Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 FFZS-05 Kmity a vlnění http://stein.upce.cz/msfzs13.html http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_05.ppt Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 04.11.2013

Hlavní body Kmity Harmonické kmity obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené Harmonické kmity Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie Skládání kmitů, tlumené a nucené kmity Úvod do vlnění – obecné a harmonické vlny Popis, periodicita v čase a prostoru, přenos energie Stojaté vlny, interference vln, Dopplerův jev 04.11.2013

Úvod do kmitů a vlnění I K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační. Jejich existence vyplývá z elastického charakteru sil, působících mezi částicemi. V přírodě jsou značně rozšířeny. Vibrační energie je důležitým druhem energie. 04.11.2013

Úvod do kmitů a vlnění II Kmit je nejobecněji pohyb hmotného bodu, který je omezen v prostoru. Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které přenáší energii ale nepřenáší hmotu Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat: rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádné síly návratové síly - snaží se o návrat do rovnovážné polohy musí se jednat o stabilní rovnováhu 04.11.2013

Druhy kmitů I Charakter kmitů (chování výchylky v čase) je určen: konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu. možnou přítomností sil disipativních (ztrátových). Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelně opakuje. Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času. 04.11.2013

Druhy kmitů II Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátám mechanické energie. Potom se jedná o tzv. kmity netlumené. Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za jistou dobu zastaví. To je typické pro kmitání tlumené. 04.11.2013

Druhy kmitů III Striktně vzato, každé reálné kmitání je tlumené. Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože : tlumení může být zanedbatelně malé nebo energie, o kterou kmitající systém přichází, může být vhodným způsobem doplňována. 04.11.2013

Druhy kmitů IV Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť: jejich existence sice vyžaduje speciální typ návratových sil. Takové se ovšem vyskytují často. každý periodický pohyb lze vyjádřit jako součet (Fourierovu řadu) harmonických kmitů. každý obecný kmit lze vyjádřit jako součet (Fourierův integrál) harmonických kmitů. Součet i integrál jsou lineární operace  mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity I Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci : hmotný bod se může pohybovat na přímce, kterou ztotožníme například s osou x. počátek zvolíme v rovnovážné poloze Charakter kmitů je dán návratovou silou : návratová síla je přímo úměrná výchylce 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity II Najděme práci potřebnou k dosažení výchylky x : protože síla není konstantní, ale závisí na výchylce, musíme integrovat. Tento vztah je symetrický: Pro docílení kladné i záporné výchylky musíme dodat kladnou práci. Tomu odpovídá potenciálová jáma ve tvaru paraboly. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity III požadovaná síla může existovat v libovolném poli, např. gravitačním nebo elektrostatickém, které má potenciál a potenciálovou jámu lze v rozsahu kmitů aproximovat parabolou taková síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu, je parametr úměrnosti k úměrný příslušnému Youngovu modulu a nazývá se například tuhost pružiny. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity IV Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovou rovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu : Vyzkoušíme řešení například ve tvaru : 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity V Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice : Odtud snadno vyjádříme  : Pod odmocninou je tedy poměr elastických a setrvačných vlastností! 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity VI Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat: Úhlová frekvence  popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i zde frekvenci f a periodu T : 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity VII Protože výchylka vznikla dvojí integrací, obsahuje dvě integrační konstanty : amplitudu x0, která má význam největší možné výchylky a fázi , pomocí níž lze popsat i kmity, které měly určitou počáteční výchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas. jejich hodnoty se a tedy i přesné chování kmitu se určují z okrajových podmínek. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity VIII Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení : 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity IX Vidíme důležité vlastnosti těchto veličin: Rychlost se předchází před výchylkou o čtvrtinu periody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr. Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v protifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity X Vyšetříme časovou závislost energie, která zjevně musí mít dvě složky : kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje určitou časově proměnnou rychlostí a potenciální, protože k posunutí hmotného bodu do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztráty energie zanedbatelné. Její velikost jsme již odvodili při zkoumání návratové síly. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity XI Tedy : V kinetické energii dosadíme za  : 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity XII Pro celkovou energii tedy platí : užitím identity dostáváme : 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity XIII Vidíme důležité vlastnosti : Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru. Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisí na její orientaci. Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy a během kmitu se mění z potenciální na kinetickou a zpět. 04.11.2013

