Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma."— Transkript prezentace:

1 1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí

2 2 Statika a dynamika Ve statice se předpokládá, že zatížení konstrukce se s časem: nemění mění se velmi pomalu Rovnováha je zajištěna mezi vnitřními a vnějšími silami Při větší rychlosti změn zatížení v čase se musí počítat s pohybovou energií, která je při pomalém zatížení nepodstatná V rovnicích rovnováhy kromě vnějších a vnitřních sil vystupují ještě síly setrvačné a tlumící a sestavují se rovnice pohybové (dynamické rovnováhy)

3 3 Dynamická zatížení Za dynamické zatížení považujeme ta, u kterých se mění dostatečně rychle alespoň jedna z následujících charakteristik: velikost směr působení smysl působení poloha působiště

4 4 Dynamická zatížení, rozdělení Účinky pohybujících se zatížení Účinky rotujících strojů a strojů generujících rázy Účinky větru Účinky zemětřesení (seizmicita) Nárazy pohybujících se těles Účinky výbuchu

5 5 Dynamika Je část mechaniky, která zkoumá a aplikuje zákony pro pohyb hmotných objektů v čase a v prostoru za účinku sil Newton formuloval tři základní principy: Princip setrvačnosti Princip síly Princip akce a reakce

6 6 Dynamika D´Alambertův princip Setrvačná sílu F in =ma je v každém okamžiku v rovnováze se silou zrychlující F. Platí: Platí i pro soustavu hmotných bodů. Setrvačné síly soustavy hmotných bodů vytvářejí s vnějšími silami rovnovážnou soustavu Vektorový součet všech vnějších sil působících na soustavu hmotných bodů a setrvačných sil je rovnováze.

7 7 Přímočaré kmitání vlastní Vychýlením hmotného bodu o hmotnosti m z rovnovážné polohy vznikne v péru síla F p =ky=Cy, kde C je tuhost (pérová konstanta) Proti pohybu hmotného bodu působí setrvačná síla F in =ma Z rovnováhy sil vyplývá: F p +F in =0, respektive Cy+ma=0 Protože

8 8 Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Rovnici lze upravit na tvar: Jde o diferenciální rovnici 2 řádu, lineární a homogenní. Řešením je rovnice harmonického kmitání:

9 9 Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Integrační konstanty C 1 a C 2 se v rovnici určí z počátečních podmínek: Rovnici lze také vyjádřit ve tvaru A je amplituda (maximální výchylka) a  0 fázový posun pro t=0

10 10 Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pro dráhu kmitavého pohybu je Pro rychlost kmitání pak platí : Pro zrychlení je

11 11 Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Ve vzorcích pro výpočet výchylky (posunutí), rychlosti a zrychlení kmitání je:  0 kruhová frekvence, úhel v radiánech za jednotku času f vlastní frekvence, počet kmitů za 1 sec [Hz] T doba periody (perioda), doba jednoho kmitu Platí: Tzv. kruhová frekvence je v daném případě funkcí pérové konstanty C a hmotnosti m. Není funkcí amplitudy.

12 12 Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pokud hmota na pružině bude uvedena do pohybu, bude kmitat. Nebude-li docházet ke ztrátám energie, pak tento pohyb se bude opakovat v pravidelných intervalech – periodách T – hovoříme o periodickém pohybu. Tento pohyb je vyjádřitelný goniometrickou funkcí a nazýváme jej jednoduchý harmonický pohyb nebo prostě harmonický. Hmota m na pružině s pérovou konstantou C bude mít vlastní frekvenci a vlastní tvar kmitání. Vlastní frekvence a vlastní tvar kmitání jsou charakteristické pro každou soustavu.

13 13 Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou Na hmotný bod na pružině bude působit harmonicky proměnná síla P: Pohybová rovnice je diferenciální rovnicí 2. řádu, nehomogenní:

14 14 Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou

15 15 Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou

16 16 Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou f 0 =n 0 =1s -1 f=n=3n 0 =3s -1 Výsledné kmitání je dáno součtem ada) a adb). Vlastní část kmitání vlivem útlumu s časem zaniká, po delším působení vynucené síly zůstává jen ustálené vynucené kmitání.

