ŠKOLA:Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám. Míru 6, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU:CZ.1.07/1.5.00/ NÁZEV PROJEKTU:Peníze do škol ČÍSLO ŠABLONY:III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AUTOR:Mgr. Vítězslav Kurz TEMATICKÁ OBLAST: Posloupnosti a finanční matematika NÁZEV DUMu:Posloupnosti a řady - motivace POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu:01 KÓD DUMu:VY_32_INOVACE_2_1_01_KUR DATUM TVORBY: ANOTACE (ROČNÍK):Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.

Posloupnosti, řady - motivace Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: a)2, 9, 16, 23, 30, ? b)-9, -7, -4, -2, 1, 3, 6, ? c)-7, -3, -5, -1, -3, 1, -1, ? d)-2, 6, -18, 54, ? e)4, 5, 7, 10, 14, 19, ? Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? b)3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? c)1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? d)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ?, ? e)16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ?

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: a)2, 9, 16, 23, 30, ? Nejprve se snažíme vysledovat vztah mezi dvěma sousedními čísly.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: a)2, 9, 16, 23, 30, ? Nejprve se snažíme vysledovat vztah mezi dvěma sousedními čísly. Všimli jsme si, že se posloupnost stále zvětšuje o 7.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: a)2, 9, 16, 23, 30, ? Nejprve se snažíme vysledovat vztah mezi dvěma sousedními čísly. Všimli jsme si, že se posloupnost stále zvětšuje o 7. Další číslo je tedy 37.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: b) -9, -7, -4, -2, 1, 3, 6, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: b) -9, -7, -4, -2, 1, 3, 6, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly. Rozdíly sousedních čísel se střídají +2, +3, +2, +3, +2, …

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: b) -9, -7, -4, -2, 1, 3, 6, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly. Rozdíly sousedních čísel se střídají +2, +3, +2, +3, +2, … Jelikož jsme naposledy přičítali trojku, nyní musíme přičíst 2.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: b) -9, -7, -4, -2, 1, 3, 6, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly. Rozdíly sousedních čísel se střídají +2, +3, +2, +3, +2, … Jelikož jsme naposledy přičítali trojku, nyní musíme přičíst 2. Další číslo je 8.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: c) -7, -3, -5, -1, -3, 1, -1, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: c) -7, -3, -5, -1, -3, 1, -1, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly. Střídá se přičtení 4-ky a následně odečtení 2-ky.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: c) -7, -3, -5, -1, -3, 1, -1, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly. Střídá se přičtení 4-ky a následně odečtení 2-ky. Naposledy jsme odečítali dvojku, musíme tedy nyní přičíst 4.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: c) -7, -3, -5, -1, -3, 1, -1, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly. Střídá se přičtení 4-ky a následně odečtení 2-ky. Naposledy jsme odečítali dvojku, musíme tedy nyní přičíst 4. Další číslo je tedy 3.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: d) -2, 6, -18, 54, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly, ne vždy však nutně musí jít o přičtení nebo odečtení čísla.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: d) -2, 6, -18, 54, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly, ne vždy však nutně musí jít o přičtení nebo odečtení čísla. Čísla se neliší o nějaký číslo ale násobkem. A to konkrétně násobkem čísla -3.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: d) -2, 6, -18, 54, ? Opět se snažíme sledovat vztah mezi sousedními čísly, ne vždy však nutně musí jít o přičtení nebo odečtení čísla. Čísla se neliší o nějaký číslo ale násobkem. A to konkrétně násobkem čísla -3. Další číslo je tedy -162.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: e) 4, 5, 7, 10, 14, 19, ? Snažíme se zjistit rozdíly sousedních čísel.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: e) 4, 5, 7, 10, 14, 19, ? Snažíme se zjistit rozdíly sousedních čísel. Rozdíly jsou postupně: +1, +2, +3, +4, +5, … Tedy neustále zvětšujeme číslo, které přičítáme.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: e) 4, 5, 7, 10, 14, 19, ? Snažíme se zjistit rozdíly sousedních čísel. Rozdíly jsou postupně: +1, +2, +3, +4, +5, … Tedy neustále zvětšujeme číslo, které přičítáme. Další na řadě je tedy +6.

