Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Polynom proměnné x f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0 např.: f = 2x 5 – 3x 2 + 5x + 1.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Polynom proměnné x f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0 např.: f = 2x 5 – 3x 2 + 5x + 1."— Transkript prezentace:

1 polynom proměnné x f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0 např.: f = 2x 5 – 3x 2 + 5x + 1

2 f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0 a k x k členy a 0 absolutní člen a k koeficienty a n vedoucí koeficient n  N 0 stupeň polynomu

3 normovaný polynom vedoucí koeficient a n = 1 f = x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0 např.: f = x 3 + 4x 2 – 5

4 konstantní polynom nulový polynom a polynom stupně nula f = 0 f = a 0

5 lineární polynom polynom stupně 1 f = a 1 x + a 0 f = 5x + 1

6 kvadratický polynom polynom stupně 2 f = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f = 3x 2 + 5x + 1

7 kubický polynom polynom stupně 3 f = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f = 2x 3 + 3x 2 + 5x + 1

8 uspořádaná n-tice f = (a n, a n-1, …, a 0 ) f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0

9 rovnost polynomů f = (a n, a n-1, …, a 0 ) a g = (b n, b n-1, …, b 0 ) f = g  a i = b i pro i = 0, 1, …, n

10 součet polynomů f + g f = 2x 3 + 3x 2 – 5x + 2 g = 2x 2 + x – 4 f + g = = 2x 3 + (3 + 2)x 2 + (– 5 + 1)x + 2 – 4 = = 2x 3 + 5x 2 – 4x – 2

11 rozdíl polynomů f – g f = 2x 3 + 3x 2 – 5x + 2 g = 2x 2 + x – 4 f – g = = 2x 3 + (3 – 2)x 2 + (– 5 – 1)x = = 2x 3 + x 2 – 6x + 6

12 součin polynomů f.g f = x – 4 g = x 2 – 5x + 2 f.g = = x.(x 2 – 5x + 2) – 4.(x 2 – 5x + 2) = = x 3 – 5x 2 + 2x – 4x x – 8 = = x 3 – 9x x – 8

13 Dělení polynomu f polynomem g st(f) = n st(g) = m Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že  x  C platí: f = g.d + z st(z) < st(g) d podíl z zbytek

14 Dělte polynomy: (2x 3 + 3x 2 – x + 2) : (x + 3) =2x22x2 2x 3 + 6x 2 – 3x 2 – x + 2 – 3x – 3x 2 – 9x 8x x + 24 – 22

15 f = g.d + z polynom g  0 dělí polynom f právě tehdy, když zbytek z je roven nule tedy: f = g d polynom g je dělitelem polynomu f značíme g  f

16 Pomocná tvrzení 1.Polynom g nultého stupně je dělitelem každého polynomu. (2x 3 + 3x 2 – x + 2) : 4 = ½x 3 + ¾x 2 – ¼x + ½ 2.Jestliže g  f, f  0, pak st g  st f. f = g d st f = st g + st d 0  st g a 0  st d st g  st f

17 Pomocná tvrzení 3.Jestliže h  g a g  f, pak h  f. 4.Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo.

18 Společný dělitel dvou polynomů Polynom, který dělí dva dané polynomy se nazývá jejich společným dělitelem.

19 Polynom nultého stupně je dělitelem každého polynomu. Polynom nultého stupně je společným dělitelem libovolných dvou polynomů. Nesoudělné polynomy nemají již žádného dalšího společného dělitele Každé dva polynomy mají společného dělitele.

20 Největší společný dělitel Společný dělitel d polynomů g a f se nazývá jejich největším společným dělitelem právě tehdy, když je dělitelný libovolným společným dělitelem polynomů g a f. Symbolicky: 1.d  f a d  g 2. e  f a e  g  e  d

21 Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo. d = NSD ( g, f )  c.d = NSD ( g, f ), kde c  0 Ten, jehož vedoucí koeficient je 1 nazveme NSD(g, f).

