Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Nezávislé jevy VY_32_INOVACE_M4r0116 Mgr. Jakub Němec

Nezávislé jevy Nezávislé jevy poznáme podle toho, že kritéria jednoho jevu neovlivňují kritéria jevu druhého, např. při hodu dvou kostek (modré a červené) padne na modré liché číslo a na červené větší než pět. Jevy jsou nezávislé, pokud pro jejich pravděpodobnosti platí, že 𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷(𝑨)∙𝑷(𝑩) Pro pravděpodobnost tří jevů existuje složitější vztah: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵), 𝑃 𝐴∩𝐶 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐶 , 𝑃 𝐵∩𝐶 =𝑃 𝐵 ∙𝑃 𝐶 ,𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵)∙𝑃(𝐶)

Nejdříve určíme pravděpodobnosti samotných jevů. Poté určíme průnik obou jevů. Je vidět, že součin obou pravděpodobností se rovná pravděpodobnosti průměru. Nezávislost jevů je dána tou skutečností, že oba jevy se navzájem neovlivňují. Vyřešme úlohu, která byla uvedena v příkladu předchozího výkladu: při hodu dvou kostek (modré a červené) padne na modré liché číslo a na červené větší než pět. Určete průnik jevů. Zjistěte, zda se jedná o jevy závislé, či nezávislé. Ω= 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,5 ; 4,6 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 𝑃 𝐴 = 18 36 = 1 2 =0,5⟹50% 𝑃 𝐵 = 6 36 = 1 6 =0,167⟹16,7% 𝑃 𝐴∩𝐵 = 3 36 = 1 12 =0,083⟹8,3% 𝑃 𝐴∩𝐵 = 1 2 ∙ 1 6 = 1 12 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵)

Vlastnosti nezávislých jevů Obecně platí, že libovolný počet jevů je nezávislý v případě, že pravděpodobnost průniku dvou, tří, čtyř … jevů se rovná součinu jejich pravděpodobností. Jsou–li jevy A a B nezávislé, poté jsou nezávislé i jevy A´ (doplněk A) a B, jevy A a B´ a jevy A´ a B´. 𝐴´∩𝐵´ 𝐴∩𝐵´ 𝐴∩𝐵 𝐴´∩𝐵

Děti ve školce malovaly temperovými barvami Děti ve školce malovaly temperovými barvami. 10% z nich se zašpinilo červenou, 15% ze všech zelenou a polovina dětí modrou barvou. Jaká bude pravděpodobnost, že dítě nebude špinavé? Na úvod příkladu je nutné určit opačné jevy, neboli doplněk jevů, protože se ptáme na nezašpiněné děti. Procenta je nutné převést na desetinná čísla (součin procent by neodpovídal skutečné pravděpodobnosti). Jevy se navzájem neovlivňují, pravděpodobnosti mezi sebou můžeme tedy roznásobit, čímž získáme průnik všech doplňků, tedy nezašpiněné děti. 𝑃(𝐴)=10% ⟹0,1 𝑃(𝐴´)=90%⟹0,9 𝑃 𝐵 =15%⟹0,15 𝑃 𝐵´ =85%⟹0,85 𝑃(𝐶)=50%⟹0,5 𝑃(𝐶´)=50%⟹0,5 𝑃 𝐴´∩𝐵´∩𝐶´ =0,9∙0,85∙0,5=𝟎,𝟑𝟖𝟐𝟓⟹𝟑𝟖,𝟐𝟓%

Úkol závěrem 1) V sáčku jsou míčky dvou barev, modré a žluté. Vytáhneme vždy tři a tážeme se na různé trojice (záleží na pořadí prvků). Určete pravděpodobnost, že na prvním místě bude modrý míček, a pravděpodobnost, že na druhém místě bude žlutý míček. Jsou tyto jevy závislé? 2) V továrně na boty byla vytvořena statistika, která hodnotila vady výrobků. Nezávisle na sobě bylo zjištěno, že 3% výrobků má chybu ve vázání, 5% v podrážce a 7% na povrchu boty. Jaká je pravděpodobnost, že bude výrobek bez vady?

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2. Schémata byla tvořena v programu Malování, který je součástí operačního systému Windows.