Netlumené harmonické kmity XIV Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se. Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii. Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku. Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě. 04.11.2013

Příklady – Fyzické kyvadlo I Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v gravitačním poli. Výjimkou je ale například torzní kyvadlo Fyzickým kyvadlem může být jakékoli tuhé těleso, které se může otáčet kolem pevné osy, vzdálené o jisté nenulové a od těžiště. Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou. 04.11.2013

Fyzické kyvadlo II Úhlová frekvence kyvadla  je : Zde G je tíha a J moment setrvačnosti. V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávají systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor. Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení. 04.11.2013

Matematické kyvadlo Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo matematické. Jeho veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení např. na nehmotném vlákně. Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2. Pro úhlovou frekvenci  resp. periodu T dostáváme : 04.11.2013

Skládání kmitů I Působí-li několik různých návratových sil, může hmotný bod vykonávat několik kmitavých pohybů současně. Obecně platí, že složený kmit je superpozicí jednotlivých kmitů a výchylka v určitém okamžiku je superpozicí jednotlivých výchylek. Často nás zajímá, za jakých podmínek bude výsledný kmit periodický či dokonce harmonický. 04.11.2013

Skládání kmitů II I když jsou skládající se kmity harmonické je výsledný kmit obecně aperiodický. Speciálně: Je-li jedna frekvence racionálním násobkem druhé, bude výsledný kmit periodický. Jsou-li si výchozí frekvence rovny, je výsledný kmit dokonce harmonický. Zde rozebereme několik speciálních případů skládání harmonických kmitů. 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce I Jsou-li harmonické kmity stejné frekvence, mohou se lišit pouze amplitudou nebo fází. Jejich výsledný kmit : má opět stejnou frekvenci jako každý z kmitů. jeho výslednou amplitudu a fázi lze vypočítat jako součet dvojrozměrných vektorů nebo komplexních čísel. 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce II Dokážeme tvrzení pro dva kmity. Důkaz lze potom snadno rozšířit pro více kmitů. Předpokládejme dva kmity určené parametry x10, 1 a x20, 2. Platí : cosiny rozložíme pomocí součtových vzorců, přeskupíme a opět složíme pomocí součtového vzorce : 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce III 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce IV Výsledný kmit má úhlovou frekvenci , stejnou jako skládané kmity, amplitudu x120 a fázi . Amplituda a fáze výsledného kmitu jsou určeny amplitudami a fázemi kmitů skládaných. Každý kmit tedy musíme charakterizovat dvourozměrnou veličinou, která nese informaci o amplitudě a fázi, buď speciálním vektorem – fázorem nebo komplexním číslem. Ilustrujme popis skládání kmitů pomocí fázorů : 04.11.2013

*Skládání kmitů v jedné přímce V zobrazme kmit pomocí vektoru, jehož velikost je rovna amplitudě x10 a úhel, který svírá s kladnou částí osy x úhel rovný fázi . kdyby takový vektor rotoval s úhlovou rychlostí , byl by jeho průmět do osy x roven výchylce kmitu. Vektor, popisující druhý kmit, má obecně jinou velikost i počáteční směr, ale rotuje se stejnou úhlovou rychlostí Oba vektory jsou tedy vzájemně v klidu. Můžeme zavést souřadnou soustavu, rotující také s úhlovou rychlostí . Potom oba kmity i jejich výsledný kmit v této soustavě v klidu. 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce VI V předchozím závěru vidíme, že první složka výsledného kmitu je tedy součet prvních složek kmitů skládaných : a podobně složka druhá : To přesně odpovídá sčítání vektorů. 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce VII Zajímavý případ nastává, když frekvence obou kmitů nejsou stejné, ale jsou blízké. Pro jednoduchost budeme předpokládat u obou stejnou amplitudu a nulovou fázi : 04.11.2013

