Zajištění obsluhy všech úseku dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.

Zajištění obsluhy všech úseku dopravní sítě Úkol: Projet všemi úseky dopravní sítě alespoň jednou a vrátit se do výchozího uzlu. „Úloho čínského pošťáka“ (autorem je čínský matematik Kwan)

Historie: Sedm mostů města Královce je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na skutečném místě a skutečné situaci. Pruské město Královec (též Königsberg, nyní Kaliningrad na území Ruska) leží na řece Pregole, která vytváří dva ostrovy. Ostrovy byly s ostatním městem spojeny sedmi mosty. Otázka zní, zda je možné všechny mosty přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, vstoupil na každý most pouze jednou. Leonhard Euler jako první dokázal, že to možné není, odpovídající graf totiž nelze projít pomocí tzv. eulerovského tahu. Leonhard Paul Euler (15. 4. 1707 Basilej, Švýcarsko – 18. 9.1783 Petrohrad, Rusko) - švýcarský matematik a fyzik. Zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Sedm_most%C5%AF_m%C4%9Bsta_Kr%C3%A1lovce

Eulerův sled – libovolná posloupnost vrcholů a hran grafu, který začíná a končí témže vrcholu a obsahuje všechny hrany. Eulerův tah – sled, ve kterém se neopakují žádné hrany. – takový tah, který obsahuje všechny hrany grafu a každou právě jednou. Eulerův graf – lze nakreslit jedním tahem. – musí být v něm taková počet hran, aby byly vrcholy sudého stupně, tzn. že počet hran, které ve vrcholu končí musí být sudý.

Nalezení Eulerova tahu Fleuryho algoritmus - všechny vrcholy grafu jsou sudého stupně: 1. krok: Konstrukci E-tahu začínáme v libovolném vrcholu grafu, vybereme libovolnou hranu incidujicí s vrcholem, projdeme jí a označíme. 2. krok: Při příchodu do vi Î V grafu nikdy nepoužijeme hranu, která je v dané situaci mostem, jehož odstraněním by se graf složený z dosud neoznačených hran rozpadl na netriviální komponenty nebo na netriviální komponentu a vrchol, ve kterém tah začíná. (incidence - vzájemná poloha dvou geometrických útvarů majících společnou část)

Nalezení Eulerova tahu - v grafu, který obsahuje vrcholy lichého stupně. Edmondsův algoritmus: 1. krok: V grafu určíme vrcholy lichého stupně, kterých je vždy sudý počet. 2. krok: Sestrojíme z vrcholů lichého stupně fiktivní kompletní graf, jehož hrany budou ohodnoceny vzdáleností příslušných vrcholů v původním grafu. 3. krok: Určíme párování minimální délky a fiktivní hrany minimálního párování přidáme do původního grafu mezi příslušné vrcholy. 4. krok: V upraveném grafu sestrojíme uzavřený E-tah minimální délky Fleuryho algoritmem.

Další metoda nalezení Eulerova tahu v grafu, kde všechny vrcholy jsou sudého stupně Vyjdi z nějakého vrcholu A a označuj hrany, kterými si prošel. Pokud dosáhneš znovu vrcholu A a nejsou označeny ještě všechny hrany, najdi vrchol B z kterého vychází neoznačená hrana, pokračuj po ní a označuj hrany až do návratu do vrcholu B. Oba tyto tahy spoj a opakuj postup až do vyčerpání všech hran.

Příklad: Vyjít z vrcholu A a projít všechny hrany grafu po nejkratší trase a vrátit se do výchozího vrcholu A . (Ohodnocení hran je v délkových jednotkách)

V grafu určíme vrcholy lichého stupně, kterých je vždy sudý počet.

Sestrojíme z vrcholů lichého stupně fiktivní kompletní graf, jehož hrany budou ohodnoceny vzdáleností příslušných vrcholů v původním grafu.

Určíme párování minimální délky a fiktivní hrany minimálního párování přidáme do původního grafu mezi příslušné vrcholy.

Přidané hrany z párování minimální délky mezi příslušné vrcholy do původního grafu

V upraveném grafu sestrojíme uzavřený E-tah minimální délky Fleuryho algoritmem. Modře znázorněno pořadí a směr průchodu hran grafu.

Zdroje: Mocková, D.. Základy teorie dopravy – Úlohy. Praha, Nakladatelství ČVUT, 2007, ISBN 978-80-01-03791-1. Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.. Teorie dopravy. Praha, ČVUT, 1997. ISBN 80-01-01637-4.