Obecná rovnice přímky v rovině

Obecná rovnice přímky v rovině Eliminací (vyloučením) parametru z parametrického vyjádření přímky p v rovině lze dospět k jejímu neparametrickému vyjádření, pro které platí věta: Každá přímka v rovině se dá analyticky vyjádřit lineární rovnicí ve tvaru ax + by + c = 0

Obecná rovnice přímky v rovině Proměnné x, y jsou souřadnice libovolného bodu přímky p. Čísla a, b jsou souřadnicemi normálového vektoru přímky p. Normálový vektor přímky je vektor kolmý na její směrový vektor.

Význam koeficientů a, b, c v obecné rovnici přímky a = 0 by + c = 0 Přímka je rovnoběžná s osou x. b = 0 ax + c = 0 Přímka je rovnoběžná s osou y. c = 0 ax + by = 0 Přímka prochází počátkem soustavy souřadnic.

Určete obecnou rovnici přímky p: x = 3 – 4t y = 2 + 3t Postup řešení: a) 1. rovnici násobíme číslem 3 b) 2. rovnici násobíme číslem 4

3x = 9 – 12t 4y = 8 + 12 t c) Rovnice sečteme 3x = 9 – 12t 4y = 8 + 12 t c) Rovnice sečteme. 3x + 4y = 17 3x + 4y – 17 = 0 Obecná rovnice přímky p je 3x + 4y – 17 = 0

Napište obecnou rovnici přímky, která je dána bodem M[-4; 1] a směrovým vektorem s = (-2; 3). Řešení: a) Souřadnice normálového vektoru n = (3; 2). koeficient a = 3 koeficient b = 2 3x + 2y + c = 0

b) hodnoty proměnných x, y určíme ze souřadnic bodu M[-4; 1] 3 b) hodnoty proměnných x, y určíme ze souřadnic bodu M[-4; 1] 3 . (-4) + 2 . 1 + c = 0 c = 10 Obecná rovnice přímky je 3x + 4y + 10 = 0.

Je dána rovnice přímky p: 3x – 4y + 6 = 0 Je dána rovnice přímky p: 3x – 4y + 6 = 0. a) Určete, zda body M[2; 3], N[-3; 1] leží na přímce p. b)Napište parametrické rovnice přímky p. Řešení: a) Dosadíme postupně souřadnice bodů M, N do rovnice přímky: 3 . 2 – 4 . 3 + 6 = 0 6 – 12 + 6 = 0 Bod M na přímce leží.

3. (-3) – 4. 1 + 6 = 0 -9 – 4 + 6 ≠ 0 Bod N na přímce neleží 3 . (-3) – 4 . 1 + 6 = 0 -9 – 4 + 6 ≠ 0 Bod N na přímce neleží. b) směrový vektor s = (-b; a) s = (4; 3) Můžeme použít souřadnice bodu M, protože víme, že na přímce leží: x = 2 + 4t y = 3 + 3t

Je dána přímka p: 2x – 3y – 6 = 0. Stanovte rovnici přímky a) m, která prochází bodem M[1; 2] a je rovnoběžná s přímkou p, b) r, která prochází bodem R[-3; 4] a je kolmá k přímce p.

Řešení: a)Normálový vektor n = (2; -3) přímky p. Normálový vektor rovnoběžné přímky m musí být kolineární, takže můžeme použít vektor n. a = 2, b = -3, x = 1, y = 2 2 . 1 -3 . 2 + c = 0 c = 4 Rovnice přímky m je 2x - 3y + 4 = 0.

Řešení: b) Normálový vektor přímky p je směrovým vektorem přímky k ní kolmé. Přímka r: s = (2; -3) n = (3; 2) a = 3, b = 2, x = -3, y = 4 3 . (-3) + 2 . 4 + c = 0 c = 1 Rovnice přímky r je 3x + 2y + 1 = 0

Procvičení: 1) Rozhodněte, zda jsou dané přímky rovnoběžné, nebo kolmé (pracujte s normálovými vektory přímek): a) p: 4x – y + 11 = 0 r: -x – 4y + 11 = 0 b) p: 2x + 3y – 4 = 0 r: -x – 1,5y + 2 = 0 2) Zjistěte, zda dané body leží na jedné přímce: a) A[5; -1], B[3; 4], C[5; -1] b) A[-2; 3], B[3; -5], C[3; 4]