Skládání kmitů v jedné přímce VIII Výsledný kmit má : frekvenci rovnou průměrné frekvenci obou kmitů, srovnatelnou s původními frekvencemi a je modulován kmitem s frekvencí rovnou jejich rozdílu. To může být velmi nízká frekvence. V akustice se tomuto jevu říká zázněje nebo rázy. 04.11.2013

Skládání kmitů kolmých I Výsledkem je kmit, který je superpozicí původních kmitů a obecně se odehrává v dvojrozměrném prostoru – rovině. Mají-li oba kmity stejnou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky se stejnou frekvencí po elipse, která se v závislosti na počátečních podmínkách může zjednodušit na kružnici, či přímku. 04.11.2013

Skládání kmitů kolmých II Mají-li oba kmity blízkou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky s průměrnou frekvencí obecně po elipse, jejíž velikost se mění s pomalejší periodou. Dají-li se frekvence obou kmitů vyjádřit jako poměr celých čísel, hmotný bod se periodicky pohybuje po Lyssajousově křivce. 04.11.2013

Tlumené kmity I U reálných kmitů obvykle dochází ke ztrátám energie a jsou tedy tlumené. Vyšetříme jednoduchý případ, kdy brzdící síla závisí na (první mocnině) rychlosti, což je v souladu například se Stokesovým zákonem : 04.11.2013

Tlumené kmity II Pohybová rovnice má v tomto případě tvar : Jedná se o diferenciální rovnici druhého řádu, jako v případě netlumených kmitů, ale nyní obsahuje i člen řádu prvního. To mírně komplikuje řešení, ale hlavně jeho charakter silně závisí na počátečních podmínkách, hlavně míře tlumení 04.11.2013

*Tlumené kmity III Rovnici přeskupíme a vydělíme m. Zavedeme konstantu tlumení 2 = b/m a použijeme úhlovou frekvenci netlumených kmitů 20=k/m : Předpokládáme řešení ve tvaru: 04.11.2013

*Tlumené kmity IV Po dosazení dostáváme charakteristickou kvadratickou rovnici pro  : Její řešení závisí na míře tlumení, která se projeví na diskriminantu : 04.11.2013

*Tlumené kmity V Pro velké tlumení je diskriminant kladný a výsledkem je jeden přetlumený kmit, který nemusí ani dosáhnout rovnovážné polohy. Situace pro nulový diskriminant se nazývá kritické tlumení a rovnovážné polohy je dosaženo, ale akorát není překročena. zajímavým řešením je málo tlumený pohyb. 04.11.2013

*Tlumené kmity VI Zavedeme novou úhlovou frekvenci  : A tedy : Obecné řešení můžeme psát jako : 04.11.2013

*Tlumené kmity VII Použijeme okrajových podmínek : Takže konečně : 04.11.2013

Tlumené kmity VII Pro málo tlumené kmity, kdy   0 , je : Kde : Výsledný kmit je superpozicí harmonického kmitu s menší úhlovou frekvencí než měl kmit netlumený a exponenciálně se snižující amplitudy. 04.11.2013

Tlumené kmity VIII Bývá zvykem zavádět útlum  jako poměr amplitud vzdálených jednu periodu : nebo jeho logaritmus, zvaný logaritmický dekrement : 04.11.2013

Nucené kmity I Důležitá je situace, kdy na oscilátor s vlastní úhlovou frekvencí  působí periodická síla s frekvencí . Pohybovou rovnici, předpokládáme-li i tlumení, lze napsat : Po vydělení m a úpravě: Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu. 04.11.2013

Nucené kmity II Řešení se skládá z tlumené části, která za určitou dobu zmizí a z části stabilní : Pro amplitudu stabilní části platí : 04.11.2013

Nucené kmity III Toto řešení má takzvaný rezonanční charakter, kdy je amplituda maximální pro  blízké 0. Rezonance : k nejefektivnějšímu přenosu energie do kmitajícího systému dochází, je-li budící frekvence rovna vlastní frekvenci. Příkladem je třeba dětská houpačka. 04.11.2013