Příklad 1: Př.1: Určete, které číslo logicky doplňuje posloupnost čísel: e) 4, 5, 7, 10, 14, 19, ? Snažíme se zjistit rozdíly sousedních čísel. Rozdíly jsou postupně: +1, +2, +3, +4, +5, … Tedy neustále zvětšujeme číslo, které přičítáme. Další na řadě je tedy +6. Další číslo je tedy 25.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? Nyní budeme určovat hned dvojici čísel. Zde už se vyplatí sledovat buď po dvojicích a nebo jestli řada není náhodou složena ze dvou řad.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? Nyní budeme určovat hned dvojici čísel. Zde už se vyplatí sledovat buď po dvojicích a nebo jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Podíváme se na řadu odděleně: 1, 2 4, 5 10,11 22,23 Je vidět, že tyto dvojice se liší o +1.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? Nyní budeme určovat hned dvojici čísel. Zde už se vyplatí sledovat buď po dvojicích a nebo jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Podíváme se na řadu odděleně: 1, 2 4, 5 10,11 22,23 Je vidět, že tyto dvojice se liší o +1. Pokud se na řadu podíváme takto: 12,4 5,10 11,22 23 Tak si všimneme, že zde probíhá dvojnásobek.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? Nyní budeme určovat hned dvojici čísel. Zde už se vyplatí sledovat buď po dvojicích a nebo jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Podíváme se na řadu odděleně: 1, 2 4, 5 10,11 22,23 Je vidět, že tyto dvojice se liší o +1. Pokud se na řadu podíváme takto: 12,4 5,10 11,22 23 Tak si všimneme, že zde probíhá dvojnásobek. My jsme naposledy přičítali +1. První neznámé číslo tedy získáme dvojnásobkem předchozího.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? Nyní budeme určovat hned dvojici čísel. Zde už se vyplatí sledovat buď po dvojicích a nebo jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Podíváme se na řadu odděleně: 1, 2 4, 5 10,11 22,23 Je vidět, že tyto dvojice se liší o +1. Pokud se na řadu podíváme takto: 12,4 5,10 11,22 23 Tak si všimneme, že zde probíhá dvojnásobek. My jsme naposledy přičítali +1. První neznámé číslo tedy získáme dvojnásobkem předchozího. Druhé neznámé číslo získáme opět přičtením +1.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: a)1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, ?, ? Nyní budeme určovat hned dvojici čísel. Zde už se vyplatí sledovat buď po dvojicích a nebo jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Podíváme se na řadu odděleně: 1, 2 4, 5 10,11 22,23 Je vidět, že tyto dvojice se liší o +1. Pokud se na řadu podíváme takto: 12,4 5,10 11,22 23 Tak si všimneme, že zde probíhá dvojnásobek. My jsme naposledy přičítali +1. První neznámé číslo tedy získáme dvojnásobkem předchozího. Druhé neznámé číslo získáme opět přičtením +1. Další čísla jsou tedy 46, 47.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: b) 3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? Opět budeme sledovat po dvojicích:

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: b) 3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? Opět budeme sledovat po dvojicích: 3-9, 5-15, Vidíme trojnásobek.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: b) 3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? Opět budeme sledovat po dvojicích: 3-9, 5-15, Vidíme trojnásobek. Pokud si řadu rozdělíme takto: ? Tak si všimneme, že se mění o -4.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: b) 3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? Opět budeme sledovat po dvojicích: 3-9, 5-15, Vidíme trojnásobek. Pokud si řadu rozdělíme takto: ? Tak si všimneme, že se mění o -4. Naposledy jsme násobili číslem 3. První číslo tedy dostaneme že zmenšíme o 4.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: b) 3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? Opět budeme sledovat po dvojicích: 3-9, 5-15, Vidíme trojnásobek. Pokud si řadu rozdělíme takto: ? Tak si všimneme, že se mění o -4. Naposledy jsme násobili číslem 3. První číslo tedy dostaneme že zmenšíme o 4. Druhé číslo pak dostaneme že vynásobíme 3.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: b) 3, 9, 5, 15, 11, 33, ?, ? Opět budeme sledovat po dvojicích: 3-9, 5-15, Vidíme trojnásobek. Pokud si řadu rozdělíme takto: ? Tak si všimneme, že se mění o -4. Naposledy jsme násobili číslem 3. První číslo tedy dostaneme že zmenšíme o 4. Druhé číslo pak dostaneme že vynásobíme 3. Další čísla jsou tedy 29, 58.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: c) 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Někdy ani sledování po dvojicích nepomůže. Pokusíme se tedy podívat, jestli řada není náhodou složena ze dvou řad.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: c) 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Někdy ani sledování po dvojicích nepomůže. Pokusíme se tedy podívat, jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Členy obarvíme: 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Pokud se na řady podíváme takto tak se situace zjednoduší.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: c) 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Někdy ani sledování po dvojicích nepomůže. Pokusíme se tedy podívat, jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Členy obarvíme: 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Pokud se na řady podíváme takto tak se situace zjednoduší. Oranžová řada: Zvětšuje se o +7. Modrá řada: Liší se vždy 2-násobkem.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: c) 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Někdy ani sledování po dvojicích nepomůže. Pokusíme se tedy podívat, jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Členy obarvíme: 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Pokud se na řady podíváme takto tak se situace zjednoduší. Oranžová řada: Zvětšuje se o +7. Modrá řada: Liší se vždy 2-násobkem. První číslo tedy zjistíme tak, že přičteme +7 k poslednímu oranžovému. Druhé číslo pak zjistíme tak, že vynásobíme 2 poslední modré.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: c) 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Někdy ani sledování po dvojicích nepomůže. Pokusíme se tedy podívat, jestli řada není náhodou složena ze dvou řad. Členy obarvíme: 1, 2, 8, 4, 15, 8, 22, 16, ?, ? Pokud se na řady podíváme takto tak se situace zjednoduší. Oranžová řada: Zvětšuje se o +7. Modrá řada: Liší se vždy 2-násobkem. První číslo tedy zjistíme tak, že přičteme +7 k poslednímu oranžovému. Druhé číslo pak zjistíme tak, že vynásobíme 2 poslední modré. Další čísla jsou tedy: 29, 32.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ?, ? Matematikové tuto řadu velmi dobře znají, jedná se o tzv. Fibonacciho posloupnost. Zkuste sledovat dvojice čísel a k nim poté sledovat následující číslo.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ?, ? Matematikové tuto řadu velmi dobře znají, jedná se o tzv. Fibonacciho posloupnost. Zkuste sledovat dvojice čísel a k nim poté sledovat následující číslo. 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8…. Vidíme, že máme čísla 1, 1 a pak každé další vznikne součtem dvou předcházejících.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ?, ? Matematikové tuto řadu velmi dobře znají, jedná se o tzv. Fibonacciho posloupnost. Zkuste sledovat dvojice čísel a k nim poté sledovat následující číslo. 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8…. Vidíme, že máme čísla 1, 1 a pak každé další vznikne součtem dvou předcházejících. Tedy první číslo je: 13+21=34

