒 𝑏ý𝑡 𝑧á𝑝𝑜𝑟𝑛á 𝒦= −1;1

B) Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou Při řešení nerovnic s absolutní hodnotou postupujeme obdobně jako při řešení rovnic s absolutní hodnotou. Rozdíl je pouze v tom, že nezjišťujeme, zda kořen patří do daného intervalu, ale zjišťujeme průnik řešení a daného intervalu.

Př. 1 Řešte v ℛ: 𝑥 2 +2𝑥−3 >2𝑥+1 nulové body: 𝑥 2 +2𝑥−3=0 𝑥+3 𝑥−1 =0 𝑥=−3, 𝑥=1 𝐼 1 = −∞;−3 𝐼 2 = −3; 1 𝐼 3 = 1; ∞ -3 1 𝐼 1 = −∞;−3 𝐼 2 = −3; 1 𝐼 3 = 1; ∞ 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3 − 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3>2𝑥+1 −𝑥 2 −2𝑥+3>2𝑥+1 𝑥 2 +2𝑥−3>2𝑥+1 𝑥 2 −4>0 −𝑥 2 −4𝑥+2>0 stejný výpočet jako v 𝐼 1 𝑥−2 𝑥+2 >0 𝑥 2 +4𝑥−2<0 + - + Řešení KN 𝑥 2 +2𝑥−3 >2𝑥+1 -2 2 𝑥∈ −∞; −2 ∪ 2; ∞ 𝑥∈ −2− 6 ,−2+ 6 𝑥∈ −∞; −2 ∪ 2; ∞ 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 3 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 1 -3 -2 2 −2− 6 -3 1 −2+ 6 -2 2 1 𝒦 1 = −∞; −3 𝒦 2 = −3 ; −2+ 6 𝒦 3 = 2; ∞ 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪ 𝒦 3 𝒦=(−∞; −2+ 6 ∪ 2; +∞

Př. 2 Řešte v ℛ: 𝑥 2 −2𝑥+5 ≥2 𝑥 2 −3 nulové body: 𝑥 2 −2𝑥+5=0 D<0, proto nemá rovnice žádné řešení v ℛ 𝑥 1,2 = 2± −2 2 −4∙1∙5 2∙1 = 2± −16 2 nulové body neexistují číselná osa je jediným intervalem 𝐼= −∞;∞ 𝐼= −∞;∞ 𝑥 2 −2𝑥+5 𝑥 2 −2𝑥+5 𝑥 2 −2𝑥+5 ≥2 𝑥 2 −3 𝑥 2 −2𝑥+5≥2 𝑥 2 −3 po dosazení libovolného čísla z 𝐼 dostáváme kladný výsledek, a proto před kulatou závorku píšeme pomyslné + −𝑥 2 −2𝑥+8≥0 𝑥 2 +2𝑥−8≤0 𝑥−2 𝑥+4 ≤0 + - + -4 2 𝒦= −4,2

Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Procvičování: Řešte v ℛ: x+2 + x−2 = 𝑥 2 +4 𝑥 2 −2x+2 =17 1− 𝑥 2 ≤ 1 2 𝑥+1 5−6x+ 𝑥 2 >0 Výsledky: 𝒦={0} 𝒦={−3;5} 𝒦={−1}∪ 1 2 ; 3 2 𝒦=ℛ∖{1;5}

Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Zdroje, autorská práva HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011. ISBN 978-807-1963-189 CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Všechny neocitované kliparty jsou součástí prostředků MS Office. „Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.“