Projekt OPVK - CZ.1.07/2.3.00/ „MATES - Podpora systematické práce s žáky SŠ v oblasti rozvoje matematiky“ Gymnázium Jakuba Škody, Komenského 29, Přerov Aplikovaná matematika … kde ji potkáváme Martin Kopka Karlov –

Aplikovaná matematika Historické důvody rozvoje matematiky důvody převážně empirické* geometrie číslo (Pythagorejci) infinitezimální počet (derivace, integrály) matematika ovšem není empirická věda, je postavena na jiných principech při formulaci a abstrakci jsou vytvářeny formální systémy, které již nepopisují pouze původní realitu, ale platí nezávisle na ní symbolika axiomy odvozovací pravidla * Empirie (z řeckého slova empeiros, zkušený) je zkušenost získaná pozorováním, pokusem, experimentem. Empirické vědy jsou vědy založené na opakovatelných a ověřitelných experimentech.řec

Aplikovaná matematika Matematika vrací své závěry zpět do reálného využití celá středoškolská matematika vypovídá o řešení reálných situací možná jen není na první pohled zřejmé, že tyto situace v normálním životě někdy vůbec nastanou ale jisté je, že už někdy nastaly a některé z nich nastávají tak pravidelně, že využíváním matematiky při jejich řešení o softwarovém o myšlenkovém o využíváním nějakého hotového technického prostředku pak hovoříme o aplikované matematice Opakem aplikované matematiky je NEaplikovaná matematika čistá („pure matematics“)

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

Teorie grafů – nalezení kritické cesty Kritická cesta Kritická cesta je soubor úseků, který přímo ovlivňuje délku projektu. Dokončením posledního úkolu, ležícího na kritické cestě je dokončen celý projekt. Projektové plánování Projekt je rozdělen na úseky – na etapy, etapy na fáze, každý úsek má naplánovaný začátek a konec a určité návaznosti Je potřeba stanovit, kde jsou a kde nejsou rezervy Zkrácení kritické cesty Přiřazení dodatečných zdrojů úkolům na kritické cestě Rozdělení úkolů na paralelní zpracování Důležité parametry Nejdříve možné začátky jednotlivých úseků Nejpozději možné konce jednotlivých úseků

Teorie grafů – nalezení kritické cesty

Nalezení kritické cesty – nejdříve možné začátky

Nalezení kritické cesty – nejpozději možné konce

Nalezení kritické cesty – kritické činnosti Kritické jsou ty činnosti, u kterých neexistuje mezi nejdříve možným začátkem a nejpozději přípustným koncem žádná časová rezerva.

Nalezení kritické cesty – kritická cesta

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

Finanční matematika Úrok za období – jednorázový vklad Do banky uložím Kč, banka mi poskytne roční úrok 3,6% z částky uložené po celý rok, počítaný a připisovaný na konci období, úroky se nedaní. Po roce budu mít v bance Kč Úrok pravidelný (složený) – jednorázový vklad Do banky uložím Kč, banka mi poskytne roční úrok 3,6% počítaný a připisovaný poměrnou částí měsíčně z částky uložené na účtu. Úroky se nedaní. Kolik bude na účtu po roce (12 měsících)? Po roce budu mít v bance Kč

Finanční matematika Spoření – pravidelný vklad Do banky vkládám měsíčně Kč, banka mi poskytuje měsíční úrok 0,3% počítaný počítaný a připisovaný měsíčně z částky uložené na účtu na konci měsíce. Úroky se nedaní. Kolik bude na účtu po 5 letech (60 měsících)? Po 60 měsících roce budu mít v bance Kč, kde

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

Optimalizační úlohy Jednoduché trojčlenky a nerovnice Odpověď na otázku „K čemu jsou mi nerovnice?“ Obdržel jsem dvě nabídky sazeb na platbu elektrické energie Sazba A: 47,6 Kč měsíčně a 1,6 Kč za 1 kWh. Sazba B: 20,6 Kč měsíčně a 2,33 Kč za 1 kWh. Při jaké spotřebě elektrické energie je pro mě výhodnější sazba A? Sazba A je výhodnější pro takové spotřeby X, pro které platí tedy pro x > 36,99 kWh

