Výroková logika.

Prezentace na téma: "Výroková logika."— Transkript prezentace:

1 Výroková logika

2 Výstavba matematické teorie
Definice – zavedení nového matematického pojmu Věta – pravdivý výrok, který lze dokázat Důkaz – logické odvození věty

3 Výroky Číslo 6 je sudé. Je 1 prvočíslo? Vydělte číslo 157 číslem 14!
Číslo 6 je prvočíslo.

4 Pravdivostní hodnota výroků
Pravdivý výrok p(V) = 1 Nepravdivý výrok p(V) = 0

5 Negace

6 Příklady x = 5 x  3 Číslo 6 je sudé. Písmo má velikost 12b. x  5
Číslo 6 není sudé. Číslo 6 je liché. Písmo nemá velikost 12b.

7 Logické spojky A a NEBO A B AB AB 1 1 1 1 1

8 EKVIVALENCE a IMPLIKACE
B AB AB 1 1 1 1 1 1

9 Součin je záporný právě tehdy když jeden činitel je kladný a druhý záporný

10 Jestliže vynásobím dvě kladná čísla, pak součin je kladný

11 Tautologie (kontradikce) A(B (AB))
1 1 1 1 1 1 1 1

12 Negace konjunkce (A  B)  (A  B)
Deset je dělitelné dvěma a pěti. Deset není dělitelné dvěma nebo není dělitelné pěti.

13 Negace konjunkce (A  B)  (A  B)

14 Negace disjunkce (A  B)  (A  B)
Deset je dělitelné dvěma nebo pěti. Deset není dělitelné dvěma a není dělitelné pěti.

15 Negace implikace (A  B)  (A  B)
Jestliže je deset dělitelné dvěma pak je dělitelné pěti. Deset je dělitelné dvěma a není dělitelné pěti.

16 Negace ekvivalence (A  B)  ((A  B)  (A  B))
Deset je dělitelné dvěma právě tehdy, když je dělitelné pěti. Deset je dělitelné dvěma a není dělitelné pěti nebo deset není dělitelné dvěma a je dělitelné pěti.

17 Uveďte nutné a postačující podmínky pro to, aby číslo bylo dělitelné 12.
Číslo je sudé Číslo je dělitelné 4 Číslo je dělitelné 3 a 4 Postačující Číslo je dělitelné 24 Číslo je dělitelné 3 a 4 Číslo je dělitelné 120

18 Podmínka nutná a postačující
P  T je pravdivá Jestliže je celé číslo dělitelné 6, pak je toto číslo sudé. P je podmínka postačující pro T T je podmínka nutná pro P

19 Matematická věta tvaru implikace P  T
Jestliže je celé číslo dělitelné 6, pak je toto číslo sudé. Obměněná: T  P Jestliže celé číslo není sudé, pak toto číslo není dělitelné 6. Obrácená: T  P Jestliže je celé číslo sudé, pak je toto číslo dělitelné 6.

20 Výrokové formy přirozené číslo x je prvočíslo
x2 – y2 > 4 (x, y  R) Číslo x je dělitelné třemi (x  N) Číslo x dělí číslo y (x  N) x2 – y2 (x, y  R)

21 Přirozené číslo x je prvočíslo
Výroková forma  výrok Přirozené číslo x je prvočíslo Dosazením konstanty z příslušné množiny za proměnnou Použitím kvantifikátoru (udáme počet konstant, pro které výrok platí)

22 Kvantifikátory každé přirozené číslo x je prvočíslo
právě jedno přirozené číslo x je prvočíslo alespoň jedno přirozené číslo x je prvočíslo nejvýše jedno přirozené číslo x je prvočíslo nejvýše čtyři přirozená čísla x jsou prvočísla

23 Obecný kvantifikátor  pro každý prvek z příslušné množiny
Pro každé reálné číslo x platí x2 – 4x + 7 > 0 xR: x2 – 4x + 7 > 0

24 Existenční kvantifikátor
Existuje aspoň jeden prvek z příslušné množiny  Existuje reálné číslo x, pro které platí x = 0 xR: x = 0

25 Negace obecného kvantifikátoru
xR: x2  0 xR: x2 < 0

26 Negace existenčního kvantifikátoru
xR: x2 = 0 xR: x2  0

27 Pro každé reálné číslo x platí x2 – 4x + 7 > 0.
xR: x2 – 4x + 7 > 0 xR: x2 – 4x + 7  0

28 Existuje reálné číslo x, pro které platí x  = 0.
xR: x  = 0 xR: x   0

29 Negace dalších kvantifikátorů
žádný ne každý alespoň jeden alespoň jeden ne

30 Negujte výroky: Každé přirozené číslo x je prvočíslo.
Žádné přirozené číslo x není prvočíslo. Alespoň jedno přirozené číslo x není prvočíslo. Alespoň jedno přirozené číslo x je prvočíslo.

31 Negace dalších kvantifikátorů
nejvýše jeden alespoň tři právě tři alespoň dva nejvýše dva nejvýše dva nebo alespoň čtyři

32 Negujte výroky: Právě jedno přirozené číslo x je prvočíslo.
Alespoň jedno přirozené číslo x je prvočíslo. Nejvýše jedno přirozené číslo x je prvočíslo. Žádné nebo alespoň dvě při-rozená čísla jsou prvočísla. Žádné přirozené číslo x není prvočíslo. Alespoň dvě přirozená čísla jsou prvočísla.

33 Definiční obor výrokové formy
x  0 x  R 1/x > 0 x  R \ {0}

34 Obor pravdivosti výrokové formy
x  0 x  R \ {0} 1/x > 0 x  (0,)