Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Rovnice s faktoriálem VY_32_INOVACE_M4r0104 Mgr. Jakub Němec

Rovnice s faktoriálem Úprava faktoriálu, která byla předmětem jedné z minulých lekcí, je podstatnou součástí při řešení kombinatorických úloh. Jak už je v matematice zvykem, ani kombinatorika se nevyhne příkladům, které lze řešit pouze pomocí rovnice s neznámou. Na následujících stránkách jsou zadány rovnice, jejichž řešením si upevníme nejen úpravu výrazů s faktoriálem, ale zároveň poznáme, jak se rovnice s faktoriálem řeší.

Určete neznámou k v rovnici. Nejdříve se zbavíme zlomku. Poté převedeme čísla s faktoriálem na jednu stranu. Upravíme faktoriál a zkrátíme. Dořešíme jako klasickou lineární rovnici. Pro některé zkušenější řešitele může být postup zdlouhavý, proto mohou převést všechna čísla okamžitě na druhou stranu a ponechat na druhé straně pouze neznámou. 102! 2 =3∙𝑘∙99! /∙2 102!=6∙𝑘∙99! /:99! 102! 99! =6∙𝑘 102∙101∙100∙99! 99! =6∙𝑘 /:6 102∙101∙100 6 =𝑘 𝒌=𝟏𝟕𝟏𝟕𝟎𝟎

𝑛+3 !=42∙ 𝑛+1 ! /: 𝑛+1 ! 𝑛+3 ! 𝑛+1 ! =42 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ! 𝑛+1 ! =42 Určete neznámou 𝑛∈ℕ v rovnici. Nejprve převedeme výrazy s faktoriálem na jednu stranu, abychom je mohli upravit. Je nutné určit podmínku (dělíme výrazem s neznámou!). Poté upravíme zlomek s výrazy s faktoriálem. Dále řešíme jako kvadratickou rovnici (postup si volí řešitel sám, zde jsou použity vztahy Viètových vzorců). První kořen neodpovídá podmínce rovnice, ani podmínce faktoriálu. Druhý kořen plní podmínky, je tedy kořenem rovnice. 𝑛+3 !=42∙ 𝑛+1 ! /: 𝑛+1 ! 𝑛≥−1 ∧ 𝑛∈ℕ= 𝑛∈ℕ 𝑛+3 ! 𝑛+1 ! =42 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ! 𝑛+1 ! =42 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 =42 𝑛 2 +5𝑛−36=0 𝑛+9 ∙ 𝑛−4 =0 𝑛 1 =−9 𝒏 𝟐 =𝟒

Určete neznámou n rovnice. Nejprve určíme podmínku řešení. Upravíme zlomky s výrazy s faktoriálem. Poté řešíme jako rovnici s neznámou ve jmenovateli, což vede ke kvadratické rovnici. Při řešení rovnice je využito vztahu mezi kořeny, který zjednodušeně nazýváme diskriminant. První kořen neodpovídá podmínce rovnice, ani faktoriálu, není tedy kořenem rovnice. Druhý kořen splňuje podmínky, je tedy kořenem rovnice. 𝑛+3 ! 𝑛+2 ! + 𝑛+2 ! 𝑛+3 ! = 37 6 𝑛≥−2 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 ! 𝑛+2 ! + 𝑛+2 ! 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 ! = 37 6 𝑛+3+ 1 𝑛+3 = 37 6 /∙6∙ 𝑛+3 6∙ 𝑛+3 2 +6=37∙(𝑛+3) 6∙ 𝑛 2 +6𝑛+9 +6=37𝑛+111 6 𝑛 2 +36𝑛+54+6−37𝑛−111=0 6 𝑛 2 −𝑛−51=0 𝐷=1+1224=1225 𝑛 1,2 = 1±35 12 𝑛 1 =− 17 6 𝒏 𝟐 =𝟑

Úkol závěrem 1) Určete neznámou rovnice. Určete podmínky řešení: a) 103! 5 =4∙𝑘∙99! b) 𝑛+2 !=56∙𝑛! c) 𝑛−2 ! 𝑛−1 ! − 𝑛−3 ! 𝑛−1 ! = 5 42

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.