ZÁKLADNÍ ŠKOLA, JIČÍN, HUSOVA 170 Číslo projektu Název školy ZÁKLADNÍ ŠKOLA, JIČÍN, HUSOVA 170 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.2862 Číslo a název klíčové aktivity 3.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM: VY_32_INOVACE_XIII_1_12_Goniometrické funkce – určení úhlů v pravoúhlém trojúhelníku Šablona číslo: XIII Sada číslo: 1 Pořadové číslo DUM: 12 Autor: Mgr. Vlasta Mrkáčková

Anotace: Určení úhlu v pravoúhlém trojúhelníku pomocí goniometrických funkcí, určení hodnoty gon. funkce daného úhlu pomocí tabulek a naopak Očekávaný výstup: Žák zapíše gon. funkce daného úhlu jako poměry stran daného pravoúhlého trojúhelníku, pomocí tabulek určí hodnotu gon. funkcí daného úhlu a naopak, Určí velikosti úhlů v zadaném trojúhelníku. Druh učebního materiálu: prezentace Typická věková skupina: 14 - 15 let Klíčová slova: Goniometrické funkce ostrého úhlu daného pravoúhlého trojúhelníku, poměry stran odpovídající dané goniometrické funkci zvoleného úhlu, tabulky goniometrických funkcí Pomůcky a materiál: interaktivní tabule, školní sešit, tabulky pro ZŠ Metodické zhodnocení a popis práce s digitálním učebním materiálem: Žáci si na začátku zopakují stanovení poměrů stran daného pravoúhlého trojúhelníku jako goniometrické funkce zvoleného ostrého úhlu, pak totéž aplikují v konkrétním trojúhelníku pro konkrétní úhel. V rozcvičce jde o utvrzení základního učiva. Práce s tabulkami v druhé fázi je vcelku jednoduchá, žáci mívají problém se zápisem (je třeba rozlišit hodnotu funkce úhlu a velikost úhlu), dále často chybují v přehlédnutí se při hledání ve vhodné tabulce a také vznikají nejasnosti při určování nejbližší hodnoty v tabulkách. Je vhodné doplnit tuto fázi prací s tabulkami, kdy si žáci dávají úlohy k vyhledávání v tabulkách navzájem.

V závěrečné části řeší třída společně základní úlohu určení ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém známe dvě strany – nejprve dvě odvěsny a posléze odvěsnu a přeponu. Poprvé si žáci vyzkoušejí postup, kdy nejprve musí najít vhodnou goniometrickou funkci, zapsat poměr stran a posléze vypočítat hodnotu poměru a pomocí tabulek určit velikost úhlu. Samostatně pak mohou vypočítat druhý úhel. Většinou objeví obě možnosti postupu – pomocí goniometrických funkcí nebo prostě dopočtem do 90°.

Goniometrické funkce -určení úhlu v pravoúhlém trojúhelníku

1) Zapiš slovy poměry, které vyjadřují dané goniometrické funkce Rozcvička 1) Zapiš slovy poměry, které vyjadřují dané goniometrické funkce tg  = .……………………………. ……………………………… cotg  = …………………………….. .…………………………… sin  = ……………………………. ……………………………… cos  = …………………………………… …………………………………… 2) Popiš strany trojúhelníka. Zapiš poměry stran, které odpovídají daným goniometrickým funkcím 𝑡𝑔 𝜋= sin 𝜋 = cotg 𝜋= cos 𝜋= R Q  P

sin  = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 cos  = 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 Rozcvička 1) Zapiš slovy poměry, které vyjadřují dané goniometrické funkce tg  = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 cotg  = 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 sin  = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 cos  = 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 2) Popiš strany trojúhelníka. Zapiš poměry stran, které odpovídají daným goniometrickým funkcím p R Q 𝑡𝑔 𝜋= 𝑝 𝑞 sin 𝜋 = 𝑝 𝑟 cotg 𝜋= 𝑞 𝑝 cos 𝜋= 𝑞 𝑟 q r  P

sin  = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 cos  = 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 Rozcvička 1) Zapiš slovy poměry, které vyjadřují dané goniometrické funkce tg  = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 cotg  = 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 sin  = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 cos  = 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎 2) Popiš strany trojúhelníka. Zapiš poměry stran, které odpovídají daným goniometrickým funkcím p R Q 𝑡𝑔 𝜋= 𝑝 𝑞 sin 𝜋 = 𝑝 𝑟 cotg 𝜋= 𝑞 𝑝 cos 𝜋= 𝑞 𝑟 q r  P

