Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám. Variace s opakováním VY_42_INOVACE_ října 2013

Variace s opakováním k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená z těchto n prvků tak, že každý se v ní nejvýše k-krát. 2

(a,a) (b,a) (c,a) (d,a) (a,b) (b,b) (c,b) (d,b) (a,c) (b,c) (c,c) (d,c) (a,d) (b,d) (c,d) (d,d) Příklad všech dvoučlenných variací ze čtyř prvků a,b,c,d: 3

4 A opačně: Příklad všech čtyřčlenných variací s opakováním ze dvou prvků: a,b (a,a,a,a)(a,b,a,a) (a,a,b,a) (a,a,a,b) (b,a,a,a) (a,a,b,b) (a,b,a,b) (a,b,b,a) (b,b,a,a) (b,a,b,a) (b,a,a,b) (b,a,b,b) (b,b,a,b) (b,b,b,a) (a,b,b,b) (b,b,b,b)

počet všech k-členných variací s opakováním z n prvků: uspořádaná k-tice 1. člen 2. člen …(k-1)-ní člen k-tý člen možnosti výběru z n prvků nn…nn 5

Máme tedy výsledek: Počet V´(k,n) všech k-členných variací s opakováním z n prvků je Podle kombinatorického pravidla součinu je počet všech těchto uspořádaných k-tic, v nichž se každý prvek může opakovat, roven součinu 6

7 Příklad 1 Dříve se k registraci aut příslušných k danému okresu používala státní poznávací značka (SPZ) ve tvaru tři písmena a čtyři číslice. Každý okres (vyjma Prahy) používal ke svému označení dvě písmena, např. Opava – OP. Kolik maximálně mohlo být registrováno aut v jednom okrese? Kolik je všech možných SPZ? Svědek dopravní nehody si zapamatoval, že auto, které způsobilo dopravní nehodu, mělo pražskou SPZ (Axx) a pouze sudá čísla. Dnešní registrační značky jsou ve tvaru číslo – písmeno – číslo a čtyřčíslí. Kolik maximálně může být registrováno v jednom kraji?

8 Příklad 2 Kolik písmen Morseovy abecedy je možné vytvořit z jedné až čtyř teček a vodorovných čárek, jež se mohou libovolněkrát opakovat?

9 Příklad 3 Kolik různých pěticiferných přirozených čísel je možné sestavit z číslic a) 1, 2, 3, 4 b) 0, 1, 2,3,4, jestliže v každém čísle se mohou číslice opakovat? Kolik z nich je sudých? Příklad 4 Kolik různých jedno- až pěticiferných přirozených čísel je možné sestavit z číslic 0, 1, 2, 3,4? Kolik z nich je menších než ?

Citace 10 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN