Základy infinitezimálního počtu Spojitost funkce okolí bodu Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Ivana Mastíková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Spojitost funkce Základním objektem zkoumání infinitezimálního počtu je funkce a její vlastnosti v bodě, na množině, v intervalu. Pojem spojitost funkce si nejdříve přiblížíme intuitivně. Vše, co je spojité, si představujeme jako nepřerušované, plynulé, nedělené. Nespojité jako přerušené, rozdělené. Než si tento předpoklad dokážeme, musíme se nejdříve naučit zkoumat vlastnosti funkce v bodě, na množině a v intervalu. Nejdříve budeme zkoumat chování funkce v nejbližším okolí určitého bodu.

Spojitost funkce okolí bodu Pro přesnější popis chování funkce v určitém bodu si zavedeme nový pojem okolí bodu. Okolím bodu a nazýváme otevřený interval (a-,a+), kde  je kladné reálné číslo. Číslo a nazýváme střed okolí a číslo  poloměr okolí. Například mějme okolí U1(2), Jestliže střed okolí do daného intervalu nepatří, pak mluvíme o redukovaném okolí. Například okolí 0 < x - 2 < 1 je interval (1;3) – {2} . Značíme U(a), a čteme okolí bodu a o poloměru  pak a = 2,  = 1  a-  = 1 a a+  = 3   1 2 3 Jak názorně vidíme, pohybují se v intervalu (1; 3), tedy 1< x < 3  Co platí pro všechna x, která tvoří  okolí bodu 2? Vzdálenost každého bodu x z  okolí bodu a od středu okolí je menší než  a -  < x < a +  tj. x - a < 

Spojitost funkce – okolí bodu cvičení 1 Pomocí intervalů zapište  okolí bodů -4; 0; 2; x pro  = 0,2 – vzor(a;b)

Spojitost funkce – okolí bodu cvičení 2 Pomocí nerovnic s proměnnou x R zapište  okolí bodů -2; 0; 3 pro  = 0,5 Podle vzoru a- < x < a+ Hledali jsme všechny hodnoty x z oboru reálných čísel, pro které platilo, že jejich maximální vzdálenost od daného bodu byla menší než 0,5. Určili jsme okolí o poloměru 0,5 se středem v daném bodě.

Spojitost funkce – okolí bodu cvičení 3 Pro x R zapište okolí bodu a; určete a a poloměr okolí . Vzor – (c;d);a; Ve třetím a čtvrtém příkladu se jedná o redukované okolí, tedy okolí, které neobsahuje střed.

Spojitost funkce – okolí bodu Dále definujeme levé a pravé okolí bodu jako intervaly uzavřené zprava a zleva. Levým okolím bodu a nazýváme interval uzavřený zprava (a-,a, kde  je kladné reálné číslo. Levé okolí bodu a tvoří všechna x R, která vyhovují nerovnostem a- < x  a Pravým okolím bodu a nazýváme interval uzavřený zleva a; a +), kde je kladné reálné číslo. Pravé okolí bodu a tvoří všechna x R, která vyhovují nerovnostem a x <a +   a -  a  a a + 

Spojitost funkce přírůstek argumentu Jak již víme z kapitoly vlastnosti funkce, proměnnou x funkce f(x) nazýváme argument funkce. Máme dánu funkci f(x), která je definovaná v okolí bodu a. Pro každé x  U(a) platí |x - a|<  . x = x – a nazýváme přírůstek argumentu funkce. Pro x > a je x > 0 Pro x < a je x < 0 f(x) f x a x x  

Spojitost funkce přírůstek funkce Pro stejnou funkci teď určíme funkční hodnotu v bodě a a v bodě x. Rozdíl funkčních hodnot f(x) – f(a) nazýváme přírůstek funkce v bodě a odpovídající přírůstku x argumentu. Označujeme y = f(a+x) – f(a) nebo-li y = f(x) – f(a) f(x) f f(x) y f(a) x a x x  

Spojitost funkce přírůstek funkce – cvičení Cvičení: Vyjádřete přírůstek funkce y = x3 - 1 v bodě a, a určete jeho hodnotu pro dané x = 0,5 : Návod: Vyjádřete přírůstek funkce y = x2 v bodě a, a určete jeho hodnotu pro a = 1, je-li x = 0,1.  y = f(a + x) – f(a) = (a + x)2 – a2  y = (1 + 0,1)2 – 12 = 0,21

Spojitost funkce okolí bodu shrnutí V této kapitole jsme si zavedli nové pojmy: Všechny tyto pojmy potřebujeme k zavedení další vlastnosti funkce, a to spojitosti funkce v bodě a v intervalu, se kterou se seznámíme v další kapitole.

Použitá literatura Rektorys, K. Přehled užité matematiky I. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 9788071961802. Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 808584978X. Doc. RNDr. Odvárko, O. DrSc. Matematika pro gymnázia – Funkce. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1996. ISBN 8085849097.