Vlny I Prostředím složeným z hmotných bodů, z nichž každý může vykonávat kmity a mezi kterými jsou vazby, charakterizované například moduly E a G, se výchylka může šířit jako vlna – postupné kmitání v prostoru a čase. Podle charakteru vazeb může být vlnění : příčné, u něhož je výchylka kolmá ke směru šíření podélné, kde je výchylka se směrem šíření rovnoběžná superpozicí obojího 04.11.2013

Vlny II Vlnění je typické tím, že se prostorem šíří energie nebo informace, ale nešíří se hmota. Výchylka harmonické vlny, šířící se rychlostí c z počátku souřadné soustavy ve směru osy x v jistém místě x a čase t pozorování je : výchylka má obecně podélnou a příčnou složku znaménko “-” platí pro kladnou část osy x v bodě x je tedy výchylka, která byla v počátku s.s. před dobou x/c =  , za níž vlna do místa pozorování dospěla Dále uvažujme již jen velikost výchylky. 04.11.2013

Vlny III Výchylka každé vlny splňuje obecnou vlnovou neboli Laplaceovu rovnici : splňují ji i obecnější vlny, ale my se budeme podrobněji zabývat jen vlnami harmonickými, které se šíří v prostředí harmonických oscilátorů 04.11.2013

Vlny IV Harmonická vlna je periodická v čase i prostoru : kde  = cT je vlnová délka, čili dráha, kam vlna dospěje za jednu periodu. T tedy vyjadřuje periodicitu v čase a  v prostoru. 04.11.2013

Vlny V Z definice vlnové délky platí důležité vztahy: Často, například ve spektroskopii, se používá vlnočet, což je počet vln na jednotku délky : Je zjevně prostorovou analogií frekvence. 04.11.2013

Vlny VI Prostorovou analogií úhlové frekvence potom je vlnové číslo, jeho význam spočívá v možnosti kompaktního zápisu, který získáme po úpravě: Význam vlnového čísla vystihuje lépe jeho druhý název úhlový vlnočet. 04.11.2013

Vlny VII Dále platí : V třírozměrném prostoru, lze šíření vlny popsat pomocí vlnového vektoru , kde je jednotkový vektor mající směr šíření a jehož velikostí je právě vlnové číslo. Pro výchylku rovinné vlny v bodě platí : 04.11.2013

Rychlost šíření vln I Mějme vlnu, která se šíří například v napjaté struně. Maximální amplitudu si lze představit jako kopec, jehož vrchol se pohybuje rychlostí c. Elementy délky struny se na něm pohybují po dráze, kterou lze aproximovat částí kružnice. Aby toto bylo možné, musí složení tahů F (sil) sousedních elementů struny realizovat dostředivou sílu. 04.11.2013

Rychlost šíření vln II Předpokládáme malý úhel, který nahradíme parametry kružnice a hmotnost vyjádříme pomocí hustoty na jednotku délky  : Tedy : 04.11.2013

Rychlost šíření vln III Podobně jako tomu bylo u kmitů je v čitateli síla, která souvisí s elastickými vlastnostmi prostředí a ve jmenovateli lineární hustota, představující vlastnosti setrvačné. Pro rychlost zvuku například platí : Kde K je modul objemové pružnosti a  součinitel objemové stlačitelnosti, zavedený dříve : 04.11.2013

Energie vln I Vlnění je postupné kmitání jednotlivých oscilátorů podél jeho šíření. Lze tedy očekávat, že se bude prostřednictvím vlny šířit energie kinetická i potenciální. Přitom střední kinetická i střední potenciální energie bude polovina energie celkové. Střední kinetická energie na jednotku délky je : 04.11.2013

Energie vln II Tato energie se přenáší spolu s potenciální energií úsekem jednotkové délky rychlostí c, čili po derivaci podle času platí pro přenášený výkon : Výkon obsahuje parametry prostředí  a c vlastnosti vlny 2 a u02 04.11.2013

