Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2. Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny.

Prezentace na téma: "Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2. Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny."— Transkript prezentace:

1 Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2

2 Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h… Obvykle ji zapisujeme ve tvaru: nebo ve tvaru: y = f(x), např. y = 2x+1 f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce.

3 Opakování − zápis funkce f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

4 Opakování − obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Značí se: H(f) Hodnota závisle proměnné je pro danou funkci jednoznačně určena hodnotou argumentu x - proto „závisle“ proměnná. Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno − výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x).

5 Opakování − zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) 2) Tabulkou 3) Grafem f: y = 2x + 1 x-2012 y-3135

6 Lineární funkce Lineární funkce je funkce daná rovnicí y = ax + b kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem množina všech reálných čísel. y = 2x + 1 Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel, hovoříme o části lineární funkce. y = 0,5x - 3 y = -1/2x – 0,75 y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5

7 Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y = 2x - 1, pro x  R. x-2012 y-5-313 Grafem funkce je přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což označuje čáru nebo přímku. Funkci, jejímž grafem je přímka, říkáme lineární funkce.

8 Graf lineární funkce Je grafem lineární funkce každá přímka? Ano. Ne! Proč? Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo.

9 Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: Vlastnosti lineárních funkcí x24 y21 x24 y0 x24 y-2-3 Jsou-li dvě lineární rovnice určeny rovnicemi y = a 1 x + b 1 ; y = a 2 x + b 2 a jestliže a 1 = a 2, pak grafy těchto funkcí jsou navzájem rovnoběžné přímky.

10 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b (koeficient a = 1). x01 y23 b = 2: y = x + 2 x01 y12 b = 1: y = x + 1 x01 y01 b = 0: y = x x01 y0 b = -1: y = x - 1 x01 y-2 b = -2: y = x - 2 Koeficient b určuje posunutí grafu ve směru osy y. Udává y-ovou souřadnici průsečíku s osou y.

11 Vlastnosti lineární funkce y = ax + b y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = - 1/2x – 0,75 y = - 5x + 3/4 y = - 3x + 1,5 Budeme nyní zkoumat, jak se mění graf lineární funkce v závislosti na změně koeficientu a.

12 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1

13 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1

14 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1 x01 y11 a = 0: y = 1

15 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1 x01 y11 a = 0: y = 1 x01 y10 a = -1: y = -x + 1

16 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1 x01 y11 a = 0: y = 1 x01 y10 a = -1: y = -x + 1 x01 y1 a = -2: y = -2x + 1

17 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1 x01 y11 a = 0: y = 1 x01 y10 a = -1: y = -x + 1 x01 y1 a = -2: y = -2x + 1 Funkce f je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1 < x 2, pak f(x 1 ) < f(x 2 ). a > 1 funkce rostoucí

18 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1 x01 y11 a = 0: y = 1 x01 y10 a = -1: y = -x + 1 x01 y1 a = -2: y = -2x + 1 Funkce f je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1 f(x 2 ). a < 1 funkce klesajícící

19 Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). x01 y13 a = 2: y = 2x + 1 x01 y12 a = 1: y = x + 1 x01 y11 a = 0: y = 1 x01 y10 a = -1: y = -x + 1 x01 y1 a = -2: y = -2x + 1 Zvláštní případ lineární funkce y = b se nazývá konstantní funkce. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. a = 0 funkce konstantní

20 Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = -0,75 y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5 Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte.

21 Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = -0,75 y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5 rostoucí konstantní klesající Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte.

22 Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 5x + 9 y = -3 – 5x y = 5,25 y = -1/2x + 3/4 y = 1,5 + 0,5x y = 2/5 - x

23 Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 5x + 9 y = -3 – 5x y = 5,25 y = -1/2x + 3/4 y = 1,5 + 0,5x y = 2/5 - x rostoucí klesající konstantní klesající rostoucí klesající

24 Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí V téže soustavě souřadnic sestrojte grafy lineárních funkcí: y = x + 1 y = 3x + 1 y = -3x + 1

25 Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí V téže soustavě souřadnic sestrojte grafy lineárních funkcí: y = x + 1 y = 3x + 1 y = -3x + 1