MODELY TEORIE GRAFŮ.

Prezentace na téma: "MODELY TEORIE GRAFŮ."— Transkript prezentace:

1 MODELY TEORIE GRAFŮ

2 Obsah Graf - základní pojmy Základy grafových algoritmů
Základní modely

3 Graf G = ( V, E ) V je množina vrcholů (uzlů) grafu
E je množina hran grafu

4 Graf - základní pojmy sousednost vrcholů - incidence vrcholu s hranou
souvislý graf orientovaný graf cesta a kružnice strom a síť ohodnocený graf

5 Základy grafových algoritmů
zobrazení grafů prohledávání grafu do hloubky prohledávání grafu do šířky topologické číslování vrcholů orientovaného grafu

6 Prohledávání grafu do šířky
v každém kroku všechny další hrany do ještě nenavštívených uzlů

7 Prohledávání grafu do hloubky
v každém kroku jedna hrana do ještě nenavštíveného uzlu

8 Topologické číslování vrcholů orientovaného grafu
jsou-li vrcholy očíslovány přirozenými čísly, pak platí pro každou hranu (i,j) že i < j 4 5 2 3 1

9 Základní modely Nejlevnější kostra Nejkratší cesta
Maximální tok v síti

10 Nejlevnější kostra minimální délky větví síťového propojení počítačů
kostra: souvislý graf s minimálním počtem hran princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak, aby netvořily kružnici

11 Příklad – zapojení el. sítě
Při přípravě karnevalu bylo potřeba vyřešit problém, jak propojit jednotlivé elektrické lampiony kabelem tak, aby bylo spotřebováno co nejméně kabelu a všechny lampiony byly zapojeny. Rozmístění lampionů a rozvodu elektrické energie je na následujícím obrázku:

12 Příklad – zapojení el. sítě
Matice vzdáleností mezi komponentami v metrech:

13 Nejkratší cesta nejkratší cesta mezi místem A a B
maximální délka navazujících činností princip: v(i,k) porovnáme s v(i,j) + v(j,k) (kdykoliv je nalezena nová cesta z uzlu i do uzlu k přes uzel j) i k j

14 Nejkratší cesta v grafu
Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy Síť cest Některé cesty nemusí existovat Postup řešení Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa

15 Příklad – nejkratší cesta
Najděte nejkratší cestu z místa A do místa H:

16 Maximální tok v síti proputnost produktovodů Ford Fulkersonova věta
maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu

17 Příklad Jaké maximální množství plynu lze pustit do následující sítě? Kapacity hran jsou dány v m3.