Skládání vln I Při skládání vln platí podobně jako při skládání kmitů princip superpozice. Ten je obecně realizován vektorovým nebo podle okolností prostým součtem. Jedná-li například o dvě příčná nebo podélná vlnění, šířící se v ose x, platí : 04.11.2013

Skládání vln II Pro charakter složené vlny platí obdoba téhož, jako při skládání kmitů. Obecně má vlna kromě amplitudy tři další parametry např. úhlovou frekvenci, vlnové číslo a fázi. Může kmitat totiž různě v čase a může mít i různou rychlost šíření a počáteční výchylku. Fázi zatím nebudeme uvažovat. 04.11.2013

Skládání vln III V určitém prostředí předpokládáme, že rychlost šíření nezávisí na úhlové frekvenci. Tím se počet nezávislých parametrů vlny redukuje na dva, takže platí přesně totéž, co pro skládání kmitů. V reálném prostředí rychlost šíření vln na úhlové frekvenci obecně závisí. Tento jev se nazývá disperze a je například v optice příčinou barevné vady čoček nebo rozkladu světla na optickém hranolu. 04.11.2013

Skládání vln IV Šíří-li se harmonické vlny stejnou rychlostí, ale liší se amplitudou a úhlovou frekvencí, je výsledná vlna obecně aperiodická. Za jistých okolností ale může být i periodická, dokonce i harmonická. Pravidla jsou obdobná jako u skládání kmitů a záleží tedy na vzájemných vlastnostech úhlových frekvencí: Mají-li racionální poměr, je výsledná vlna periodická. Jsou-li stejné, je výsledná vlna harmonická. 04.11.2013

Skládání vln V K zajímavému efektu dochází, mají-li vlny úhlovou frekvenci stejnou: V každém bodě se potom skládají kmity stejné frekvence Výsledkem je opět kmit stejné frekvence a určité amplitudy a fáze uvažujme pro jednoduchost vlny s jednotkovou amplitudou 04.11.2013

Skládání vln VI výsledná vlna je modulována veličinou závislou na vzájemném fázovém posunu. Zajímavé jsou dva extrémy konstruktivní interference, kdy vznikne vlna o dvojnásobné amplitudě destruktivní interference, kdy se vlny navzájem vyruší 04.11.2013

Stojaté vlnění I Zvláštním případem je složení vlny se svým odrazem na překážce Fázový posun zde zohledňuje skutečnosti, že podle charakteru překážky se může změnit fáze k odrazu může dojít v různých vzdálenostech 04.11.2013

Stojaté vlnění II Za vhodných okolností je vlna stabilní a je prostorově modulována. Existují na ní : kmitny – místa, kde je maximální rozkmit uzly – místa, kde se vlny úplně vyruší Například hudební nástroje zní na kmitočtech, při kterých vzniká konstruktivní interference vlny a jejího odrazu. Podmínce vyhovuje jistá základní frekvence a její násobky tzv. vyšší harmonické. Jejich relativní intenzita tvoří barvu zvuku. 04.11.2013

Skládání vln VII Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnou periodickou vlnu. Na tomto principu je založena Fourierova analýza. 04.11.2013

Skládání vln VIII Ukážeme si například složení kmitu pilového tvaru jako součtu : 04.11.2013

Dopplerův jev I Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence. Popišme pohyb : zdroje vlnění rychlostí v příjemce vlnění rychlostí u prostředí šíření rychlostí w rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než rychlost světla ve vakuu všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné 04.11.2013

Dopplerův jev II Předpokládejme stojící zdroj v počátku a stojící prostředí (v = w = 0) a pozorovatel (napravo od počátku) se vzdaluje od zdroje rychlostí u > 0. Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času. kdyby byl pozorovatel v klidu : 04.11.2013

Dopplerův jev III Když se pozorovatel pohybuje, vlny kolem něj neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí c - u. S použitím předchozího platí : Pro vzdalujícího se pozorovatele je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se by bylo u záporné a frekvence by byla vyšší. 04.11.2013

Dopplerův jev IV Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli. Během jedné periody T0 vyšle zdroj jednu vlnu. V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od bodu, odkud vysílal začátek o T0v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T0c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T0(c-v). Proto : Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se by byla frekvence opět vyšší. 04.11.2013