17 17 Vynucené kmitání, resonance Pro f=f o, respektive  =  0 je frekvence síly v resonanci s vlastní frekvencí soustavy. Pro vynucené kmitání je amplituda

18 18 Vynucené kmitání netlumené, resonance V rovnici

19 19 Útlum U netlumeného kmitání rozkmitaná soustava kmitá se stejnou amplitudou neomezeně dlouho Pohybu však vždy brání menší nebo větší brzdící síla způsobující útlum Příčiny útlumu jsou uvnitř i vně konstrukce a jsou různé (tření, odpor prostředí, deformace, porušení atd.) Matematické vyjádření útlumu je obtížné a v jednotlivých případech zcela odlišné Předpoklady se zjednodušují, často se volí smykové tření látek tuhých a viskosita (tření kapalné), i když nemusí přesně odpovídat realitě

20 20 Útlum při vlastním kmitání Při viskosním tření je útlum úměrný rychlosti kmitání. Rovnice rovnováhy je:

21 21 Útlum při vlastním kmitání, pokračování Diferenciální lineární rovnici 2. řádu, homogenní

22 22 Vlastní kmitání, kritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání a útlumu shodná:

23 23 Vlastní kmitání, kritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při kritickém útlumu jako funkce n b t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nenastane periodický pohyb. Útlum aperiodický.

24 24 Vlastní kmitání, nadkritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání menší než kruhová frekvence útlumu:

25 25 Vlastní kmitání, nadkritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při nadkritickém útlumu jako funkce n 0 t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nenastane periodický pohyb. Útlum aperiodický

26 26 Vlastní kmitání, podkritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při podkritickém útlumu jako funkce n 0 t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nastane periodický pohyb s proměnnou amplitudou.

27 27 Průběh výchylky vlastního kmitání při útlumu způsobeném smykovým třením Průběh výchylky vlastního kmitání. Při tomto útlumu nastane periodický pohyb s proměnnou amplitudou. Vlivem tření se nedostane hmotný bod do své výchozí polohy v bodě s´, ale do polohy s.

28 28 Útlum při vynuceném kmitání Působí-li na hmotný bod m zavěšeny na nehmotné pružině proměnná harmonická síla, má pohybová rovnice tvar: Jde o nelineární diferenciální rovnici 2. řádu. V této rovnici představuje 1.člen sílu danou hmotností a zrychlením hmotného bodu, 2.člen sílu při viskosním tření, 3.člen pružnou sílu vyvolanou výchylkou v pružině 4.člen (pravá strana) harmonicky proměnnou sílu

29 29 Útlum při vynuceném kmitání, příklad tlumeného kmitání vyvolaného náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou

30 30 Útlum při vynuceném kmitání, rozkmitání s útlumem při resonanci

31 31 Stupně volnosti Stupněm volnosti v dynamice rozumíme počet nezávislých veličin, který je nutný, aby byla určena okamžitá poloha a tvar uvažované soustavy. Hmotný bod zavěšený na nehmotné pružině má jeden stupeň volnosti. Hmotnosti m a tuhosti C (pérové konstantě) odpovídá jedna frekvence vlastního kmitání a tvar vlastního kmitání.

32 32 2. stupně volnosti Dvě hmoty na nehmotných perech mají dva stupně volnosti. U takové soustavy může nastat jednoduchý harmonický pohyb při dvou vlastních frekvencích.

33 33 2. stupně volnosti Soustava tvořící dvě hmoty na nehmotném nosníku má dva stupně volnosti. V určitém okamžiku je v bodě 1 výchylka v 1 (t) a v bodě 2 výchylka v 2 (t)

34 34 Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí V současné době se úlohy dynamiky stavebních konstrukcí řeší zpravidla při aplikaci MKP. Podmínka dynamické rovnováhy se v maticovém tvaru vyjadřuje následovně:

35 35 Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Řešením rovnice pro dané počáteční podmínky je přemístění uzlů v závislosti na čase Dále se určí rychlosti a zrychlení uzlů, složky napětí v prvcích, vnitřní síly, reakce atd. K základním úlohám dynamiky patří: a) výpočet vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů konstrukce, řeší se z rovnice, b) odezva konstrukce na harmonické zatížení, c) odezva konstrukce na obecné časově proměnné zatížení.

36 36 Použitá a doporučená literatura [1] Koloušek V., Dynamika stavebních konstrukcí, SNTL Praha 1954 [2] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II, Nakladatelství VUT Brno 1993 [3] Kolář, V., Němec, I., Kanický V., FEM – Principy a praxe metody konečných prvků Computer Press, 1997 [4] Pirner, M., a kol., Dynamika stavebních konstrukcí, Technický průvodce, SNTL Praha 1989


Stáhnout ppt "1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma."

Podobné prezentace


Reklamy Google