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ?, ? Matematikové tuto řadu velmi dobře znají, jedná se o tzv. Fibonacciho posloupnost. Zkuste sledovat dvojice čísel a k nim poté sledovat následující číslo. 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8…. Vidíme, že máme čísla 1, 1 a pak každé další vznikne součtem dvou předcházejících. Tedy první číslo je: 13+21=34 Druhé číslo je: 21+34=45

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: e) 16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ? Poslední příklad. Někdy máme posloupnost, kdy mezi sousedními čísly nepokračuje žádný vztah, nefunguje ani složení více řad. Pokusíme se tedy hledat jakékoliv jiné matematické souvislost – po dvojicích, trojicích…

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: e) 16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ? Poslední příklad. Někdy máme posloupnost, kdy mezi sousedními čísly nepokračuje žádný vztah, nefunguje ani složení více řad. Pokusíme se tedy hledat jakékoliv jiné matematické souvislost – po dvojicích, trojicích… Napíšeme si řadu jako: 16,4 -5,25 11,9

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: e) 16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ? Poslední příklad. Někdy máme posloupnost, kdy mezi sousedními čísly nepokračuje žádný vztah, nefunguje ani složení více řad. Pokusíme se tedy hledat jakékoliv jiné matematické souvislost – po dvojicích, trojicích… Napíšeme si řadu jako: 16,4 -5,25 11,9 Pokud nic, tak ještě lépe jako:

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: e) 16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ? Poslední příklad. Někdy máme posloupnost, kdy mezi sousedními čísly nepokračuje žádný vztah, nefunguje ani složení více řad. Pokusíme se tedy hledat jakékoliv jiné matematické souvislost – po dvojicích, trojicích… Napíšeme si řadu jako: 16,4 -5,25 11,9 Pokud nic, tak ještě lépe jako: Už je asi zřejmé že po dvojicích dávají čísla součet 20

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: e) 16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ? Poslední příklad. Někdy máme posloupnost, kdy mezi sousedními čísly nepokračuje žádný vztah, nefunguje ani složení více řad. Pokusíme se tedy hledat jakékoliv jiné matematické souvislost – po dvojicích, trojicích… Napíšeme si řadu jako: 16,4 -5,25 11,9 Pokud nic, tak ještě lépe jako: Už je asi zřejmé že po dvojicích dávají čísla součet =20.

Příklad 2: Př.2: Určete, které číslo logicky doplňuje řadu čísel: e) 16, 4, -5, 25, 11, 9, 7, ? Poslední příklad. Někdy máme posloupnost, kdy mezi sousedními čísly nepokračuje žádný vztah, nefunguje ani složení více řad. Pokusíme se tedy hledat jakékoliv jiné matematické souvislost – po dvojicích, trojicích… Napíšeme si řadu jako: 16,4 -5,25 11,9 Pokud nic, tak ještě lépe jako: Už je asi zřejmé že po dvojicích dávají čísla součet =20. Další číslo posloupnosti je tedy číslo 13.

Zdroje: Vlastní zdroj