Optimalizační úlohy – Lineární programování Př. Optimální výrobní program – maximalizace zisku Optimální nastavení procesu Dodržení zadaných omezení Maximalizovat / minimalizovat požadovanou hodnotu Vyrábíme dva výrobky V1 a V2, které se oba zpracovávají na dvou strojích A a B (je dáno jak dlouho na každém stroji). Doba dostupnosti strojů během dne je omezená. Každý výrobek má jiný zisk při prodeji (prodejní cena - náklady) Stanovte takovou strukturu výroby, při které bude dosaženo maximálního zisku při prodeji. V1… počet výrobků V1 V2… počet výrobků V2 Z… celkový zisk při prodeji

Optimalizační úlohy – Lineární programování Př. Optimální výrobní program – maximalizace zisku Doba zpracování výrobku na strojiZisk ABKč/kus Výrobek V1226 Výrobek V2317 Stroj je dostupný (hodin/den)2416 Účelová funkce - množina rovnoběžných přímek, hledáme její maximum Omezení stroje A: Omezení stroje B:

Optimalizační úlohy – Lineární programování Př. Optimální výrobní program – maximalizace zisku v1 v2

Optimalizační úlohy – Lineární programování Př. Využití MS Excel – funkce Řešitel

Optimalizační úlohy – Lineární programování Př. Využití MS Excel – funkce Řešitel

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

Pravděpodobnost Výpočet – jen opakování Počet možných stavů v jevu Počet příznivých stavů v jevu Pravděpodobnost je poměr příznivých a možných stavů

Pravděpodobnost Sportka Pravděpodobnost výhry v prvním pořadí tahu Sportky na jednu sázenku (uhodnout kombinaci všech 6 čísel ze 49) Všech možných případů je Příznivý případ je jeden Pravděpodobnost je Výhry a pravděpodobnosti 1.pořadí (6 čísel) – 34 % + Jackpot1 ku , % 2.pořadí (5 + 1 číslo – dodatkové) – 5 %1 ku , % 3.pořadí (5 čísel) – 9 %1 ku , % 4.pořadí (4 čísla) – 12 %1 ku ,096 9 % 5.pořadí (3 čísla) – 40 %10 ku ,765 % Procenta představují podíl z jistiny, tedy z 50% všech vkladů na stanovené slosování této hry

Pravděpodobnost Hazardní hry Hazardní hra je hra šancí, náhody, při které je poměr vyplácené částky (výhry) nižší, než který by odpovídal skutečnému, matematicky vypočtenému, sázkovému poměru na základě teorie pravděpodobnosti. Každou (hazardní) hru můžeme vyjádřit jako množinu stavů („množinu výsledků“) Rozeberme tento příklad: házím kostkou a sázím vklad 1Kč, když padne sudá, dostanu 2Kč, jinak prohrávám vklad Množina výsledků Spravedlivost hry určujeme tzv. očekávanou hodnotou = váženým průměrem všech výsledků, v tomto případě: PadneVýsledek xi Pravděpo- dobnost pi 11/ / /6 61

Pravděpodobnost Očekávaná hodnota E(x) > 0 … výhoda pro hráče E(x) = 0 … spravedlivá hra E(x) < 0 … nevýhoda pro hráče Principem hazardních her je očekávaná hodnota < 0 !!! V případě dlouhodobé hry jsou nastaveny na prohru hráče.

Pravděpodobnost Ruleta – část.pravidla 1 Přesná sázka (na 1 číslo) 2 Rozdělená sázka (2 čísla) 3 Sázka na sloupec (12 čísel) 4 Vsázka na barvu 5 Vsázka na L/S … Hry výhry pravděpodobnost a očekávaná hodnota 1.přesná35:11 ku 37 2.rozdělená 2 čísla 17:12 ku 37 3.sloupec (12 čísel) 2:1 12 ku 37 4.barva (18 čísel) 1:1 18 ku 37 5.L/S (18 čísel) 1:1 18 ku 37

Pravděpodobnost Pozor na uváděné strategie Např. Martingale 1. Sázka = 1; Zvol Barvu 2. Vsadíš Sázku na Barvu 3. Když jsi vyhrál/a, zvol novou Barvu a Sázka = 1 4. Když jsi prohrál/a, Sázka := 2 * Sázka a jdi na krok 2. Zdánlivě je to vždy vítězná strategie – argumenty: Pravděpodobnost že padne Barva je v každém kroku 50% Během n-té sázky hry je stav: Vloženo: Při n-té sázce vyhraji (padne Barva) Tedy v každé hře vždy získám 1 ???

