Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lubomíra Moravcová Název materiálu: VY_32_INOVACE_7_PLANIMETRIE_A_STEREOMETRIE_14 Čtyřúhelníky Téma sady: Planimetrie a stereometrie Obor, ročník: Ekonomické lyceum, Obchodní akademie, Sociální činnost, Veřejnosprávní činnost, 1.–4. ročník Datum vytvoření: březen 2013 Anotace: Základní rozdělení čtyřúhelníků a jejich popis Metodický obsah: Dělení čtyřúhelníků, jejich základní charakteristika, obvod a obsah

Co je čtyřúhelník rovinný geometrický útvar mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami součet velikostí vnitřních úhlů = 360° (2π) lze jej úhlopříčkou rozdělit na dva trojúhelníky

Obvod a obsah Obvod čtyřúhelníku o stranách a, b, c, d je roven 𝑜=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=2𝑠 kde s je poloviční obvod, vyskytující se v dalších vzorcích Obsah čtyřúhelníku je roven 𝑆= 1 2 𝑒𝑓 sin 𝜑 kde e, f jsou délky úhlopříček a φ je (libovolný) úhel, který svírají

Druhy čtyřúhelníků Obr. 1 Čtyřúhelníky

Dělení čtyřúhelníků Mohou být konvexní (vypuklé) nebo nekonvexní (duté) Konvexní čtyřúhelníky: různoběžník – žádné dvě protilehlé strany nejsou rovnoběžné rovnoběžník (kosodélník) – dvě a dvě protilehlé strany jsou rovnoběžné obdélník – všechny vnitřní úhly jsou pravé kosočtverec – všechny strany mají stejnou délku čtverec – všechny strany mají stejnou délku a všechny vnitřní úhly jsou pravé lichoběžník – jeden pár protilehlých stran je rovnoběžný deltoid – dvě dvojice vzájemně přiléhajících stran mají stejnou velikost

Rovnoběžník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly – jejich součet je 360° z rovnoběžnosti protilehlých stran plyne, že velikost protilehlých stran je stejná velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost úhlopříčky se vzájemně půlí ∙ hb D c C γ δ f ha d b e θ β α ∙ Obr. 2 Rovnoběžník A a B

Čtverec pravidelný čtyřúhelník všechny vnitřní úhly jsou shodné protilehlé strany jsou rovnoběžné všechny strany jsou shodné, všechny vnitřní úhly jsou pravé úhlopříčky čtverce jsou shodné a navzájem kolmé, půlí jeho úhly i sebe navzájem čtverci lze jakožto pravidelnému mnohoúhelníku opsat i vepsat kružnici, je to zároveň tětivový čtyřúhelník i tečnový čtyřúhelník

Obvod a obsah čtverce 𝑜=4𝑎 𝑆= 𝑎 2 𝑢=𝑎 2 poloměr kružnice opsané 𝑢=𝑎 2 poloměr kružnice opsané 𝑟 1 = 𝑢 2 poloměr kružnice vepsané 𝑟 2 = 𝑎 2 u r1 a r2 a Obr. 3 Čtverec

Obdélník 𝑢= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑜=2𝑎+2𝑏 𝑆=𝑎𝑏 je rovnoběžník, který má všechny úhly pravé vzájemně protilehlé strany jsou rovnoběžné a mají shodnou délku úhlopříčky obdélníka se půlí a jsou stejně dlouhé lze mu sestrojit kružnici opsanou a nelze sestrojit kružnici vepsanou středově souměrný podle průsečíku úhlopříček v obecném případě je osově souměrný podle dvou os Obsah a obvod obdélníka 𝑢= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑜=2𝑎+2𝑏 𝑆=𝑎𝑏 B A C D ∙ Obr. 4 Obdélník

Kosočtverec rovnostranný rovnoběžník má všechny strany stejně dlouhé jeho strany nesvírají pravý úhel má dvě úhlopříčky jeho úhlopříčky jsou na sebe kolmé má dvě osy souměrnosti lze vepsat kružnici ∙ A B C D ∙ A B C D Obr. 5 Kosočtverec 1

Obvod a obsah kosočtverce vypočítá se stejně jako u čtverce, protože má všechny strany stejně dlouhé kde u1, u2 jsou délky úhlopříček a je délka strany kosočtverce α je úhel mezi přilehlými stranami va je výška kosočtverce 𝑆= 𝑢 1 𝑢 2 2 = 𝑎 2 sin 𝛼 𝑜=4𝑎 𝑆=𝑎∙ 𝑣 𝑎 a∙sinα1 α1 α2 a Obr. 6 Kosočtverec 2

Lichoběžník Obsah lichoběžníka 𝑆= 𝑎+𝑐 ∙𝑣 2 je čtyřúhelník, který má právě jednu dvojici rovnoběžných stran vzájemně rovnoběžné strany se nazývají základny a zbývající dvě různoběžné strany ramena úhlopříčky obecného lichoběžníku se navzájem nepůlí mají-li ramena stejnou velikost, tzn. rovnoramenný lichoběžník Obsah lichoběžníka 𝑆= 𝑎+𝑐 ∙𝑣 2 c D C d v b ∙ A B a Obr. 7 Lichoběžník

Deltoid osově souměrný podle hlavní a vedlejší úhlopříčky jeho úhlopříčky jsou navzájem kolmé hlavní úhlopříčka dělí deltoid na dva shodné trojúhelníky vedlejší na dva rovnoramenné trojúhelníky, mající tvar řeckého písmene delta, odtud název lze vždy vepsat kružnici je to tečnový čtyřúhelník Obsah ∙ 𝑆= 1 2 𝑒𝑓 Obr. 8 Deltoid

Zdroje Obr. 1: Čtyřúhelníky. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2011 [cit. 2013-03-20]. Dostupné z: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Klasifikace_%C4%8Dty%C5%99%C3%BAheln%C3%ADk%C5%AF.png Všechny neocitované grafické objekty jsou součástí MS Office. Autor: Mgr. Lubomíra Moravcová Název díla: Čtyřúhelníky Datum vzniku: březen 2013 Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Tato prezentace je autorským dílem.