Sčítání, odčítání do miliónu Čtvrťáci a matematika X 4 MA 1 TE 2 TI 3 KA 5 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je PaedDr. Marie Janků. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). 149 600 000 km 384 403 km Zatmění Slunce Země Měsíc Slunce x km Kč 1 100 Kč 1000 Kč 10 35 000 - (28 000 + n) = 0 Sčítání, odčítání do miliónu i přes milión. Téma Sčítání, odčítání do miliónu i přes milión navazuje na osmé téma v němž se žáci seznámili se s čísly 1 000 000 i přes milión. V tomto tématu se naučí tato čísla sčítat a odčítat pamětným i písemným postupem. Pamětným postupem počítají jen velmi jednoduché příklady. V aplikačních úlohách poznají, že se i takto velká čísla vyskytují v běžném životě . Žáci pracují s příslušnými pracovními listy a s kalkulátory. Po spuštění prezentace jsou animací uváděna řešení jednotlivých úkolů.

Pamětný postup sčítání, odčítání Kč 1 100 Kč 1000 Kč 10 6 320 + 7 101 = 13 421 - 7 101 = Zapište, jak počítá paní pokladní. 2. Doplňte do rámečků čísla a zapište znázorněné příklady sčítání a odčítání. 1. 6 320 7 101 13 421 8 220 9 002 17 222 6 320 + 7 101 = 13 421 13 421 - 6 320 = 7 101 8 220 + 9 002 = 17 222 17 222 - 8 220 = 9 002 7 101 + 6 320 = 13 421 13 421 - 7 101 = 6 320 9 002 + 8 220 = 17 222 17 222 - 9 002 = 8 220 1 (1.) Vyučující si u žáků ověří, zda znají naše platidla (bankovky a mince), zda znají jejich hodnotu. Popř. i to, co je možno za danou částku koupit nebo jaká je průměrná mzda apod. Sčítání a odčítání žáci provádějí na základě znázornění čísel platidly. 2 (2.) Vyučující nejdříve ústně se žáky zopakuje rozvoj čísla v desítkové soustavě, pořadí provádění početních výkonů (násobní a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním) a význam závorek. Pak probere pamětný postup výpočtu 6 . 1 000 + 3 . 100 + 2 . 10 + 0 + 7 . 1 000 + 1. 100 + 0 . 10 + 1 = = 6 . 1 000 + 7 . 1 000 + 3 . 100 + 1 . 100 + 2 . 10 + 0 . 10 + 0 + 1 = = (6 + 7) . 1 000 + (3 + 1) . 100 + 2 . 10 + 1 = = 13 . 1 000 + 4 . 100 + 2 . 10 + 1 = 13 421 13 . 1 000 + 4 . 100 + 2 . 10 + 1 - 7 . 1 000 - 1 . 100 + 0 . 10 - 1 = = 13 . 1 000 - 7 . 1 000 + 4 . 100 - 1 . 100 + 2 . 10 + 0 . 10 + 1 - 1 = = (13 - 7) . 1 000 + (4 - 1) . 100 + 2 . 10 + 1 - 1 = = 6 . 1 000 + 3 . 100 + 2 . 10 + 0 = 6 320

Diagramy, tabulka- sčítání Vypočítejte a doplňte tabulku. 1. x +1 x +10 x +100 x +1 000 x x +10 000 9 100 3 901 6 809 17 980 90 576 29 602 99 999 999 999 309 283 195 741 10 100 19 100 9 110 9 200 9 101 4 901 13 901 3 902 3 911 4 001 6 810 6 819 6 909 7 809 16 809 17 981 17 990 18 080 18 980 27 980 90 577 90 586 90 676 100 576 91 576 29 603 29 612 29 702 30 602 39 602 100 000 100 009 100 099 100 999 109 999 309 284 309 293 309 383 310 283 319 283 195 742 195 751 195 841 196 741 205 741 1 000 000 1 000 009 1 000 099 1 000 999 1 009 999 9 305 7 100 Zapište znázorněné příklady sčítání a odčítání. 2. 5 111 5 222 (3.) Při doplňování tabulky si žáci procvičí přičítání jednotek daného řádu. (4.) Žáci v podstatě výpočet neprovádějí, pouze sestavují příklady. Kontrolu výpočtu je vhodné provést na kalkulátoru. 16 405 10 333 9 305 + 7 100 = 16 405 16 405 - 9 305 = 7 100 5 111 + 5 222 = 10 333 10 333 - 5 111 = 5 222 7 100 + 9 305 = 16 405 16 405 - 7 100 = 9 305 5 222 + 5 111 = 10 333 10 333 - 5 222 = 5 111

