Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Fraktálová geometrie. Matematické modely  vymezit zkoumaný systém  zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase  tvorba matematického.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Fraktálová geometrie. Matematické modely  vymezit zkoumaný systém  zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase  tvorba matematického."— Transkript prezentace:

1 Fraktálová geometrie

2 Matematické modely  vymezit zkoumaný systém  zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase  tvorba matematického modelu: vzájemný vztah základních veličin  výstupem matematického modelu jsou data popisující chování zkoumaného systému  ověření výstupních dat na reálném systému  korekce matematického modelu

3 Matematické modely  Výstupem může být i geometrický útvar  Příklady z oblasti biologie Program pro syntetický život TierraTierra Matematický model DNA generovaný počítačemDNA Matematický model jednoduché „evoluce“evoluce Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada?Vězňovo  Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti, nazýváme je fraktály

4 Fraktálová geometrie  Benoit Mandelbrot, Gaston Julia  Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature  La fractale, fractus, fraction  výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové křivce (Helge von Koch, 1904)Kochové křivce

5  křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná  celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu trojúhelníku  křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v kružnici, délka hranice : o... obvod trojúhelníku n … počet „dělení“ trojúhelníku Vlastnosti Kochové křivky

6  Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá : vnitřní homotetie (self-similarity)

7 Jakou má Kochové křivka dimenzi?  dimenze 0 : body  dimenze 1 : přímky  dimenze 2 : roviny  dimenze 3 : prostory  dimenze d : dimenze Kochové křivky?

8 Jakou má Kochové křivka dimenzi? 1< d <2

9 Je nutná nová definice dimenze !  Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou (topologickou) dimenzi  Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na geometrickém útvaru  přímka :  každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1, každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá určitý interval  rovina :  rovina má tedy dimenzi 2

10 Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu úsečku bude tedy Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2) na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro jeden čtverec bude bude Jiná definice dimenze

11 Pro krychli tedy platí : Není problém definovat krychli s eukleidovskou dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky platí : Z toho vyjádříme d : Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické (Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se někdy nazývá fraktálováfraktálová

12 Definice fraktálů Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují intuitivním a pracovním způsobem prostřednictvím obrázků či množin, které by se mohly označit za fraktální, a přitom se vyhýbáme jejich definování matematickým a kompaktním způsobem“

13 Definice fraktálů Mandelbrot : „A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.“ Překlad : „Fraktál je podle definice množina, pro kterou je Hausdorffova- Besicovitchova dimenze vyloženě větší než topologická dimenze.“

14 Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky „Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka se blíží k nějaké konečné hodnotě Kochové křivka : tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná (Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)

15 Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky N = 4 d =1,26

16 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Množina komplexních čísel :  Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná čísla  Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i  platí  algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b jsou libovolná reálná čísla  sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a násobení dvojčlenů v R  každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako bod o souřadnicích [a;b]

17 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů  iterace … opětovné užití téhož početního obratu, výsledek početního obratu je vstupem pro následující opakování téhož obratu  iterace v C … počáteční hodnota z = 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0] c je testované komplexní číslo pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle „rychlosti“ divergence

18 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar, který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set).Mandelbrotova množina Vlastnosti :  celá množina leží v kruhu o poloměru 2  množina je souvislá  fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál  obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách  každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví nové a nové strukrury

19 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Využití :  umění  modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace  počítačové benchmarky

20 Další zajímavé fraktály  Cantorův prach (Cantorovo mračno)prach  Sierpinského kobereckoberec  Mengerova houbahouba  Fraktálové rozhraní Newtonovy metodyNewtonovy  Počítačová grafika – imaginární krajinykrajiny

21 Použitá literatura Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996 Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha, 2003 Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha, 2001 Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003 Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And Company, New York, 2000 Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key College Publishing, Emeryville, California, 2000

22 Děkuji Vám za pozornost

23 červené proužky - hostitelé žluté proužky – parazité modré proužky – imunní hostitelé

24 vlevo model vpravo DNA v rastrovacím tunelovém mikroskopu

25 „Evoluční“ rovnice dN/dt=rN(K-N)-mN N … počet jedinců r … natalita m … mortalita K … „přepravní“ schopnost prostředí

26 Vězňovo dilema – červená zrádce po zrádci, žlutá zrádce po spolupracujícím, modrá spolupracující po spolupracujícím, zelená spolupracující po zrádci

27 Kochové křivka

28 Mandelbrotova množina

29 Cantorův prach, d = 0,63 (průnik „rozpadající se“ tyče se svou podélnou osou)

30 Mengerova houba, d = 2,7268

31 Sierpinského koberec, d = 1,8928

32 Newtonova iterační metoda pro

33 Fraktálové krajiny generované Barnsleyovou „kolážovou“ metodou“


Stáhnout ppt "Fraktálová geometrie. Matematické modely  vymezit zkoumaný systém  zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase  tvorba matematického."

Podobné prezentace


Reklamy Google