Dopplerův jev V Pohybuje-li se jen prostředí, a to rovnoměrně, přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění. Jsou-li ale nenulové i pohyby pozorovatele nebo zdroje, musí se změněná rychlost šíření vzít v úvahu a lze tedy napsat souhrnný vztah pro všechny možné vzájemné pohyby : 04.11.2013

Dopplerův jev VI Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v. Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdíl u - v. Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně. Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná. Souvisí s tím, že jen v případě pohybu zdroje jsou vlny v prostoru deformovány. 04.11.2013

Dopplerův jev VII Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom : tento vztah již symetrický je. v – u je vzájemná rychlost, kladná při přibližování platí i pro elektromagnetické vlny (světlo) 04.11.2013

Rychlost zvuku I - struna Mějme strunu dlouhou l = 1 m, vážící m = 4 g napnutou silou F = 10 N. Jak rychle se v ní šíří zvuk a jakými frekvencemi bude znít? Hustota na jednotku délky je μ = 4 10-3 kg/m a rychlost šíření zvuku je tedy : Frekvence zjistí z vlnové délky a rychlosti šíření : ^

Rychlost zvuku II - struna Vlnové délky jsou takové, při kterých dochází ke konstruktivní interferenci vln jdoucích oběma směry. Této podmínce vyhovují ty vlny, které mají na obou koncích struny uzly. Odpovídající frekvence jsou celistvým násobkem jisté frekvence základní, tzv vyšší harmonické : ^

Rychlost zvuku III - voda Pomocí výbuchů v malých hloubkách pod mořskou hladinou byla zjištěna rychlost šíření zvuku c = 1.43 103 m/s. Jak je stlačena voda v největších hlubinách na Zemi? Z hustoty mořské vody  = 1.03 103 kg m-3 a rychlosti zvuku v ní můžeme určit K modul její objemové pružnosti :

Rychlost zvuku IV - voda Součinitel objemové stlačitelnosti tedy je: a relativní stlačení : Relativní stlačení při atmosférickém tlaku 105 Pa tedy je 5 10-5 a na dně Mariánského příkopu, při tlaku cca 108 Pa, je zhruba 5%. Voda tedy není dokonale nestlačitelná. Kdyby byla zvuk by se v ní šířil nekonečně rychle! ^

Fyzické kyvadlo I Mějme fyzické kyvadlo, jehož těžiště je v rovnovážné poloze ve vzdálenosti a pod osou otáčení. Vychýlíme-li těžiště o malý úhel φ, objevuje se v důsledku gravitace moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy. Napišme pohybovou rovnici :

Fyzické kyvadlo II Pro malé kmity lze předpokládat sin(φ) ≈ φ a řešením zjednodušené rovnice : jsou na harmonické kmity : jejichž úhlová frekvence tedy je : ^

Matematické kyvadlo Po dosazení a = l, G = mg a J = ml2 do vztahu pro fyzické kyvadlo dostáváme : a pro periodu : ^

Časová a prostorová periodicita vlny Z periodicity funkce cos lze snadno ukázat, že v čase, před celistvým nebo po celistvém m násobku periody T, t2 = t1 + mT, čili je výchylka stejná jako v čase t1 : Podobně v místě x2 = x1 + nλ, čili místě vzdáleném o celistvý n násobek vlnové délky λ, je výchylka stejná jako v místě x1 : ^

Střední kinetická energie vlny I Kinetická energie kousíčku délky dx vlny závisí na rychlosti jeho kmitání. Je-li u výchylka, platí : Střední kinetickou energii na jednotku délky potom obdržíme integrací : ^

Střední kinetická energie vlny II Integrál lze rozložit využitím součtového vzorce na dva jednoduší integrály, nichž druhý bude nulový : ^

Střední kinetická energie vlny III Ukážeme, že druhý integrál je skutečně nulový : V předposledním kroku jsme dosadili za k=2π/λ a nakonec využili periodicitu funkce sin. ^