Počítejte a výsledky doplňte do rámečků. Tabulka - odčítání 1. Vypočítejte a doplňte tabulku. z - 1 z - 10 z - 100 z - 1 000 z z - 10 000 88 888 1 000 001 501 823 100 000 207 635 580 121 17 601 12 500 60 000 10 367 88 887 88 878 88 788 87 888 78 888 501 822 501 813 501 723 500 823 491 823 99 999 99 990 99 900 99 000 90 000 207 634 207 625 207 535 206 635 197 635 10 366 10 357 10 267 9 367 367 580 120 580 111 580 021 579 121 570 121 1 000 000 999 991 999 901 999 001 990 001 7 601 17 600 17 591 17 501 16 601 12 499 12 490 12 400 11 500 2 500 59 999 59 990 59 900 59 000 50 000 100 983 - 81 + 3 100 - 4 002 12 847 + 12 + 4 100 - 500 + 800 + 7 200 - 500 000 1 000 000 + 9 600 250 000 + 250 000 + 107 000 2. Počítejte a výsledky doplňte do rámečků. (5.) Při doplňování tabulky si žáci procvičí odčítání jednotek daného řádu. (6.) 12 859 16 959 16 459 100 902 104 002 100 000 500 000 507 200 508 000 500 000 509 600 616 600

Příklady sčítání, odčítání 1. Vypočítejte, kontrolu výpočtu proveďte na kalkulátoru. 21 000 + 4 000 = 15 000 + 15 010 = 21 000 + 400 = 93 000 + 7 100 = 50 002 + 30 100 = 72 000 + 10 305 = 6 800 + 5 200 = 4 900 + 7 060 = 8 000 + 3 000 = 8 000 + 3 400 = 3 100 + 9 900 = 8 800 + 7 006 = 11 000 11 400 13 000 15 806 12 000 11 960 21 400 30 010 25 000 100 100 80 102 82 305 600 000 + 400 000 = 700 000 + 500 000 = 20 000 000 + 600 000 = 1 400 003 + 1 005 020 = 2 000 008 + 3 000 004 = 5 042 008 + 3 100 540 = 1 000 000 1 200 000 20 600 000 2 405 023 5 000 012 8 142 548 2. 15 000 - 8 000 = 26 000 - 4 000 = 75 026 - 15 000 = 98 567 - 98 567 = 54 784 - 50 000 = 93 642 - 642 = 7 000 22 000 60 026 4 784 93 000 700 543 - 543 = 100 000 - 52 000 = 100 002 - 90 000 = 26 000 - 10 100 = 12 050 - 10 500 = 63 207 - 30 200 = 15 900 1 550 48 000 700 000 10 002 33 007 8 000 008 - 2 000 004 = 65 030 000 - 5 020 000 = 40 000 000 - 4 000 000 = 1 000 000 - 300 000 = 7 000 010 - 4 000 004 = 90 502 000 - 6 101 000 = 6 000 004 60 010 000 36 000 000 700 000 3 000 006 84 401 000 (7.)

Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je. 1. 100 Kč 1000 Kč 7 300 12 000 n 290 000 + r = 590 000 870 000 - s = 320 000 2. Vyřešte rovnice 10 Kč 1000 Kč 11 020 54 000 z 7 300 + n = 12 000 12 000 - n = 7 300 11 020 + z = 54 000 54 000 - z = 11 020 n + 7 300 = 12 000 12 000 - 7 300 = n z + 11 020 = 54 000 54 000 - 11 020 = z (8.) Žáci si zopakují sestavování rovnic na základě digramů. Výpočty provádějí pamětným postupem. (9.) 4 700 = n 42 980 = z r = 590 000 - 290 000 870 000 - 320 000 = s r = 300 000 550 000 = s

Zapište a vyřešte rovnice znázorněné úsečkami. 1. a 7 200 000 1 120 000 v 80 700 65 700 a + 720 000 = 1 800 000 b - 69 000 = 31 000 1 750 000 - m = 1 030 000 4 879 000 - v = 4 879 000 65 700 + v = 80 700 80 700 - v = 65 700 7 200 000 + 1 120 000 = a a - 7 200 000 = 1 120 000 v + 65 700 = 80 700 v = 80 700 - 65 700 1 120 000 + 7 200 000 = a a - 1 120 000 = 7 200 000 v = 15 000 a = 8 320 000 2. Vyřešte rovnice a = 1 800 000 - 720 000 b = 31 000 + 69 000 (10.) Žáci sestavují rovnice znázorněné grafickým součtem úseček. (11.) a = 1 080 000 b = 100 000 m = 1 750 000 - 1 030 000 4 879 000 - 4 879 000 = v m = 720 000 0 = v

Vypočtěte, o kolik je větší nejmenší osmiciferné O kolik větší, menší Kontrola: Vypočtěte, o kolik je větší nejmenší osmiciferné číslo než největší šesticiferné číslo. Vypočtěte číslo, které je o 20 000 větší než rozdíl čísel 300 900 a 200 600. Vypočtěte číslo, které je o 70 200 menší než největší pěticiferné číslo. Kontrola: t - 20 000 = 300 900 - 200 600 t - 20 000 = 100 300 Kontrola: t = 100 300 + 20 000 120 300 - 20 000 = 300 900 - 200 600 t = 120 300 100 300 = 100 300 n + 70 200 = 99 999 n = 99 999 - 70 200 29 799 + 70 200 = 99 999 n = 29 799 99 999 = 99 999 (12.) Úkolem žáků je vyjádřit rovnicí slovně formulovanou úlohu. 10 000 000 - v = 999 999 10 000 000 - 999 999 = v 10 000 000 - 9 000 001 = 999 999 9 000 001= v 999 999 = 999 999

Pan Procházka je obchodník. Měl na účtu 5 700 550 Kč. Nakoupil zboží Apl. úloha Pan Procházka je obchodník. Měl na účtu 5 700 550 Kč. Nakoupil zboží za 2 900 500 Kč. Kolik mu po zaplacení zbylo na účtu? měl zaplatil zbylo Panu Procházkovi zbylo na účtu 5 700 550 2 900 500 z 5 700 550 Kč 2 900 500 Kč z 5 700 550 - 2 900 500 = z 2 800 050 = z (13.) Vyučující si s žáky ujasní, co to znamená obchodník. Takový (drobný) obchodník nejčastěji prodává potraviny. Žáci doplní stručný záznam, úlohu znázorní a vyřeší. 2 800 050 Kč.

Obchodní společnost měla ve svých prodejnách roční zisk 86 000 000 Kč. Apl. úloha Obchodní společnost měla ve svých prodejnách roční zisk 86 000 000 Kč. Potom, co otevřela dalších 70 prodejen, se její zisk zvýšil o 36 000 000 Kč. Jaký byl zisk obchodní společnosti po otevření dalších 70 prodejen? zisk: roční více o po zvýšení Po otevření dalších 70 prodejen měla obchodní společnost zisk 86 000 000 36 000 000 Kč 86 000 000 Kč z 86 000 000 36 000 000 z z = 86 000 000 + 36 000 000 z = 122 000 000 (14.) Vyučující žákům objasní, co znamená obchodní společnost, vybere známé společnosti z blízkého okolí (např. Billa, Tesco,apod.) i co znamená zisk (Zisk - rozdíl mezi výnosy a náklady). 122 000 000 Kč.