Pravděpodobnost Pozor na uváděné strategie Slabiny uvedené strategie Martingale Pravděpodobnost Barvy je v jednom kroku 18:37 = 48,65% musíme započítat že padne 0 a prohrajeme Výše sázky roste exponenciálně (stejně jako počet zrnek na šachovnici krále Šahrama) Není vyloučeno, že dojdeme na strop výše sázek v ruletě Není vyloučeno, že dojdeme na strop svého vkladu Spočítejme si očekávanou hodnotu Máme k dispozici celkem vklad (například 63 Kč) Pravděpodobnost prohry je Pravděpodobnost výhry je Očekávaná hodnota

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

Kryptografie Úlohy Alice posílá zprávu Bobovi Potřebuje zajistit, aby zprávu nikdo po cestě nemohl přečíst Potřebuje zkontrolovat, že zprávu nikdo po cestě nezměnil Řešením je použití šifrování Symetrické – stejné heslo pro zašifrování i odšifrování zprávy příklad - winzip Asymetrické – různá hesla pro zašifrování a odšifrování zprávy soukromý klíčuchovám veřejný klíčzveřejním příklady bankovní systémy, elektronický podpis, propojení sítí,

Kryptografie Užití metody Alice posílá zprávu Bobovi Potřebuje zajistit, aby zprávu nikdo po cestě nemohl přečíst Alice zašifruje zprávu svým soukromým klíčem Bob rozšifruje zprávu pouze Aliciným veřejným klíčem Potřebuje zkontrolovat, že zprávu nikdo po cestě nezměnil

Kryptografie po cestě nezměnil

Kryptografie – RSA asymetrická kryptografie A kde je ta matematika? Bezpečnost RSA je postavena na předpokladu, že rozložit velké číslo na součin prvočísel (faktorizace) je velmi obtížná úloha. Z čísla n = p*q je tedy v rozumném čase prakticky nemožné zjistit činitele p a q, protože není známý žádný algoritmus faktorizace, který by pracoval v polynomiálním čase vůči velikosti binárního zápisu čísla n. Naproti tomu násobení dvou velkých čísel je elementární úloha

Kryptografie – RSA asymetrická kryptografie Stručně princip RSA – Alice 1.Zvolí dvě různá velká náhodná prvočísla p a q 2.Spočítá jejich součin n = p.q 3.Spočítá hodnotu Eulerovy funkce φ(n) = (p − 1)(q − 1) 4.Zvolí celé číslo e < φ(n), nesoudělné s φ(n) 5.Najde číslo d tak, aby platilo d.e ≡ 1 (mod φ(n)) 6.Jestli e je prvočíslo tak, že kde (n, e) (n, d) Zašifrování zprávy Z → S Rozšifrování zprávy S → Z

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

GPS 27 obíhajících satelitů cca km na povrchem Země z každého místa na Zemi je vidět 4-12 satelitů satelity neustále vysílají zprávy čas poloha stav a pozice ostatních satelitů pro zjištění polohy potřebujeme minimálně 3 (prakticky ale 4) satelity od každého zjistíme jeho souřadnice a odeslaný čas pozorovatel se nachází na průsečíku tří/čtyř kulových ploch se středy v bodě, odkud vysílal příslušný satelit

GPS čtvrtý satelit slouží k výpočtu času je-li vidět více než 4 satelity, doplňuje se optimalizace (nalezení lepších řešení) – použije se metoda „nejmenších čtverců“ … užívá se k proložení naměřených bodů přímkou/křivkou

Kde potkáme aplikace matematiky – z praxe Užíváme je vědomě (pracovně i pro zábavu) teorie grafů finanční matematika optimalizační úlohy pravděpodobnost Užíváme je, ani o tom často nevíme kryptografie GPS programovací jazyky

Programovací jazyky Teorie formálních jazyků a gramatik Formální aparát popisující tvorbu a odvozování jazyka Na základě aplikací této teorie dnes překladače programovacích jazyků zpracovávají programy, kontrolují jejich správnost, kompilují a překládají. Další podrobnosti …

Děkuji za pozornost Mgr. Martin Kopka, MBA Karlov, 2012