DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0969 Název školy Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64 Název materiálu Důkazy matematických vět, které mají tvar implikace. Autor Michala Pfefrčková Tematický okruh Základní poznatky z matematiky Ročník První Datum tvorby 12.11.2012 Anotace Prezentace slouží k osvojení a procvičení dokazování vět ve tvaru implikace. Metodický pokyn Prezentace je určena jako výklad do hodiny i jako materiál k samostudiu. Možnosti využití: promítání, práce jednotlivců nebo dvojic u PC Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora

Základní poznatky z matematiky Důkazy matematických vět, které mají tvar implikace

Důkazy matematických vět, které mají tvar implikace přímý důkaz důkaz sporem nepřímý důkaz

A. Přímý důkaz Dokazujeme výrok ve tvaru p ⇒ q. Předpokládáme, že platí výrok p , vystavím od výroku řetězec implikací (cestu) k výroku q. Schéma: předpokládáme: platí p dokážeme: platí (p ⇒ p1)∧ (p1 ⇒ q) závěr: platí p ⇒ q

Úkol - dokažte, že platí: ∀n ∈ N: 2|n ⇒ 2|n2 Přímý důkaz: předpokládáme, že n je dělitelné 2, tedy lze ho zapsat ve tvaru n = 2k dokazujeme: pokud je n = 2k, potom n2 = (2k)2 = 4k2 = 2‧(2k2) n2 je dělitelné 2 □

B. Důkaz sporem Dokazujeme výrok ve tvaru p ⇒ q. Vytvořím negaci požadovaného výroku ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q . Pravdivě z negace výroku dokazuji, až dojdu k nesmyslnému výroku z. Schéma: předpokládáme: platí p ∧ ¬q dokážeme: platí (p ∧ ¬q) ⇒z závěr: neplatí z (SPOR) ↯

↯ Úkol - dokažte, že platí: ∀n ∈ N: 2∤n3 ⇒ 4∤n Důkaz sporem: místo výroku ∀n ∈ N: 2∤n3 ⇒ 4∤n dokazujeme jeho negaci, tedy ∃n ∈ N: 2∤n3 ∧ 4|n 2∤n3 → n3 ≠ 2k 4|n → n = 4l tedy n3 = (4l)3 = 64l 3 = 2‧(32l 3) ↯

C. Nepřímý důkaz Dokazujeme výrok ve tvaru p ⇒ q. Vytvořím obměněnou implikaci požadovaného výroku (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p). Předpokládáme, že platí výrok ¬q , vystavím od výroku řetězec implikací (cestu) k výroku ¬p. Schéma: předpokládáme: platí ¬q dokážeme: platí (¬q ⇒ ¬q 1)∧ (¬q 1 ⇒ ¬p) závěr: platí ¬q ⇒ ¬p, tj. platí p ⇒ q

□ Úkol - dokažte, že platí: ∀n ∈ N: 2∤n3 ⇒ 4∤n Nepřímý důkaz: místo výroku ∀n ∈ N: 2∤n3 ⇒ 4∤n dokazujeme jeho obměněnou implikaci, tedy ∀n ∈ N: 4|n ⇒ 2|n3 4|n → n = 4k tedy n3 = (4k)3 = 64k 3 = 2‧(32k 3) □

Nápověda – nepřímý důkaz. Dokažte následující tvrzení: Nápověda – přímý důkaz. Nápověda – přímý důkaz. Nápověda – nepřímý důkaz.

□ Má-li být výraz dělitelný 6, musíme nalézt dělitelnost 2 a 3. Řešení: Přímý důkaz: □ Má-li být výraz dělitelný 6, musíme nalézt dělitelnost 2 a 3. Dělitelnost 3 → 3k(k-1) Dělitelnost 2 → je-li k sudé, je celý výraz dělitelný 2; je-li k liché, potom je člen (3k – 1) sudý a tedy celý výraz 3k(k-1) je dělitelný 2.

Řešení: Přímý důkaz: □

□ Řešení: Nepřímý důkaz: dokazujeme výrok ve tvaru: ∀n ∈ N: 5∤n ⇒ 5∤n2 platí-li 5∤n, potom n nabývají tvaru: □

Zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 608 s. ISBN 80-85849-78-x. BUŠEK, Ivan, Leo BOČEK a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky z matematiky. Dot. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 165 s. ISBN 80-85849- 34-8.