22 Euklidův algoritmus f a g jsou nenulové polynomy f : g = d 1 (z 1 ) kde st z 1 < st g g : z 1 = d 2 (z 2 )kde st z 2 < st z 1 z 1 : z 2 = d 3 (z 3 )kde st z 3 < st z 2... z k-2 : z k-1 = d k (z k )kde st z k < st z k-1 z k-1 : z k = d k+1 (0) st g > st z 1 > st z 2 > …. > 0 z k je poslední nenulový zbytek, tj. NSD(g, f)

23 Výpočet NSD pracujeme jenom se zbytky prováděných dělení je jedno, zda k výpočtu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní násobek můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dělení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým číslem při praktických výpočtech se vyhneme zlomkům, které by komplikovaly výpočet

24 Kořeny polynomu

25 Kořen c  C polynomu f f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0  f(c) = 0 kořen algebraické rovnice a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0 = 0

26 Je c = –1 kořen polynomu x 4 – 2x 3 – 7x 2 + 8x + 12? (–1) 4 – 2.(–1) 3 – 7.(–1) (–1) + 12 = = – 7 – = 0 Algebraická rovnice x 4 – 2x 3 – 7x 2 + 8x + 12 = 0 má kořen x 1 = –1

27 kořen polynomu stupně 1 f = a 1 x + a 0 c = –a 0 /a 1 f = 5x + 3 c = –3/5 5x + 3 = 0 x = –3/5

28 kořeny polynomu stupně 2 f = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 má v C dva kořeny např.: x 2 – 2x – 3 má kořeny x 1 = 3 a x 2 = –1

29 Nejjednodušší příklady kořen nulového polynomu f = 0 c  C kořen polynomu stupně nula f = a nemá žádný kořen

30 Bézoutova věta Číslo c je kořenem polynomu f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0  (x–c)  f Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem b n-1 = a n.

31 f = x 6 – 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 – 24x Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f (x – 2)  ( x 6 – 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 – 24x ) ( x 6 – 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 – 24x ) : (x – 2) = = x 5 – 4x 4 + x x 2 – 4x – 8 Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1

32 Kořenový činitel ( x 6 – 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 – 24x ) = (x – 2).(x 5 – 4x 4 + x x 2 – 4x – 8) 2 je kořen polynomu f, x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.

33 Vícenásobný kořen Číslo c se nazývá k-násobný kořen polynomu f, jestliže (x–c) k dělí polynom f a (x–c) k+1 nedělí polynom f. Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý.

34 c je k-násobným kořenem polynomu f  (x–c) k  f f = (x–c) k. g

35 Dělení daného polynomu f polynomem x–c. f = (x–c). g + f(c) ověřování, zda c je kořen polynomu f zjišťování násobnosti kořene c výpočet zbytku po dělení polynomu f polynomem x – c [je roven f(c)]

36 Hornerovo schéma f = x 6 – 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 – 24x Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f 1–698– –4110–4–80 f = (x – 2).(x 5 – 4x 4 + x x 2 – 4x – 8)

37 Základní věta algebry. Ka ž dý polynom f stupně n  1 má alespoň jeden komplexní kořen (tj. buď reálný, nebo imaginární).

38 D´Alembertova věta. Počítáme-li ka ž dý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n  1 právě n komplexních kořenů. Označíme-li tyto kořeny c 1 … c n je možné polynom f rozložit na tvar f = a n (x – c 1 )(x – c 2 ) … (x – c n ).

39 polynom f (st f  1) je reducibilní (rozložitelný) právě tehdy když existují polynomy g, h (st g  1, st h  1) takové, že f = g.h. Jinak je polynom f ireducibilní (nerozložitelný). Polynomy g a h nazýváme faktory.

40 Příklady reducibilních a ireducibilních polynomů Lineární polynom f = a 1 x + a 0 = a 1 (x-c) (kde c je kořen) ireducibilní Kvadratický polynom f = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = a 2 (x-c 1 )(x-c 2 ) reducibilní

41 Polynomy vyššího stupně než 2 f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0 jsou vždy reducibilní: f = a n (x – c 1 )(x – c 2 ) … (x – c n ) (podle D´Alembertovy věty)


Stáhnout ppt "Polynom proměnné x f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 0 např.: f = 2x 5 – 3x 2 + 5x + 1."

Podobné prezentace


Reklamy Google