10 Kč Doplňte do rámečků čísla a zapište znázorněné příklady. Tři sčítanci 10 Kč 1000 Kč 100 Kč 1 Doplňte do rámečků čísla a zapište znázorněné příklady. 1. 7 211 9 314 5 442 21 967 7 211 + 9 314 + 5 442 = 21 967 9 314 + 5 442 + 7 211 = 21 967 5 442 + 7 211 + 9 314 = 21 967 (21 967 - 7 211) - 9 314 = 5 442 (21 967 - 9 314) - 5 442 = 7 211 (21 967 - 5 442) - 7 211 = 9 314 21 967 - (7 211 + 9 314) = 5 442 21 967 - ( 9 314 + 5 442) = 7 211 21 967 - (5 442 + 7 211) = 9 314 (15.) Žáci si názorně upevňují poznatky o vlastnosti sčítání více sčítanců, odčítání součtu a o významu závorek. Pro každá tři přirozená čísla platí, že a, b, c sčítance můžeme libovolně zaměňovat. Pro každá tři přirozená čísla taková, že platí: a, b, c b + c < a, a - (b + c) = (a - b) - c

Zapište a vyřešte rovnice znázorněné úsečkami. 76 000 120 000 4 000 s 458 000 220 000 r 28 000 35 000 - (28 000 + n) = 0 76 000 - (32 000 - x) = 70 000 2. Vyřešte rovnice. 1. 76 000 + s + 4 000 = 120 000 r + 220 000 + 28 000 = 458 000 r + 220 000 = 458 000 - 28 000 80 000 + s = 120 000 r + 220 000 = 430 000 s = 120 000 - 80 000 r = 430 000 - 220 000 s = 40 000 r = 210 000 (16.) Žáci si názorně procvičí řešení složitějších rovnic. (17.) Žáci provedou kontrolu řešení rovnice dosazením za neznámou. 35 000 - 0 = (28 000 + n) 76 000 = 70 000 + (32 000 - x) 35 000 = 28 000 + n 76 000 - 70 000 = (32 000 - x) 35 000 - 28 000 = n 6 000 = 32 000 - x 7 000 = n x = 32 000 - 6 000 x = 26 000 35 000 - (28 000 + 7 000) = 0 76 000 - (32 000 - 26 000) = 70 000 35 000 - 35 000 = 0 76 000 - 6 000 = 70 000

Apl. úl. Hanzelka a Zikmund Jiří Hanzelka a Miroslav Zikmund cestovali v letech 1947 až 1950 kolem světa. Po souši ujeli 74 000 km, po moři 24 000 km, letecky 13 000 km. Kolik kilometrů celkem urazili? po souši po moři letecky celkem Jiří Hanzelka a Miroslav Zikmund na cestě kolem světa urazili celkem 74 000 km 24 000 km 13 000 km x x km 74 000 km 24 000 km 13 000 km (18.) Ing.Jiří Hanzelka a Ing. Miroslav Ziknund byli spolužáci a ještě jako studenti si plánovali, že procestují pět světadílů. Po dokončení studia se stali obchodními zástupci firmy Tatra, která vyráběla auta. Ta jim zapůjčila nejlepší auto. Tak cestovali v letech 1947 až 1950 kolem světa . Po souši 74 000 km, 24 000km námořní přeprava, 13 000 km letecké cesty celkem 111 000 km. Žáci doplní stručný záznam, úlohu znázorní a vyřeší. Rok 1947 celkem 19 Československo, Německo, Rakousko, Švýcarsko, Francie, Monako, Francie,* Tanger, Maroko, Alžírsko, Tunisko, Tripolsko, Cyrenaika, Egypt, Súdán, Eritrea, Habeš, Britské Somálsko, Italské Somálsko, Kenye ... Rok 1948 celkem 11 Kenye, Tanganjika, Uganda, Belgické Kongo, Ruanda-Urundi, Belgické Kongo, Severní Rhodesie, Jižní Rhodesie, Jihoafrická Uníe, Basutsko, Jihoafrická Unie, Argentina, Paraguay, Argentina, Brazílie. Rok 1949 celkem 4 Brazílie, Uruguay, Argentina, Bolívie, Peru, Ekvádor Rok 1950 celkem 10 Ekvádor, Kolumbie, Panama, Canal Zone, Panama, Kostarika, Nikaragua, Honduras, Salvador, Guatemala, Mexiko, Francie, Polsko, Československo DOHROMADY 44 740 000 + 24 000 + 13 000 = x 980 000 + 13 000 = x 111 000 = x 111 000 km.

