Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Mocniny a odmocniny © RNDr. Jiří Kocourek 2013 Podmínky používání prezentace Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Mocniny a odmocniny © RNDr. Jiří Kocourek 2013 Podmínky používání prezentace Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho."— Transkript prezentace:

1 Mocniny a odmocniny © RNDr. Jiří Kocourek 2013 Podmínky používání prezentace Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho uživatele je zdarma. Použití pro výuku jako podpůrný nástroj pro učitele či materiál pro samostudium žáka, rovněž tak použití jakýchkoli výstupů (obrázků, grafů atd.) pro výuku je podmíněno zakoupením licence pro užívání software E-učitel příslušnou školou. Cena licence je 250,- Kč ročně a opravňuje příslušnou školu k používání všech aplikací pro výuku zveřejněných na stránkách Na těchto stránkách je rovněž podrobné znění licenčních podmínek a formulář pro objednání licence.www.eucitel.czlicenčních podmínekobjednání licence Pro jiný typ použití, zejména pro výdělečnou činnost, publikaci výstupů z programu atd., je třeba sjednat jiný typ licence. V tom případě kontaktujte autora pro dojednání podmínek a smluvní ceny. OK

2 Mocniny a odmocniny © RNDr. Jiří Kocourek 2013

3 Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3·3 = 3 2 (– 5)·(– 5)·(– 5)·(– 5) = (– 5) 4 – · – · – = –

4 Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: Pro libovolné reálné číslo a a libovolné přirozené číslo n je: a n = a · a · a ·.... · a n - krát 3·3 = 3 2 (– 5)·(– 5)·(– 5)·(– 5) = (– 5) 4 – · – · – = –

5 Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: Pro libovolné reálné číslo a a libovolné přirozené číslo n je: a n = a · a · a ·.... · a n - krát a... základ (mocněnec) n... exponent (mocnitel) 3·3 = 3 2 (– 5)·(– 5)·(– 5)·(– 5) = (– 5) 4 – · – · – = –

6 Počítání s mocninami a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí:

7 Počítání s mocninami a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s =

8 Počítání s mocninami a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a r – krát s – krát

9 Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

10 Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát (a r ) s = a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

11 Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát s – krát (a r ) s = a ·.. · a · a ·.. · a ·.... · a ·.. · a r – krát a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

12 Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát s – krát (a r ) s = a ·.. · a · a ·.. · a ·.... · a ·.. · a = a (r · s) r – krát a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

13 arar Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát s – krát r – krát asas = a = 0 ; r > s (a r ) s = a ·.. · a · a ·.. · a ·.... · a ·.. · a = a (r · s) a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

14 arar Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát s – krát r – krát asas = a ·.... · a · a ·.... ·a s – krát r – krát a ·.... · a s – krát a = 0 ; r > s (a r ) s = a ·.. · a · a ·.. · a ·.... · a ·.. · a = a (r · s) a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

15 arar Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát s – krát r – krát asas = a ·.... · a · a ·.... ·a s – krát r – krát a ·.... · a s – krát = a ·.... ·a (r – s) – krát a = 0 ; r > s (a r ) s = a ·.. · a · a ·.. · a ·.... · a ·.. · a = a (r · s) a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

16 arar Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a r · a s = a · a · a ·.... · a · a · a · a ·.... · a = a (r + s) r – krát s – krát s – krát r – krát asas = a ·.... · a · a ·.... ·a s – krát r – krát a ·.... · a s – krát = a ·.... ·a = a (r – s) (r – s) – krát a = 0 ; r > s (a r ) s = a ·.. · a · a ·.. · a ·.... · a ·.. · a = a (r · s) a 1 = a ; 1 n = 1·1·1·.... ·1 = 1 ; 0 n = 0·0·0·.... ·0 = 0

17 Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n =

18 Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát

19 Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát = a · b · a · b ·.... · a · b n – krát

20 Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát = a · b · a · b ·.... · a · b = (a · b) n n – krát

21 bnbn Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát = a · b · a · b ·.... · a · b = (a · b) n n – krát anan = b = 0

22 bnbn Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát = a · b · a · b ·.... · a · b = (a · b) n n – krát anan = a · a · a ·.... · a b · b · b ·.... · b n – krát b = 0

23 = · ·.... · = bnbn Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát = a · b · a · b ·.... · a · b = (a · b) n n – krát anan = a · a · a ·.... · a b · b · b ·.... · b n – krát b a b a b a b = 0

24 = · ·.... · = bnbn Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: a n · b n = a · a · a ·.... · a · b · b · b ·.... · b = n – krát = a · b · a · b ·.... · a · b = (a · b) n n – krát anan = a · a · a ·.... · a b · b · b ·.... · b n – krát b a b a b a b a n b = 0

25 asas Pravidla pro počítání s mocninami (s přirozeným exponentem) Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a n · b n = (a · b) n bnbn anan = b a n ; b = 0 (a r ) s = a (r · s) arar = a (r – s) ; a = 0 ; r > s a r · a s = a (r + s)

26 asas Pravidla pro počítání s mocninami (s přirozeným exponentem) Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: a n · b n = (a · b) n bnbn anan = b a n ; b = 0 a r · a s = a (r + s) arar = a (r – s) ; a = 0 ; r > s Poznámka: Pro součet či rozdíl mocnin (tedy pro výrazy typu a r + a s, a r – a s, atd.) žádné obecné vzorce neexistují. (a r ) s = a (r · s)

27 Zobecnění pojmu mocnina pro jiné než přirozené exponenty Mocninu již v tomto případě nelze definovat jako vícenásobný součin. Základní myšlenka zobecnění: Aby měla definice smysl, je nutné zachovat platnost všech pravidel pro počítání s mocninami.

