Derivace funkce Derivací funkce f je funkce f ´ která udává sklon (strmost) funkce f v každém jejím bodě Kladná hodnota derivace  rostoucí funkce Záporná hodnota derivace  klesající funkce Nulová hodnota derivace  možný extrém x x1 f(x1) x2 f(x2) f x  f(x) x

Význam derivace Pohybová rovnice Určení rychlosti a zrychlení z pohybové rovnice Rychlost je derivací polohy podle času, zrychlení derivací rychlosti podle času  druhou derivací polohy podle času Je-li známa poloha tělesa v každém čase, tj. funkce x(t), y(t), z(t) …. kinematika tělesa, získáme dvojím derivováním zrychlení v každém okamžiku  2. Newtonovým zákonem sílu .... dynamiku tělesa

Význam derivace Vztah síly a potenciální energie Síla je dána prostorovou derivací potenciální energie Ze znalosti potenciální energie jako funkce souřadnic lze získat derivováním působící sílu

Význam derivace Určování lokálních extrémů (minima, maxima) Řešení úlohy minimalizuje určitou funkci Stabilní poloha – minimalizace potenciální energie, nulová síla Termodynamická rovnováha – maximalizace entropie Řešení diferenciálních rovnic Např. řešení pohybové rovnice

Pravidla pro počítání derivací Derivace základních funkcí f f´ xn x konst. nxn-1 1 sin x cos x -sin x ex ax ax.ln a ln x loga x 1/x 1/(x.ln a)

Pravidla pro počítání derivací Derivace součtu Derivace součinu

Pravidla pro počítání derivací Derivace podílu

Pravidla pro počítání derivací Derivace složené funkce

Derivace vyšších řádů

Harmonický kmitavý pohyb Mechanický vznik harmonického kmitavého pohybu Těleso na pružině Síla úměrná výchylce k k ... tuhost pružiny m Řešení diferenciální rovnice ... maximální výchylka a může být libovolné, úhlová frekvence  musí splňovat podmínku

Harmonický kmitavý pohyb Rychlost k m Zrychlení

Harmonický kmitavý pohyb Potenciální energie pružiny m k Kinetická energie tělesa

Parciální derivace U funkce více proměnných definujeme derivace podle jednotlivých proměnných a značíme je symbolem  Jedná-li se o prostorou funkci tří souřadnic, tvoří parciální derivace podle jednotlivých souřadných os vektor – gradient funkce f

Spočtěte parciální derivace

Spočtěte druhé parciální derivace

Derivace podle prostorové proměnné značení čárkou Fyzikální derivace Derivace podle prostorové proměnné značení čárkou Derivace podle času značení tečkou Parciální derivace udávají změnu hodnoty funkce f (její strmost) při změně pouze jedné ze závislých proměnných (x,t)

Fyzikální derivace Derivování vektorových funkcí probíhá po složkách a platí pro něj obdobná pravidla jako pro skalární funkce

Fyzikální derivace Derivování funkce velikosti polohového vektoru r a odvozených funkcí lze provádět buď podle skalární velikosti nebo vektorově pomocí vyjádření není obecně rovno rychlosti viz otáčivý pohyb

Síla v radiálním potenciálovém poli Síla je záporným gradientem potenciální energie

Síla v radiálním potenciálovém poli Výsledný vektor síly Radiální gravitační, elektrostatické pole