DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0969 Název školy Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64 Název materiálu Logické spojky – implikace, ekvivalence Autor Michala Pfefrčková Tematický okruh Základní poznatky z matematiky Ročník První Datum tvorby 1.11.2012 Anotace Prezentace slouží k osvojení a procvičení výroků s logickými spojkami implikace a ekvivalence. Metodický pokyn Prezentace je určena jako výklad do hodiny i jako materiál k samostudiu Možnosti využití: promítání, práce jednotlivců nebo dvojic u PC Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora

Základní poznatky z matematiky Logické spojky – implikace, ekvivalence

Implikace ⇒ „z toho plyne“, „jestliže – pak“ !!! záleží na pořadí výroků – mění se jak význam výroku, tak často i pravdivostní ohodnocení Výroky: A. Dnes pršelo v Praze. B. Dnes byly některé pražské chodníky mokré. Složený výrok: A ⇒ B Jestliže dnes v Praze pršelo, pak byly dnes některé pražské chodníky mokré. B ⇒ A (jiný význam, nová pravdivostní hodnota) Jestliže byly dnes některé pražské chodníky mokré, pak v Praze dnes pršelo.

pravdivostní tabulka: p(A) p(B) p(A ⇒ B) 1 je-li výrok ve tvaru A ⇒ B, potom výrok A se nazývá předpoklad implikace a výrok B se nazývá závěr (tvrzení implikace)

Učil(a) jsi se – nepropadneš Učil(a) jsi se – propadl(a) jsi Výrok: Budeš-li se učit, nepropadneš z matematiky. p(A) p(B) p(A ⇒ B) 1 Učil(a) jsi se – nepropadneš -> mám pravdu Učil(a) jsi se – propadl(a) jsi - > lžu Neučil(a) jsi se – nepropadneš -> mám pravdu, tahle možnost nebyla ve výroku zahrnuta Neučil(a) jsi se – propadneš -> mám pravdu, tahle možnost nebyla ve výroku zahrnuta

Rozhodněte, zda je pravdivý výrok: Jestliže je tráva zelená, pak beruška je modrá. řešení: jedná se o složený výrok typu A ⇒ B A: Tráva je zelená. [p(A) = 1] B: Beruška je modrá. [p(B) = 0] p (A ⇒ B) = 0

Řešení: 1 1 p(A) p(B) p(¬B) p(¬A) p(A ⇒ B) p(¬B ⇒¬A) 1 Dokažte pomocí pravdivostní tabulky, že stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok A ⇒ B má výrok ¬B ⇒ ¬A. Řešení: p(A) p(B) p(¬B) p(¬A) p(A ⇒ B) p(¬B ⇒¬A) 1 1 1

Obměněná implikace p(A) p(B) p(¬B) p(¬A) p(A ⇒ B) p(¬B ⇒¬A) 1 obměněná implikace k implikaci A ⇒ B je implikace ve tvaru ¬B ⇒ ¬A Platí: Z pravdivosti implikace A ⇒ B vyplývá pravdivost obměněné implikace ¬B ⇒ ¬A ! p(A) p(B) p(¬B) p(¬A) p(A ⇒ B) p(¬B ⇒¬A) 1

řešení: „ Jestliže hladina Vltavy v ČB nestoupá, pak v ČB neprší.“ př.: Utvořte obměněnou implikaci k výroku: „Jestliže v Českých Budějovicích prší, pak hladina Vltavy v ČB stoupá.“ řešení: „ Jestliže hladina Vltavy v ČB nestoupá, pak v ČB neprší.“ obecně: původní výrok byl pravdivý, výrok k němu obměněný je také pravdivý!

Obrácená implikace 1 1 p(A) p(B) p(A ⇒ B) p(B ⇒A) 1 obrácená implikace k implikaci A ⇒ B je implikace ve tvaru B ⇒ A Platí: Z pravdivosti implikace A ⇒ B nevyplývá pravdivost obrácené implikace B ⇒ A! př.: vytvořte pravdivostní tabulku pro implikaci a implikaci obrácenou: p(A) p(B) p(A ⇒ B) p(B ⇒A) 1 1 1

řešení: „Jestliže hladina Vltavy v ČB stoupá, pak v ČB prší.“ př.: Utvořte obrácenou implikaci k výroku: „Jestliže v Českých Budějovicích prší, pak hladina Vltavy v ČB stoupá.“ řešení: „Jestliže hladina Vltavy v ČB stoupá, pak v ČB prší.“ obecně: původní výrok byl pravdivý, výrok k němu obrácený může, ale nemusí být pravdivý!

Ekvivalence ⇔ Výroky: A. Ludolfovo číslo je iracionální. „právě když“, „právě tehdy, když“, „je ekvivalentní s“, „tehdy a jen tehdy když“ Výroky: A. Ludolfovo číslo je iracionální. B. Ludolfovo číslo nelze zapsat zlomkem. Složený výrok: A ⇔ B Ludolfovo číslo je iracionální právě tehdy, když nelze zapsat zlomkem.

pravdivostní tabulka: p(A) p(B) p(A ⇔ B) 1 1 Ekvivalence je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé nebo když jsou oba výroky nepravdivé.

Řešení: A B A ⇒ B B ⇒A A ⇒ B ∧ B ⇒ A A⇔B 1 1 1 1 1 ekvivalence odpovídá výroku A ⇒ B ∧ B ⇒ A př.: sestavte pravdivostí tabulku a dokažte, že výrok tvaru A ⇒ B ∧ B ⇒ A má stejné pravdivostní ohodnocení jako A ⇔ B Řešení: A B A ⇒ B B ⇒A A ⇒ B ∧ B ⇒ A A⇔B 1 1 1 1 1

Zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 608 s. ISBN 80-85849-78-x. BUŠEK, Ivan, Leo BOČEK a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky z matematiky. Dot. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 165 s. ISBN 80-85849- 34-8.