Doplň pomocí tabulek 3) sin 67° 10´ = cos 45° 50´ = tg 74° 20´ = cotg 12° 30´ = 4) tg 𝛽=0,5273 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛾=1,026 𝜷 = 𝜸 = sin 𝛿=0,3524 cos 𝜀=0,7325 𝜹 = 𝜺 =

Zkontroluj 3) sin 67° 10´ = 0,9216 cos 45° 50´ = 0,6967 tg 74° 20´ = 3,566 cotg 12° 30´ = 4,511 4) tg 𝛽=0,5273 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛾=1,026 𝛽 = 27°50´ 𝛾 = 44°20´ sin 𝛿=0,3524 cos 𝜀=0,7325 𝛿 = 20°40´ 𝜀 = 42°50´

Zkontroluj 3) sin 67° 10´ = 0,9216 cos 45° 50´ = 0,6967 tg 74° 20´ = 3,566 cotg 12° 30´ = 4,511 4) tg 𝛽=0,5273 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛾=1,026 𝛽 = 27°50´ 𝛾 = 44°20´ sin 𝛿=0,3524 cos 𝜀=0,7325 𝛿 = 20°40´ 𝜀 = 42°50´

1) Urči velikost úhlu  B 𝛽 7,5 cm  C 8 cm A

Dokážeš určit velikost úhlu 𝛽 ? 1) Urči velikost úhlu  B 𝛽 7,5 cm tg  = 7,5 𝑐𝑚 8 𝑐𝑚 = 0,9375  = 43°10´  C 8 cm A Dokážeš určit velikost úhlu 𝛽 ? cotg 𝛽 = 7,5 𝑐𝑚 8 𝑐𝑚 = 0,9375 𝜷 = 46°50´ 𝛽 = 90° -  𝛽 = 90° - 43°10´ 𝜷 = 46°50´

Dokážeš určit velikost úhlu 𝛽 ? 1) Urči velikost úhlu  B 𝛽 7,5 cm tg  = 7,5 𝑐𝑚 8 𝑐𝑚 = 0,9375  = 43°10´  C 8 cm A Dokážeš určit velikost úhlu 𝛽 ? cotg 𝛽 = 7,5 𝑐𝑚 8 𝑐𝑚 = 0,9375 𝜷 = 46°50´ 𝛽 = 90° -  𝛽 = 90° - 43°10´ 𝜷 = 46°50´

Dokážeš určit velikost úhlu 𝜔? 2) Urči velikost úhlu 𝜋 4,3 m O R 𝜔 5m 𝜋 P Dokážeš určit velikost úhlu 𝜔?

Dokážeš určit velikost úhlu 𝜔 ? 2) Urči velikost úhlu 𝜋 4,3 m O R 𝜔 sin 𝜋 = 4,3 𝑚 5 𝑚 = 0,8600 𝝅 = 59°20´ 5m 𝜋 P Dokážeš určit velikost úhlu 𝜔 ? cos 𝜔 = 4,3 𝑚 5 𝑐𝑚 = 0,8600 𝝎 = 30°40´ 𝜔 = 90° - 𝜋 𝜔= 90° - 59°20´ 𝝎 = 30°40´

Dokážeš určit velikost úhlu 𝜔 ? 2) Urči velikost úhlu 𝜋 4,3 m O R 𝜔 sin 𝜋 = 4,3 𝑚 5 𝑚 = 0,8600 𝝅 = 59°20´ 5m 𝜋 P Dokážeš určit velikost úhlu 𝜔 ? cos 𝜔 = 4,3 𝑚 5 𝑐𝑚 = 0,8600 𝝎 = 30°40´ 𝜔 = 90° - 𝜋 𝜔= 90° - 59°20´ 𝝎 = 30°40´