Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 02 Počítání harmonie Učíme se opět od starých Řeků

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 02 Počítání harmonie Učíme se opět od starých Řeků"— Transkript prezentace:

1 U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 02 Počítání harmonie Učíme se opět od starých Řeků

2 Jaké problémy z historie matematiky si vybereme dnes? Různé průměry a jejich vlastnosti Aritmetické a geometrické posloupnosti čísel Exponenciální funkce a nepřímá úměrnost Durové a mollové akordy Pythagorejská harmonie Počítání s kytarou

3 Chvála průměrnosti Základní potřebná fakta

4 Intelektuální rozcvička – úlohy Je dán obdélník, jehož strany mají délky a, b. Vypočítejte délku strany čtverce, který má: stejný obvod jako daný obdélník, stejný obsah jako daný obdélník, stejný poměr obsahu a obvodu jako daný obdélník.

5 Jak se počítají průměry? aritmetický geometrický harmonický Snadno lze dokázat, že platí: Jak to znázornit geometricky? Průměry.fig

6 Zajímavé poměry mezi průměry Pohledem na definice zjistíme, že platí: Jaké vztahy z toho lze odvodit?

7 Aritmetické a geometrické posloupnosti Jak se vytvářejí tyto posloupnosti? Postačí znát první člen a „výtvarný zákon“: u aritmetické se neustále přičítá jisté číslo, u geometrické se neustále násobí jistým číslem.

8 Jak souvisí posloupnosti s průměry? Soustřeďme se na tři po sobě jdoucí členy! Jak vypočítat prostřední z nich pomocí obou krajních? Aritmetická:a – d, a, a + d Geometrická: a / q, a, a. q Posloupnost vytvořená pomocí vztahu y = k / x se nazývá harmonická. Proč asi?

9 Konstrukce zajímavé funkce Vytvořme funkci, kde hodnoty nezávisle proměnné tvoří aritmetickou posloupnost a jim odpovídající hodnoty závisle proměnné tvoří geometrickou posloupnost. Například: Jaké vlastnosti tato funkce má? … … aritm a geom posl.xls

10 Co plyne ze základní vlastnosti této funkce? Funkce je popsána rovnicí y = 2 x, je definovaná na množině všech reálných čísel a pro libovolná x, y platí, že 2 x+y = 2 x. 2 y. Budeme jen usuzovat, co ze základní rovnice plyne, když budeme „šikovně“ volit hodnoty x a y !

11 Počítání harmonie

12 Poměry frekvencí tónů stanovené ve starém Řecku: oktáva 2 : 1 kvinta 3 : 2 kvarta 4 : 3 velká tercie 5 : 4 malá tercie 6 : 5

13 Jak dělili pythagorejci oktávu?

14 Jak dále dělili kvintu?

15 Jak počítat durové a mollové kvintakordy? Kvintakord se skládá se ze tří tónů. První a třetí tón tvoří kvintu (7 půltónů). Prostřední druhý tón tvoří s oběma krajními tercie. Pak jsou dvě možnosti: Dur velká tercie (4 půltóny) - malá tercie (3 půltóny) Moll malá tercie (3 půltóny) - velká tercie (4 půltóny)

16 Co je to temperované ladění? Výpočty frekvencí tónů u temperovaného ladění vycházejí z tohoto předpokladu: Frekvence jednotlivých po sobě jdoucích tónů tvoří geometrickou posloupnost. Temperované ladění.xls Harmonie.xls

17 Řetězce kvart a kvint

18 Jak můžeme jinak počítat frekvence?

19 Jaké jsou výsledky? Počet půltónůJméno intervaluFrekvence z kvartFrekvence z kvint 0prima2 0 : 3 0 = 1, : 2 0 = 1,000 1malá sekunda 2 8 : 3 5  1, : 2 11  1,068 2velká sekunda 2 16 : 3 10  1, : 2 3  1,125 3malá tercie 2 5 : 3 3  1, : 2 14  1,201 4velká tercie 2 13 : 3 8  1, : 2 6  1,266 5kvarta 2 2 : 3 1  1, : 2 17  1,352 6triton 2 10 : 3 6  1, : 2 9  1,424 7kvinta 2 18 : 3 11  1, : 2 1  1,500 8malá sexta 2 7 : 3 4  1, : 2 12  1,602 9velká sexta 2 15 : 3 9  1, : 2 4  1,687 10malá septima 2 4 : 3 2  1, : 2 15  1,802 11velká septima 2 12 : 3 7  1, : 2 7  1,898 12oktáva 2 20 : 3 12  1, : 2 18  2,027

20 Co je to pythagorejské comma, ptolemajovské comma a schizma? Vypočítejte poměry frekvencí z kvint a kvart pro jednotlivé tóny mimo primy a oktávy! Jaký výsledek jste obdrželi? Vypočítejte pro malou tercii poměry tří hodnot, které jsme již získali: 2 5 : 3 3  1,185 6 : 5  1, : 2 14  1,201

21 Co počítat o kytaře?

22 Jak se ladí kytara? Jednotlivé struny od nejnižší k nejvyšší jsou: e, a, d, g, h, e. Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: kvarta, kvarta, kvarta, velká tercie, kvarta. Tón e nejvyšší struny má být o dvě oktávy vyšší, než tón e nejnižší struny. Jaké chyby při ladění se dopustíme, když budeme dílčích pět intervalů ladit čistě?

23 Jak dlouhé jsou pražce na kytaře? Co plyne z faktu, že součin délky struny a frekvence jejího tónu je konstantní? Kytara.xls

24 Děkuji vám za pozornost.


Stáhnout ppt "U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 02 Počítání harmonie Učíme se opět od starých Řeků"

Podobné prezentace


Reklamy Google