Písemný postup sčítání, odčítání 1. Vypočítejte. 2. 3. 278 759 896 453 897 594 653 865 967 485 354 653 459 219 733 758 396 943 785 687 1 175 212 1 551 459 1 322 138 1 192 977 1182 630 869 765 -381 297 965 872 -786 295 682 539 - 597 632 911 111 - 199 999 703 800 - 457 094 488 468 179 577 84 907 711 112 246 706 (19.) Žáci si zopakují, jak se liší pamětný postup sčítání, odčítání od písemného postupu. Při pamětném postupu sčítání, odčítání začínáme výpočet od jednotek nejvyššího řádu. Při písemném postupu se při výpočtu začíná od jednotek nejnižšího řádu. 2. (20) 3.(21.) 1 436 226 7 596 897 3 683 505 9 740 760 9 111 111 1 999 999 6 532 865 3 895 347 5 766 444 5 344 666 9 033 123 13 424 265 11 111 110 10 428 212 11 111 110

Do rámečků doplňte čísla tak, aby výpočty byly správné. Doplňováni 1. Vypočítejte. 68 6 - 4 5 1 1 2 3 4 3 42 - 3 376 44 9 9 67 - 13 1 2 124 6 93 - 7 5 6 36 09 3 50 - 3 9 5 18 12 6 97 13 5 5 981 14 658 226 -5 968 747 68 520 032 - 9 745 693 81 765 432 - 69 589 423 53 852 467 -38 347 529 76 478 590 - 36 693 675 22 0 1 73 28 96 3 56 9 8 50 316 8 689 479 58 774 339 12 176 009 15 504 938 39 784 915 Do rámečků doplňte čísla tak, aby výpočty byly správné. 2. 12 0 1 1 73 8 9 6 52 3 1 1 8 5 6 3 0 5 6 7 8 4 7 1 4 8 3 2 7 2 5 6 7 9 4 2 3 6 (22.) (23.) 5 7 9 4 5 3 7 2 9 5 4 8 5 8 5 2 4 3

Zaokrouhlete na desetitisíce a odhadněte výsledek a pak vypočítejete. Odhad, výpočet Zaokrouhlete na desetitisíce a odhadněte výsledek a pak vypočítejete. 752 147 - 429 623 752 147 + 429 623 568 763 + 298 365 568 763 - 296 385 výpočet odhad = 320 000 . 752 147 - 429 623 320 000 322 524 < 750 000 - 430 000 2 524 322 524 . = 1 180 000 752 147 429 623 1 180 000 1 181 770 < 750 000 + 430 000 1 770 1 181 770 . = 870 000 568 763 298 365 > 870 000 867 128 570 000 + 300 000 (24. 25.) Porovnejte odhad a výpočet. Určete o kolik je odhad větší nebo menší ne ž výpočet. 867 128 2 872 . = 270 000 568 763 - 296 385 < 270 000 272 378 570 000 - 300 000 2 378 272 378

Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je. 655 877 345 567 n 979 004 999 981 1. Vyřešte rovnice. x + 9 576 = 100 053 282 057 - z = 189 564 2. n + 345 567 = 655 877 979 004 + v = 999 981 n = 655 877 - 345 567 v = 999 981 - 979 004 n = 310 310 v = 20 977 655 877 - 345 567 999 981 - 979 004 310 310 20 977 (26.) Žáci si uvědomí, že při řešení rovnic v náročnějších případech je nutno využít písemný postup výpočtu (27.) x = 100 053 - 9 576 282 057 - 189 564 = z x = 90 477 92 493 = z 100 053 - 9 576 282 057 - 189 564 90 477 92 493

