Základy infinitezimálního počtu Derivace složené funkce

Derivace složených funkcí V úlohách z praxe musíme řešit nejen derivace elementárních funkcí, ale i derivace funkcí z elementárních funkcí složených. Připomeneme si složené funkce z kapitoly základní vlastnosti funkce: Například: Jsou dány funkce f: y = 2x + 3 a g: y = sin x. Najděte funkce h = f ○ g, k = g ○ f (znak ○ značí funkce složená s funkcí). 1) h(x) = f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 = 2sinx + 3; D(h) = R v tomto případě je funkce f funkcí vnější a funkce g je funkcí vnitřní. 2) k(x) = g(f(x)) = sin(f(x)) = sin(2x + 3); D(k) = R pro funkci k platí, že funkce g je funkce vnější a funkce f je funkce vnitřní. Rozeznat v zápisu funkce, která funkce je vnější a která vnitřní je pro pochopení derivace složené funkce velmi důležité.

Derivace složených funkcí cvičení 1 Rozhodněte, která funkce je v zápisu daných složených funkcí funkce vnitřní: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝑥+1 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛 𝑥 2 −1 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +4𝑥 𝑓 𝑥 =𝑡𝑔 log 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛 3𝑠𝑖𝑛𝑥+8

Derivace složených funkcí Definice derivace složené funkce Derivace složené funkce y = f(z), kde z = g(x), v bodě x0 je tedy součin derivace vnější funkce f(z), podle z v bodě z0 = g(x0) a hodnoty derivace vnitřní funkce g(x) podle x v bodě x0. Příklad1: Vypočtěte derivaci dané funkce v libovolném bodě definičního oboru: 𝑦= 𝑥 5 +2𝑥+1 7 Jestliže funkce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a jestliže funkce y = f(x) má derivaci v bodě z0 = g(x0), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí: 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓 ´ 𝑔 𝑥 0 ∙ 𝑔 ´ 𝑥 0 . zobrazit postup řešení

Derivace dalších elementárních funkcí Někdy je funkce složená ze tří a více funkcí. Pak složenou funkci f(g(h(x))) derivujeme stejně jako funkci složenou ze dvou funkcí. y = f(z), kde z = g(u), u = h(x) a derivujeme podle vzorce: 𝑓 𝑔 ℎ(𝑥) ´ =𝑓´ 𝑧 ∙𝑔´ 𝑢 ∙ℎ´ 𝑥 = 𝑓 ´ 𝑔 ℎ(𝑥) ∙ 𝑔 ´ ℎ 𝑥 ∙ℎ´(𝑥). Příklad2: Vypočtěte derivaci dané funkce v libovolném bodě definičního oboru: 𝑦= 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 −3𝑥 𝑦= 2 𝑥 3 −1 +2 8 zobrazit postup řešení

Derivace elementárních funkcí cvičení 2 Vypočtěte derivace daných funkcí v libovolném bodě definičního oboru: vzor – (5/x)cos(tgx) je 5 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝑥+1 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛 𝑥 2 −1 𝑓 𝑥 =𝑥+ 𝑒 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑠𝑖𝑛 l𝑛 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛 3𝑠𝑖𝑛𝑥−8

Derivace funkce shrnutí Připomeneme si nové pojmy: V příští kapitole se naučíme pomocí derivací vyšetřit průběh funkce.

Použitá literatura Rektorys, K. Přehled užité matematiky I. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 9788071961802. Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 808584978X. RNDr. Hrubý, D., RNDr. Kubát J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 8071960632. RNDr. Petáková J. Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 8071960993.