28 Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): a 0 = Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n :

29 Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): a 0 = a (n – n) Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n :

30 anan Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): anan a 0 = a (n – n) = Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : a = 0

31 anan Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): anan a 0 = a (n – n) = = 1 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : a = 0

32 anan Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): anan a 0 = a (n – n) = = 1 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : a –n = a = 0

33 anan Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): anan a 0 = a (n – n) = = 1 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : a –n = a (0 – n) a = 0

34 anan Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): anan a 0 = a (n – n) = = 1 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : a –n = a (0 – n) = a0a0 anan a = 0

35 anan Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): anan a 0 = a (n – n) = = 1 Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : a –n = a (0 – n) = = a0a0 anan 1 anan a = 0

36 Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a = 0 a libovolné celé číslo n je: a 0 = 1 a –n = 1 anan

37 asas Pravidla pro počítání s mocninami s celým exponentem Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná celá čísla n, r, s platí: a n · b n = (a · b) n bnbn anan = b a n ; b = 0 a r · a s = a (r + s) arar = a (r – s) ; a = 0 (a r ) s = a (r · s)

38 asas Pravidla pro počítání s mocninami s celým exponentem Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná celá čísla n, r, s platí: a n · b n = (a · b) n bnbn anan = b a n ; b = 0 a r · a s = a (r + s) arar = a (r – s) ; a = 0 Poznámka: Všechna pravidla zůstávají v platnosti, dokonce již nemusíme požadovat podmínku r > s u pravidla pro podíl mocnin. (a r ) s = a (r · s)

39 Odmocnina z reálného čísla: Pro libovolné nezáporné číslo a : a = k  k 2 = a ; k > 0 Druhá odmocnina:

40 Odmocnina z reálného čísla: Pro libovolné nezáporné číslo a : a = k  k 2 = a ; k > 0 Druhá odmocnina: a = k  k n = a ; k > 0 n – tá odmocnina: n Pro libovolné nezáporné číslo a, pro libovolné přirozené číslo n :

41 Odmocnina z reálného čísla: Pro libovolné nezáporné číslo a : a = k  k 2 = a ; k > 0 Druhá odmocnina: Pro libovolné nezáporné číslo a, pro libovolné přirozené číslo n : a = k  k n = a ; k > 0 n – tá odmocnina: n Poznámka: Pokud n je liché, připouštíme i odmocninu ze záporného čísla; v tom případě i samotná odmocnina je záporná.

42 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n :

43 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n

44 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n

45 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n Aby zůstala v platnosti pravidla pro počítání s mocninami, musí být mocnina a takové číslo k, pro které platí: k n = a, tedy: 1 n

46 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n k = a = a 1 n n Aby zůstala v platnosti pravidla pro počítání s mocninami, musí být mocnina a takové číslo k, pro které platí: k n = a, tedy: 1 n

47 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n k = a = a 1 n n Aby zůstala v platnosti pravidla pro počítání s mocninami, musí být mocnina a takové číslo k, pro které platí: k n = a, tedy: 1 n a = r s Pro libovolné nezáporné číslo a, pro libovolné přirozené číslo s a pro libovolné celé číslo r :

48 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n k = a = a 1 n n Aby zůstala v platnosti pravidla pro počítání s mocninami, musí být mocnina a takové číslo k, pro které platí: k n = a, tedy: 1 n a = a r · r s 1 s Pro libovolné nezáporné číslo a, pro libovolné přirozené číslo s a pro libovolné celé číslo r :

49 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n k = a = a 1 n n Aby zůstala v platnosti pravidla pro počítání s mocninami, musí být mocnina a takové číslo k, pro které platí: k n = a, tedy: 1 n a = a r · = (a r ) r s Pro libovolné nezáporné číslo a, pro libovolné přirozené číslo s a pro libovolné celé číslo r : 1 s 1 s

50 Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 = a ·n = (a ) n Pro libovolné nezáporné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n : 1 n 1 n k = a = a 1 n n Aby zůstala v platnosti pravidla pro počítání s mocninami, musí být mocnina a takové číslo k, pro které platí: k n = a, tedy: 1 n a = a r · = (a r ) = a r r s Pro libovolné nezáporné číslo a, pro libovolné přirozené číslo s a pro libovolné celé číslo r : s 1 s 1 s

51 Pro libovolné reálné číslo a > 0 a libovolná přirozená čísla n, r, s je: Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): a = a 1 n n a = a r r s s

52 asas Pravidla pro počítání s mocninami s racionálním exponentem Pro libovolná nezáporná reálná čísla a, b a pro libovolná racionální čísla n, r, s platí: a n · b n = (a · b) n bnbn anan = b a n ; b = 0 a r · a s = a (r + s) arar = a (r – s) ; a = 0 (a r ) s = a (r · s)

53


Stáhnout ppt "Mocniny a odmocniny © RNDr. Jiří Kocourek 2013 Podmínky používání prezentace Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho."

Podobné prezentace


Reklamy Google