Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek

Prezentace na téma: "Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek"— Transkript prezentace:

1 Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek
Gymnázium Prachatice, Zlatá stezka 137 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 Co je to posloupnost? Posloupností nazýváme funkci, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel (u nekonečné posloupnosti) nebo její podmnožina ({1; 2; 3; …; k}, k je přirozené číslo, u konečné posloupnosti).

3 Zápis posloupnosti Výčtem členů Vzorcem pro n-tý člen Rekurentně nebo
, nebo , Pozor! U rekurentního určení musí být zadána hodnota alespoň jednoho členu!

4 Příklad: Radek si kreslil do sešitu soustředné kružnice. První měla poloměr 1 cm, poloměr každé další kružnice byl o 2 cm větší. Určete poloměr páté kružnice, kterou Radek takto narýsoval. Řešení

5 První kružnice má dle zadání poloměr 1 cm.
Poloměr druhé kružnice je = 3 cm. Třetí = 5 cm. Čtvrté = 7 cm. Páté = 9 cm. Zadání

6 Zkuste zapsat poloměr rn+1 (n+1) kružnice z předchozího příkladu pomocí poloměru n-té kružnice.
Tímto jsme získali rekurentní zápis aritmetické posloupnosti.

7 Aritmetická posloupnost
Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé celé kladné číslo n platí: Číslo d se nazývá diference. Jak vypočítáme diferenci? Diference je rovna rozdílu dvou po sobě jdoucích členů. Je konstantní, nezávislá na n.

8 Příklad: U každé ze zadaných posloupností určete, zda jde o aritmetickou posloupnost a pokud ano, tuto posloupnost zapište rekurentně. Řešení Řešení Řešení Řešení

9 Příklad: Radek si kreslil do sešitu soustředné kružnice. První měla poloměr 1 cm, poloměr každé další kružnice byl o 2 cm větší. Určete poloměr n-té kružnice pomocí poloměru první kružnice a rozdílu poloměrů sousedních kružnic. Řešení

10 Poloměr první kružnice r1= 1 cm.
Poloměr dvou sousedních kružnic se liší o 2 cm. Poloměr n-té kružnice tedy vypočítáme tak, že k poloměru první kružnice (n-1) krát přičteme dvojku: Získali jsme tak zápis aritmetické posloupnosti vzorcem pro n-tý člen! Zadání

11 Zápis vzorcem pro n-tý člen
Zobecněním zápisu z předchozího příkladu dostaneme:

12 Odvození vzorce pro n-tý člen
Z definice posloupnosti víme, že Zapíšeme (n-1) rovností: Tyto rovnosti sečteme a upravíme:

13 Důkaz matematickou indukcí
Dokážeme, že platí pro n = 1 Zvolme libovolné přirozené číslo k a předpokládejme, že výraz pro něj platí: Dokažme, že potom platí také pro každé další k, když z definice víme, že ak+1=ak+d Tímto je důkaz hotov.

14 Příklad: Určete v pořadí sté liché číslo dělitelné třemi. Postup
Řešení

15 Jaké je nejmenší liché přirozené číslo dělitelné třemi?
Jaký je rozdíl mezi dvěma sousedními lichými čísly dělitelnými třemi? Zapište vzorec pro n-té číslo: Sté liché číslo dělitelné třemi: Zadání

16 Příklad: Výsledek Určete součet s11 prvních 11 lichých čísel.
Zadání zapíšeme jako posloupnost: Vypíšeme si prvních 11 lichých čísel a pod ně znovu, tentokrát v obráceném pořadí: Sečteme:

17 Víme, že: Součet s11 pak můžeme obecně zapsat: Po dosazení získáme:

18 Součet prvních n členů V předchozím příkladu jsme se dostali ke vztahu: Dokázali byste jej zobecnit? Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí:

19 Odvození Zapíšeme součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti. Pod něj tento součet napíšeme ještě jednou, ale v obráceném pořadí: Sečteme a upravíme:

20 Důkaz matematickou indukcí
Dokážeme, že platí pro n = 1 Zvolme libovolné přirozené číslo k a předpokládejme, že výraz pro něj platí: Dokažme, že potom platí také pro každé další k, když víme, že ak+1=a1+kd ,

21 Příklad: Vypočítejte součet všech kladných dvouciferných čísel dělitelných třemi. Postup Řešení

22 Nejmenší dvouciferné číslo dělitelné třemi:
Vzorec pro n-tý člen: Nejvyšší dvouciferný člen: Výsledný součet: Zadání

23 Shrnutí Aritmetická posloupnost je rekurentně určena:
n-tý člen je dán vztahem: Pro součet prvních n členů platí:

24 Literatura ODVÁRKO, O., BOŽEK, M., RYŠÁNKOVÁ, M., SMIDA, J. Matematika pro II. Ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : SPN, ISBN SMIDA, J., BOŽEK, M., ODVÁRKO, O. Sbírka úloh z matematiky pro II. Ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : SPN, ISBN ŘÍDKÁ, E., BLAHUNKOVÁ, D., CHÁRA, P. Maturitní otázky – Matematika. 1. vydání. Praha : Fragment, ISBN Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.