Rovnice 981 576 - x = 746 914 497 495 = 889 567 - s 432 847 + r + 154 364 = 1 895 213 Vyřešte rovnice. 1. 981 576 - 746 914 = x s = 889 567 - 497 495 s = 392 072 234 662 = x 981 576 - 746 914 889 567 - 497 495 234 662 392 072 1 895 213 - 432 847 1 462 366 r + 154 364 = 1 895 213 - 432 847 r + 154 364 = 1 462 366 (28.) r = 1 462 366 - 154 364 1 462 366 - 154 364 1 308 002 r = 1 308 002

v panelovém domě levnější o Apl. úloha Byt v Praze ve vile se zahradou je na prodej za 11 500 000 Kč. Přibližně stejně velký byt v panelovém domě na okraji Prahy je na prodej za 2 590 000 Kč. O kolik je byt v panelovém domě levnější? byt ve vile v panelovém domě v panelovém domě levnější o Byt v panelovém domě je o levnější než byt ve vile se zahradou. 2 590 000 + x = 11 500 000 11 500 000 Kč 2 590 000 Kč x Kč x = 11 500 000 - 2 590 000 x = 8 910 000 2 590 000 11 500 000 - 2 590 000 (29.) Pokud je to možné porovná vyučující se žáky ceny bytů v místě školy s cenami bytů uvedených v úloze. I v úloze to je ještě asi tak, že k bytu ve vile asi patří ještě garáž, kdežto v panelovém domě pravděpodobně garáž není. 2 590 000 x 8 910 000 11 500 000 8 910 000 Kč

Praha má o obyvatel více než Brno. Apl. Úloha Praha má 1 250 000 obyvatel. Naše druhé největší město Brno má 378 000 obyvatel. O kolik obyvatel má Praha více než Brno? Praha Praha o více Brno 1 250 000 n 378 000 1 250 000 378 000 378 000 378 000 n [cit. 2014-10-20]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:%C4%8Cesk%C3%A9_okresy_1960.png> (30.) Počty obyvatel se mění. Lidé se stěhují, na svět přicházejí novorozeňata, lidé umírají, proto se počty obyvatel obvykle zaokrouhlují. Údaje v úloze jsou z r. 2014. 1 250 000 1 250 000 - 378 000 378 000 + n = 1 250 000 n = 1 250 000 - 378 000 872 000 n = 872 000 Praha má o obyvatel více než Brno. 872 000

Při zatmění slunce, kdy je Měsíc mezi Sluncem a Zemí, je Měsíc Země Slunce Vypočítejte, jaká je vzdálenost Slunce od Měsíce při zatmění Slunce. Vzdálenost: Země - Slunce Země - Měsíc Měsíc - Slunce 149 600 000 km 384 403 km Zatmění Slunce Země Měsíc Slunce x km Při zatmění slunce, kdy je Měsíc mezi Sluncem a Zemí, je Měsíc vzdálen od Slunce km. x + 384 403 = 149 600 149 600 000 km x = 149 600 - 384 403 384 403 km x = 149 215 597 (31.) K zatmění Slunce dochází, když měsíc vstoupí mezi slunce mezi Zemi, takže jsou „v zákrytu.“ K zatmění Slunce dochází po několika letech. Příští zatmění se očekává v roce 2 015 x km 149 600 000 - 384 403 149 215 597 149 215 597

Oběžná dráha Marsu je o dál od Slunce než oběžná dráha Země. Sluneční soustava O kolik kilometrů je oběžná dráha Marsu dál od Slunce než oběžná dráha Země? Slunce Země Merkur Venuše Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Oběžná dráha Marsu je o dál od Slunce než oběžná dráha Země. 149 600 000 227 900 000 108 200 000 57 900 000 778 300 000 1 4239 200 000 2 875 000 000 4 504 000 000 227 900 000 - 149 600 000 = z Vzdálenost od Slunce: Země Mars Mars o dál 149 600 000 km 78 300 000 = z 227 900 000 - 149 600 000 (32.) Vyjmenujte planety naší sluneční soustavy. Přečtěte vzdálenosti oběžných drah jednotlivých planet od Slunce. Mars je planeta, která je podobná naší Zemi. Amerika v rámci dlouhodobého plánu Vision for Space Exploration plánuje vyslat na povrch Marsu pilotovanou loď a vysadit tam člověka. Podobné plány má i Evropská vesmírná agentura, která by tak chtěla učinit kolem roku 2025. 227 900 000 km z km 78 300 000 227 900 000 km 149 600 000 km z 78 300 000 km